Triângulo, notação e condições
a,b,c>0; A,B,C∈(0,π); A+B+C=π
A lei pressupõe triângulo não degenerado. Em graus, a soma é 180°.
Lei dos senos
Use pares lado–ângulo realmente opostos. O mesmo quociente fornece lados, ângulos e o raio da circunferência circunscrita.
Justificativa geométrica e relação com 2R
Inscreva ABC numa circunferência. O ângulo central que subtende a corda a mede 2A. Ao dividir o triângulo isósceles formado por dois raios, metade da corda vale RsenA; portanto a=2RsenA. Repetindo para b e c, obtém-se a/senA=b/senB=c/senC=2R.
Quando usar cada lei
ALA ou LAA: calcule o terceiro ângulo e aplique a lei dos senos. LLA: pode haver zero, um ou dois triângulos. LAL: normalmente comece pela lei dos cossenos, pois falta o lado oposto ao ângulo conhecido. LLL: use a lei dos cossenos para obter um ângulo.
Caso ambíguo LLA
Conhecidos A, a e b, com a oposto a A: se A é agudo, h=b senA. Então a<h: nenhum; a=h: um retângulo; h<a<b: dois; a≥b: um. Se A é obtuso: a>b dá um e a≤b dá nenhum. Se A=90°, exige-se a>b.
Arco seno e validação
- Em senB=m, exija 0<m≤1.
- Calcule B₁=arcsen(m).
- Teste B₂=180°−B₁.
- Exija A+B<180°.
- Confira se o maior lado fica oposto ao maior ângulo.
- Elimine configurações impossíveis.
Área e circunraio
K=bc·a/(2·2R)=abc/(4R)
A identidade também permite R=abc/(4K), desde que o triângulo seja não degenerado.
Aplicações e seleção da estratégia
Largura de rio, distância inacessível e triangulação usam uma base mensurável e ângulos. Problemas de circunraio e área podem combinar 2R=a/senA e K=abc/(4R). Antes de calcular, identifique os dados como ALA, LAA, LLA, LAL ou LLL.
Questões resolvidas
1. Caso ALA
A=40°, B=65° e c=10. Calcule a.
C=180°−105°=75°. Pela lei, a/sen40°=10/sen75°.
a=10sen40°/sen75°≈6,65.
2. Triangulação
Em AB=100 m, A=45° e B=60°, calcule BC=a.
C=75° e a/sen45°=100/sen75°.
a≈73,2 m.
3. Caso ambíguo
A=30°, a=7 e b=10. Quantos triângulos existem?
h=b senA=5 e 5<7<10. Além disso, senB=5/7.
B≈45,6° ou 134,4°; ambos deixam A+B<180°, logo há dois.
4. Circunraio
Se a=8 e A=30°, determine R.
a/senA=2R.
8/(1/2)=16=2R, então R=8.
5. Área pelo circunraio
Um triângulo 6–8–10 tem R=5. Calcule K.
K=abc/(4R).
K=6·8·10/20=24.
Exercícios
1. Na lei dos senos, o lado a deve ser relacionado a:
2. Se A=30°, a=5 e B=90°, então b vale:
3. A=40°, a=8 e b=10. Quantos triângulos LLA existem?
4. A=120°, a=10 e b=12. Quantos triângulos existem?
5. Se a=12 e A=30°, o circunraio vale:
6. Com A=30° e b=10, existem exatamente dois triângulos quando:
7. Para atravessar um rio, mede-se AB=100 m, A=45° e B=60°. A distância BC é aproximadamente:
8. A=30°, a=b=10. No único triângulo válido, calcule a área.
Gabarito comentado:
1-A: Cada lado minúsculo é oposto ao ângulo de mesma letra.
2-B: b/sen90°=5/sen30°=10.
3-C: h=10sen40°≈6,43 e h<8<10.
4-D: Ângulo obtuso exige que seu lado oposto seja o maior; 10<12 é impossível.
5-B: 12/(1/2)=2R, então R=12.
6-C: Para A agudo, dois triângulos exigem h<a<b, isto é, 5<a<10.
7-C: 100sen45°/sen75°≈73,2.
8-A: B=30°, C=120°, c=10√3 e K=abc/(4R)=25√3, com R=10.
Resumo final
Emparelhe lados e ângulos opostos, verifique a existência do triângulo e trate LLA com o teste da altura e os dois possíveis arcos senos.