Elementos e padronização
Em toda a aula: c é a hipotenusa; a e b são catetos; h é a altura relativa à hipotenusa; m é a projeção de a; n é a projeção de b.
Teorema de Pitágoras e recíproca
Na forma direta, calcule um lado de um triângulo já conhecido como retângulo. Na recíproca, ordene os lados, verifique antes x+y>c e só então teste c²=x²+y², sempre com c como maior lado. Ternos úteis: 3–4–5, 5–12–13, 7–24–25, 8–15–17 e múltiplos.
Três triângulos semelhantes
ABC∼ACD∼CBD por igualdade de dois ângulos. A correspondência fornece c/b=b/n, c/a=a/m e a/h=c/b, entre outras proporções.
Relações métricas deduzidas
O cateto a corresponde à projeção m e o cateto b à projeção n. As duas primeiras relações vêm das proporções da semelhança; h²=mn compara os dois triângulos menores.
Área e a relação ab=ch
ab=ch
As duas fórmulas calculam a mesma área usando, respectivamente, os catetos ou a hipotenusa como base.
Mediana e circunraio
O ponto médio da hipotenusa é equidistante dos três vértices; por isso ele é o circuncentro e a mediana relativa a c mede o raio.
Triângulos notáveis deduzidos
Num 45°–45°–90°, tome catetos 1: Pitágoras dá c=√2, logo 1:1:√2. Num equilátero de lado 2, a altura o divide em dois 30°–60°–90°; o menor cateto vale 1 e a altura √(2²−1²)=√3, logo 1:√3:2.
Aplicações combinadas
Problemas podem combinar projeções, altura, área, mediana, circunraio, perímetro e razão entre catetos. Comece fixando c como maior lado e associe corretamente m a a e n a b.
Questões resolvidas
1. Recíproca de Pitágoras
Verifique se 9, 12 e 15 formam triângulo retângulo.
9+12>15, então existe. Como 15 é o maior, compare 15² com 9²+12².
225=81+144; logo é retângulo.
2. Projeções
c=25, m=9 e n=16. Determine a, b e h.
a²=cm=225; b²=cn=400; h²=mn=144.
a=15, b=20 e h=12.
3. Área e altura
Os catetos medem 8 e 15. Calcule c e h.
c=17 pelo terno 8–15–17; K=8·15/2=60.
Como K=17h/2, h=120/17.
4. Mediana e raio
A hipotenusa mede 26.
O ponto médio da hipotenusa é equidistante dos três vértices.
m_c=R=26/2=13.
5. Razão e perímetro
a:b=3:4 e o perímetro é 36.
Os lados são 3k,4k,5k; 12k=36, então k=3.
a=9,b=12,c=15 e h=ab/c=36/5.
Exercícios
1. Nesta página, a hipotenusa é representada por:
2. Qual é um terno pitagórico?
3. Se c=20 e m=5 é a projeção de a, então a vale:
4. Se c=13 e a=5, a altura relativa à hipotenusa é:
5. Num triângulo 30°–60°–90°, o menor cateto mede 6. A hipotenusa mede:
6. Os catetos medem x e x+7 e a hipotenusa mede 17. O valor positivo de x é:
7. Um cabo de 15 m liga o topo de um poste ao chão, a 9 m da base. Outro cabo liga o mesmo ponto do chão ao meio do poste. A soma dos cabos é:
8. Num triângulo retângulo, a:b=5:12 e o perímetro é 60. A altura h vale:
Gabarito comentado:
1-C: A notação obrigatória usa c para a hipotenusa.
2-B: 8²+15²=17².
3-B: a²=cm=100.
4-C: b=12 e h=ab/c=60/13.
5-C: A razão é 1:√3:2.
6-C: x²+(x+7)²=17² dá x=8.
7-B: O poste mede 12; do meio ao ponto: √(6²+9²)=3√13.
8-D: Os lados são 10,24,26 e h=ab/c=120/13.
Resumo final
Padronize a notação, confirme a existência, escolha Pitágoras ou semelhança e use área, mediana e raio apenas com suas condições geométricas.