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Inequações trigonométricas

Sinais, intervalos e periodicidade

Converta a comparação em regiões do ciclo, respeite as extremidades e repita a resposta conforme o período.

Método geral

  1. Determine o domínio.
  2. Reduza a uma inequação básica.
  3. Encontre os pontos de igualdade.
  4. Analise o ciclo ou o gráfico.
  5. Inclua ou exclua extremidades.
  6. Aplique a periodicidade.
  7. Interseccione com o intervalo solicitado.

Imagem e casos de existência

Seno e cosseno têm imagem [−1,1]. Portanto, senx>2 e cosx<−1 não têm solução; cosx≤2 e senx≥−1 valem para todo real.

Com parâmetro m, compare primeiro m com −1 e 1 antes de procurar ângulos.

Soluções gerais básicas

senx≥1/2: [π/6+2kπ,5π/6+2kπ]
senx<−√2/2: (5π/4+2kπ,7π/4+2kπ)
cosx≥1/2: [−π/3+2kπ,π/3+2kπ]
cosx<0: (π/2+2kπ,3π/2+2kπ)
tgx>1: (π/4+kπ,π/2+kπ)
tgx≤−1: (−π/2+kπ,−π/4+kπ]

Em todos os casos, k∈ℤ; assíntotas nunca são incluídas.

Argumentos compostos

Para sen(2x), cos(3x−π/4) ou tg(x/2), resolva primeiro na variável auxiliar u e depois converta todos os intervalos. Se dividir uma desigualdade linear por número negativo, inverta os sinais e reordene os extremos.

Cuidado: transforme também o intervalo original e só depois faça a interseção final.

Inequações quadráticas

a sen²x+b senx+c≥0
a cos²x+b cosx+c≤0
a tg²x+b tgx+c>0

Substitua u pela razão trigonométrica, resolva a inequação algébrica e imponha u∈[−1,1] para seno e cosseno. Para tangente, preserve as assíntotas e a periodicidade π.

Produtos e quocientes

Em senx(2cosx−1)≤0, use zeros 0,π,2π e π/3,5π/3. O quadro de sinais dá, em [0,2π], {0}∪[π/3,π]∪[5π/3,2π].

Em quocientes, acrescente os pontos proibidos ao quadro e mantenha-os abertos. Nunca divida por expressão de sinal desconhecido.

Valor absoluto

|senx|≥1/2 ⇔ senx≥1/2 ou senx≤−1/2
|cosx|<√2/2 ⇔ −√2/2<cosx<√2/2
|tgx|≤1 ⇔ −1≤tgx≤1, com cosx≠0

Gráficos, ciclo e extremidades

Regiões de seno e cosseno no cicloDois ciclos unitários: no primeiro, o arco fechado em que seno é pelo menos um meio; no segundo, os semicírculos em que cosseno é positivo ou negativo, com extremidades indicadas.sen x ≥ 1/2: arco superior fechadoπ/65π/6cos x: sinal pelos semicírculospositivonegativoπ/23π/2Regiões válidas da tangenteRamos crescentes da tangente separados por assíntotas; a parte acima de um começa em pi sobre quatro fechado e termina na assíntota aberta.π/4 excluídoπ/2 proibidotg x > 10π/2−π/2

Ponto preenchido representa igualdade incluída; ponto vazio ou assíntota representa extremidade excluída. Além da cor, os rótulos e os tipos de traço identificam as regiões.

Questões resolvidas

1. Seno básico

Resolva senx≥1/2.

No ciclo, a igualdade ocorre em π/6 e 5π/6; o seno fica acima entre eles.

x∈[π/6+2kπ,5π/6+2kπ], k∈ℤ.

2. Tangente básica

Resolva tgx≤−1.

Em cada ramo crescente, −1 ocorre em −π/4+kπ; a assíntota esquerda não pertence ao domínio.

x∈(−π/2+kπ,−π/4+kπ], k∈ℤ.

3. Coeficiente negativo

Resolva sen(−2x)>0 em [0,π].

Faça u=−2x: quando x cresce de 0 a π, u decresce de 0 a −2π.

sen u>0 em (−2π,−π), logo x∈(π/2,π).

4. Quadrática

Resolva 2sen²x−3senx+1≤0 em [0,2π).

Com u=senx: (2u−1)(u−1)≤0, então 1/2≤u≤1.

x∈[π/6,5π/6].

5. Produto e quadro de sinais

Resolva senx(2cosx−1)≤0 em [0,2π].

Pontos críticos: 0,π/3,π,5π/3,2π. Os sinais dos fatores são analisados sem divisão.

S={0}∪[π/3,π]∪[5π/3,2π]. Em geral: [π/3+2kπ,π+2kπ]∪[5π/3+2kπ,2π+2kπ].

Exercícios

Fácil

1. A inequação senx>2 possui:

A) nenhuma soluçãoB) uma solução por períodoC) duas soluções por períodoD) todos os reais
Fácil

2. A solução de cosx≤2 é:

A) nenhumaB) [−1,1]C) ℝD) somente 2kπ
Médio

3. Em [0,2π), senx≥1/2 resulta em:

A) (π/6,5π/6)B) [π/6,5π/6]C) [0,π]D) [5π/6,2π)
Médio

4. Em [0,π), cos(2x)<0 resulta em:

A) (0,π/2)B) [π/4,3π/4]C) (π/2,π)D) (π/4,3π/4)
Médio

5. Em [0,π), |tgx|≤1 resulta em:

A) [0,π/4]∪[π/2,3π/4]B) [0,π/4]∪[3π/4,π)C) [π/4,3π/4]D) [0,π)
Difícil

6. senx≥m para todo x real ocorre exatamente quando:

A) m≤−1B) m<1C) m≥1D) −1≤m≤1
Difícil

7. A medida total da solução de senx(2cosx−1)≤0 em [0,2π) é:

A) π/3B) 2π/3C) πD) 4π/3
Difícil

8. Uma maré é h(t)=3+2cos(πt/6), 0≤t≤12. Para h≥4, os horários são:

A) [2,10]B) [0,2]∪[10,12]C) [0,4]∪[8,12]D) [4,8]

Gabarito comentado:

1-A: A imagem do seno é [−1,1].

2-C: Como cosx≤1, a desigualdade é sempre verdadeira.

3-B: A igualdade entra porque o sinal é ≥.

4-D: π/2<2x<3π/2 implica π/4<x<3π/4.

5-B: Respeite a assíntota π/2.

6-A: O mínimo do seno é −1.

7-C: Os intervalos têm comprimentos 2π/3 e π/3.

8-B: cos(πt/6)≥1/2 nos extremos do período de 12 h.

Resumo final

Domínio, igualdade, sinais, periodicidade e intervalo final são etapas independentes. Em produtos e quocientes, faça quadro de sinais em vez de cancelar fatores.