Definição e orientação
Lado inicial, lado final e vértice definem o ângulo orientado. Anti-horário é positivo; horário, negativo; são permitidas várias voltas.
Sistema sexagesimal
Graus decimais convertem a parte fracionária em minutos. Em soma e subtração, reagrupe 60″=1′ e 60′=1°, usando empréstimo quando necessário.
Decimal: 32,75°=32°45′.
Empréstimo: 42°10′−18°35′=41°70′−18°35′=23°35′.
Radianos
θ está em radianos. Uma semicircunferência dá π e uma volta 2π; portanto 180°=π rad e 360°=2π rad.
Conversões
rad→graus: ·180/π
As regras valem para negativos, várias voltas e frações de π; converta minutos e segundos antes quando preciso.
Arcos côngruos
Têm o mesmo lado final. Reduza a [0°,360°) ou [0,2π), identifique quadrante, menor positivo e representantes negativos.
1110°−3·360°=30°: principal e menor positivo; representante negativo: 30°−360°=−330°.
−13π/3+3·2π=5π/3: principal em [0,2π), no IV quadrante.
Medida orientada e comprimento
ℓ=R|θ|=|α|·2πR/360°
s é algébrico e orientado; o comprimento físico ℓ é não negativo.
Setor circular
A_setor=(|α|/360°)πR²
Aplicações
Rodas usam distância=número de voltas·2πR; relógios convertem tempo em fração da volta; engrenagens sem deslizamento igualam comprimentos percorridos.
Engrenagens de raios 3 e 5 giram sem deslizar: 3|θ₁|=5|θ₂|; os sentidos são opostos.
Questões resolvidas
1. Conversão
Converta 225° em radianos.
225·π/180=5π/4.
Logo 225°=5π/4 rad.
2. Sexagesimal
Some 28°45′ e 17°30′.
45′+30′=75′=1°15′.
Resultado 46°15′.
3. Congruência
Reduza −810° a [0°,360°).
−810°+3·360°=270°.
Está sobre o semieixo negativo de y; portanto, não pertence a nenhum quadrante.
4. Arco físico
R=6 e θ=−π/3.
Medida orientada s=−2π.
Comprimento ℓ=R|θ|=2π.
5. Setor
R=4 e θ=π/2.
A=R²|θ|/2.
A=4π.
Exercícios
1. 150° em radianos é:
2. O principal de −450° em [0°,360°) é:
3. 1° corresponde a:
4. R=6 e θ=−π/3: o comprimento físico é:
5. Setor com R=4 e θ=π/2 tem área:
6. 35°45′+28°30′ vale:
7. Roda de raio 0,5 m dá 20 voltas sem deslizar. Distância:
8. Ponteiro de 12 cm percorre 35 min. Comprimento do arco:
Gabarito comentado:
1-B: 150π/180=5π/6.
2-C: Somando 720° obtém-se 270°.
3-D: 1°=60′=3600″.
4-B: Comprimento usa módulo: 6·π/3=2π.
5-C: 16·(π/2)/2=4π.
6-B: 75′ vira 1°15′.
7-C: Cada volta mede 2πr=π; total 20π.
8-D: θ=(35/60)2π=7π/6; ℓ=12θ=14π.
Resumo final
Oriente o sinal, converta unidades, reduza arcos côngruos e use módulo para comprimentos e áreas físicos.