Lei dos cossenos

a²=b²+c²-2bc cosA b²=a²+c²-2ac cosB c²=a²+b²-2ab cosC

O lado isolado fica sempre oposto ao ângulo usado no cosseno.

Dedução por altura, projeção e Pitágoras

Trace a altura a partir de C sobre AB. A projeção de b sobre c vale bcosA e a altura vale bsenA. Pelo teorema de Pitágoras no triângulo da direita:

a²=(c-bcosA)²+(bsenA)² a²=c²-2bc cosA+b²(cos²A+sen²A) a²=b²+c²-2bc cosA

Por que funciona para agudos e obtusos

Para A agudo, cosA>0 e a projeção reduz o lado oposto. Para A obtuso, cosA<0; o termo −2bc cosA torna-se positivo e a projeção orientada fica além do segmento. A identidade algébrica permanece válida nos dois casos.

Quando usar

LAL: encontre o lado oposto ao ângulo compreendido. LLL: encontre um ângulo. ALA/LAA: geralmente use a lei dos senos. LLA: analise o caso ambíguo pela lei dos senos. Retângulo: a fórmula reduz-se a Pitágoras.

Cálculo de ângulos e conferências

cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)

Verifique se o valor calculado pertence a [−1,1], selecione o modo angular correto, calcule primeiro o maior ângulo quando conveniente e confira A+B+C=180°.

Existência antes da classificação

Ordene x≤y≤z e exija x+y>z. Se x+y=z, a figura é degenerada. Somente depois compare:

z²<x²+y²: acutângulo z²=x²+y²: retângulo z²>x²+y²: obtusângulo

Maior lado e maior ângulo

a>b \Leftrightarrow A>B

Lados iguais correspondem a ângulos iguais; o maior lado fica oposto ao maior ângulo. Essa ordem é uma verificação rápida contra erros de calculadora ou associação.

Aplicações e combinações

Terrenos, navegação, diagonais e distância entre pontos fornecem frequentemente dois comprimentos e o ângulo entre eles. Paralelogramos usam os ângulos θ e 180°−θ nas duas diagonais. Medianas podem ser deduzidas aplicando a lei em dois subtriângulos. Problemas avançados combinam lei dos cossenos com área e lei dos senos.

Questões resolvidas

1. Caso LAL

b=5, c=7 e A=60°. Calcule a.

a²=25+49−2·5·7·1/2=39.

a=√39.

2. Caso LLL

Os lados são 5, 6 e 7. Calcule o maior ângulo C, oposto a 7.

cosC=(25+36−49)/(2·5·6)=1/5.

C=arccos(1/5)≈78,46°.

3. Existência e classificação

Classifique 4, 5 e 8.

4+5>8, então existe. Compare 8²=64 com 4²+5²=41.

Como 64>41, é obtusângulo.

4. Paralelogramo

Lados 6 e 8 formam 60°. Calcule as diagonais.

d₁²=6²+8²−2·6·8cos60°=52. Para a outra, use 120°: d₂²=148.

d₁=2√13 e d₂=2√37.

5. Mediana

No triângulo a=10, b=7 e c=9, calcule a mediana mₐ.

Pela lei dos cossenos nos dois subtriângulos, obtém-se mₐ²=(2b²+2c²−a²)/4.

mₐ²=(98+162−100)/4=40; mₐ=2√10.

Exercícios

Fácil

1. Se A=90°, a lei dos cossenos se reduz a:

A) a²=b²+c²B) a=b+cC) a²=b²−c²D) a=bcosC

Fácil

2. Os comprimentos 3, 4 e 8:

A) formam triângulo obtusoB) não formam triânguloC) formam triângulo retânguloD) formam triângulo agudo

Médio

3. b=6, c=8 e A=60°. O lado a é:

A) √28B) √48C) 2√13D) 2√19

Médio

4. O triângulo de lados 5, 5 e 8 é:

A) equiláteroB) retânguloC) acutânguloD) obtusângulo

Médio

5. Se a=7, b=5 e c=6, então cosA vale:

A) −1/5B) 1/5C) 2/5D) 3/5

Difícil

6. Os lados x, 7 e 10 formam triângulo e o ângulo oposto a 10 é obtuso exatamente quando:

A) 0<x<3B) 3<x<√51C) √51<x<10D) 3≤x≤17

Difícil

7. Dois barcos percorrem 20 km e 30 km a partir do mesmo porto, em direções que formam 60°. A distância entre eles é:

A) 10√3 kmB) 10√5 kmC) 10√6 kmD) 10√7 km

Difícil

8. Em um triângulo, b=6, c=8 e A=60°. Usando as leis dos cossenos e dos senos, o circunraio é:

A) √13/3B) 2√13/3C) 2√39/3D) 4√39/3

Gabarito comentado:

1-A: cos90°=0 produz Pitágoras.

2-B: 3+4≤8 viola a desigualdade triangular estrita.

3-C: a²=36+64−48=52.

4-D: 10>8 e 8²>5²+5².

5-B: (25+36−49)/60=1/5.

6-B: Exista: x>3; obtuso em 10: 100>49+x², logo x<√51.

7-D: d²=20²+30²−2·20·30cos60°=700.

8-C: a=2√13 e R=a/(2sen60°)=2√39/3.

Resumo final

Confirme a existência antes de classificar, associe lado e ângulo opostos e use a ordem dos lados como teste de coerência.