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Razões trigonométricas

Seno, cosseno e tangente

Relacione ângulos e lados para calcular medidas inacessíveis e resolver problemas geométricos.

Definições no triângulo retângulo

Razões em um triângulo retânguloTriângulo retângulo com ângulo theta, cateto oposto, cateto adjacente, hipotenusa e marca de noventa graus.θcateto adjacentecateto opostohipotenusa

Nesta página, θ é um ângulo agudo de um triângulo retângulo.

senθ=oposto/hipotenusa
cosθ=adjacente/hipotenusa
tgθ=oposto/adjacente

Por que dependem apenas de θ

Dois triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo θ têm o terceiro ângulo também igual; portanto são semelhantes por AA. Lados correspondentes mudam pela mesma escala e seus quocientes permanecem constantes.

Limites no triângulo

0<senθ<1; 0<cosθ<1; tgθ>0

O cateto é positivo e menor que a hipotenusa. Sinais negativos e ângulos nos eixos pertencem ao estudo do ciclo trigonométrico.

Razões recíprocas e domínio

cossecθ=hipotenusa/oposto
secθ=hipotenusa/adjacente
cotgθ=adjacente/oposto=1/tgθ

No triângulo com θ agudo, os catetos são positivos. Em extensões posteriores, cotgθ exige senθ≠0; secθ exige cosθ≠0 e cossecθ exige senθ≠0.

Complementaridade

α+β=90°
senα=cosβ; cosα=senβ; tgα=cotgβ

O cateto oposto a um ângulo é adjacente ao outro.

Valores notáveis deduzidos

Dedução dos valores notáveisUm quadrado de lado um cortado pela diagonal produz quarenta e cinco graus; um triângulo equilátero de lado dois cortado pela altura produz trinta e sessenta graus.1:1:√245°1:√3:260°30°

O quadrado de lado 1 produz 45° e diagonal √2. O equilátero de lado 2, dividido pela altura, produz catetos 1 e √3 e hipotenusa 2. Daí vêm os valores exatos de 30°,45° e 60°.

Determinação de ângulos

θ=arcsen(oposto/hipotenusa)
θ=arccos(adjacente/hipotenusa)
θ=arctg(oposto/adjacente)

Confirme que θ é agudo, selecione graus ou radianos corretamente, arredonde apenas no final e verifique se o maior lado e a ordem dos ângulos são coerentes.

Elevação, depressão e aplicações

Ângulos de elevação e depressãoObservador mede a altura de um objeto por ângulo de elevação; uma linha horizontal paralela mostra que o ângulo de depressão correspondente é igual.elevação θaltura do observadoraltura procuradadepressão θ

Altura do observador, sombra, escada, rampa, telhado, cabo e distância inacessível exigem primeiro desenhar o triângulo. Em duas posições de observação, escreva uma equação para cada tangente usando a mesma altura.

Galeria de situações práticas

Sombra, escada, rampa, telhado e caboCinco diagramas rotulados representam aplicações das razões trigonométricas em sombra, escada apoiada, rampa, telhado simétrico e cabo preso ao topo de um poste.SombraHsombra sθEscadaLdHRampaavançosubidaθTelhadoθalturameia larguraCabocabo Ldistância dθDistância inacessível e duas posiçõesÀ esquerda, uma base medida na margem permite calcular a largura de um rio. À direita, duas posições separadas observam o mesmo topo por ângulos diferentes.Distância inacessívelbase medidalarguraθDuas posiçõesαβseparação conhecidaH

Problemas-modelo das aplicações

Elevação e observador

A 15 m de um prédio, com olhos a 1,70 m e ângulo de 45°, a altura é 15tg45°+1,70=16,70 m.

Depressão

Do topo de um farol de 30 m, a depressão até um barco é 45°. Pela igualdade dos ângulos alternos, a distância horizontal é 30/tg45°=30 m.

Sombra

Uma sombra mede 6√3 m e a elevação solar é 30°. A altura é 6√3·tg30°=6 m.

Escada

Uma escada de 10 m está a 6 m da parede. A altura alcançada é √(10²−6²)=8 m e sua inclinação é arccos(6/10).

Rampa

Uma rampa sobe 1 m em 12 m horizontais: comprimento √145 m e inclinação arctg(1/12).

Telhado

Meia largura 4 m e inclinação 30° dão altura 4tg30°=4√3/3 m.

Cabo

Um cabo faz 60° com o solo e sua projeção horizontal mede 5 m: L=5/cos60°=10 m.

Distância inacessível

Uma base de 50 m é perpendicular à largura do rio e o outro ângulo é 45°: largura=50tg45°=50 m.

Duas posições

Com observações de 60° e 45° separadas por 10 m, H=√3d=d+10; logo H=15+5√3 m.

Questões resolvidas

1. Triângulo 3–4–5

Para θ, oposto=3, adjacente=4 e hipotenusa=5.

senθ=3/5, cosθ=4/5 e tgθ=3/4.

cossecθ=5/3, secθ=5/4 e cotgθ=4/3.

2. Determinação do ângulo

Oposto=3 e adjacente=4.

θ=arctg(3/4).

Em graus, θ≈36,87°.

3. Complementares

α+β=90° e senα=3/5.

cosβ=senα=3/5. Pelo triângulo 3–4–5, cotgα=4/3.

tgβ=cotgα=4/3.

4. Altura do observador

A 20 m de uma torre, o ângulo de elevação é 30° e os olhos estão a 1,60 m.

A diferença vertical é 20tg30°=20/√3.

Altura total =20/√3+1,60≈13,15 m.

5. Duas posições

Dois pontos alinhados distam 20 m; os ângulos para o topo são 45° e 30°.

Se x é a distância próxima, H=x e H=(x+20)/√3.

x=10(√3+1), logo H≈27,32 m.

Exercícios

Fácil

1. senθ é:

A) adjacente/hipotenusaB) oposto/hipotenusaC) oposto/adjacenteD) hipotenusa/oposto
Fácil

2. tg45° vale:

A) 0B) √3/3C) 1D) √3
Médio

3. θ é agudo e cosθ=12/13. Então senθ é:

A) 5/13B) 12/5C) −5/13D) 13/5
Médio

4. α+β=90° e tgα=3/4. Então tgβ é:

A) 3/4B) 4/3C) 5/4D) 1
Médio

5. Uma rampa sobe 1 m a cada 5 m horizontais. Seu ângulo com o solo é:

A) arcsen(1/5)B) arccos(1/5)C) arctg(1/5)D) arctg(5)
Difícil

6. Num triângulo retângulo, oposto=m−1, adjacente=12 e hipotenusa=m+5. O valor válido de m é:

A) 8B) 9C) 10D) 12
Difícil

7. Duas posições separadas por 20 m observam um mastro sob 60° e 30°. A altura é:

A) 10 mB) 10√2 mC) 10√3 mD) 20√3 m
Difícil

8. Um telhado simétrico tem meia largura 4 m e inclinação de 30°. O comprimento total das duas águas é:

A) 8√3/3 mB) 8√3 mC) 16√3/3 mD) 16 m

Gabarito comentado:

1-B: Seno é oposto sobre hipotenusa.

2-C: No triângulo 45°–45°–90°, os catetos são iguais.

3-A: Pitágoras dá o cateto oposto 5.

4-B: Ângulos complementares trocam tangente e cotangente.

5-C: Elevação/avanço =1/5.

6-C: (m−1)²+12²=(m+5)² dá m=10.

7-C: √3d=(d+20)/√3 dá d=10 e H=10√3.

8-C: Cada água mede 4/cos30°=8√3/3; dobre.

Resumo final

Identifique oposto, adjacente e hipotenusa em relação ao ângulo escolhido; depois cuide de unidade angular, domínio e altura do observador.