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EstudaMath

Fórmulas de adição

Soma e diferença de arcos

Calcule valores não notáveis e transforme expressões com soma ou diferença de arcos.

Dedução por produto escalar

Começamos pelo cosseno da diferença e obtemos as demais fórmulas por paridade e cofunção.

Cosseno da diferença

Passo a passo da dedução

  1. Considere dois vetores unitários.

    u=(cosa,sena) e v=(cosb,senb)

  2. Calcule o produto escalar pelas coordenadas.

    u·v=cosa cosb+sena senb

  3. Calcule o mesmo produto pelo ângulo entre os vetores.

    u·v=|u||v|cos(a−b)=cos(a−b)

  4. Iguale as duas expressões.

    cos(a−b)=cosa cosb+sena senb
Fórmula final
cos(a−b)=cosa cosb+sena senb

Cosseno da soma

Passo a passo da dedução

  1. Troque b por −b na fórmula anterior.

    cos[a−(−b)]=cosa cos(−b)+sena sen(−b)

  2. Use a paridade: cos(−b)=cosb e sen(−b)=−senb.

    cos(a+b)=cosa cosb−sena senb

  3. Confira que apenas o termo com seno muda de sinal.

    cos(a±b)=cosa cosb∓sena senb
Fórmula final
cos(a+b)=cosa cosb−sena senb

Seno da soma e da diferença

Passo a passo da dedução

  1. Escreva seno como cosseno do arco complementar.

    sen(a+b)=cos[π/2−(a+b)]

  2. Aplique a fórmula do cosseno da diferença.

    cos[(π/2−a)−b]=cos(π/2−a)cosb+sen(π/2−a)senb

  3. Use as relações de cofunção.

    sen(a+b)=sena cosb+cosa senb

  4. Troque b por −b para obter a diferença.

    sen(a−b)=sena cosb−cosa senb
Fórmulas finais
sen(a±b)=sena cosb±cosa senb

Fórmulas de adição

sen(a±b)=sena cosb±cosa senb
cos(a±b)=cosa cosb∓sena senb

Tangente e domínio

A tangente da soma vem do quociente entre o seno e o cosseno da soma.

1. tg(a + b) = sen(a + b)/cos(a + b).

2. = (sena cosb + cosa senb)/(cosa cosb - sena senb).

3. Divida numerador e denominador por cosa cosb:

= (tga + tgb)/(1 - tga · tgb).

tg(a+b)=(tga+tgb)/(1−tga·tgb)
tg(a−b)=(tga−tgb)/(1+tga·tgb)

Para usar essas formas, cosa ≠ 0, cosb ≠ 0 e o denominador final deve ser diferente de zero. As fórmulas de seno e cosseno não têm essas restrições.

Valores exatos

sen15°=(√6−√2)/4; cos15°=(√6+√2)/4; tg15°=2−√3
sen75°=(√6+√2)/4; cos75°=(√6−√2)/4; tg75°=2+√3
105°=7π/12: sen105°=(√6+√2)/4; cos105°=(√2−√6)/4; tg105°=−(2+√3)
165°=11π/12: sen165°=(√6−√2)/4; cos165°=−(√6+√2)/4; tg165°=√3−2

Os sinais são os do II quadrante; 15°=π/12 e 75°=5π/12.

Razões e quadrantes

Ao recuperar uma razão por √(1−sen²a) ou √(1−cos²a), o quadrante determina o sinal.

Consequências

sen(x+π)=−senx; cos(x+π)=−cosx
sen(π/2−x)=cosx; cos(π/2−x)=senx

Identidades e parâmetros

sen(x+y)+sen(x−y)=2senx cosy

Compare coeficientes e domínios ao determinar parâmetros.

Equações com soma de arcos

Isole o argumento composto, aplique a família fundamental e filtre pelo intervalo original.

Questões resolvidas

1. Seno de soma

sena=3/5, a no II; cosb=12/13, b no I.

cosa=−4/5 e senb=5/13.

sen(a+b)=16/65.

2. Valor exato

Calcule sen15°.

sen(45°−30°).

Resultado (√6−√2)/4.

3. Domínio

tga·tgb=1.

O denominador de tg(a+b) é zero.

tg(a+b) não está definida pela fórmula.

4. Complementar

Simplifique sen(π/2−x).

Pela cofunção, vale cosx.

Definida para todo x real.

5. Equação

sen(x+π/6)=1/2 em [0,2π).

x+π/6=π/6 ou 5π/6 módulo 2π.

x=0 ou 2π/3.

Exercícios

Fácil

1. sen15°=

A) (√6−√2)/4B) (√6+√2)/4C) 2−√3D) √2/2
Fácil

2. cos75°=

A) (√6+√2)/4B) (√6−√2)/4C) 2+√3D) 1/2
Médio

3. tg(a+b) é indefinida pela fórmula se tga·tgb=

A) −1B) 0C) 1D) 2
Médio

4. a está no II, sena=3/5; b no I, cosb=12/13. sen(a+b)=

A) 56/65B) −16/65C) 36/65D) 16/65
Médio

5. sen(x+y)+sen(x−y)=

A) 2cosx senyB) 2senx cosyC) 2senx senyD) 2cosx cosy
Difícil

6. tg15°=

A) 2−√3B) 2+√3C) √3−1D) 1/√3
Difícil

7. sen(x+π/2)=k cosx para todo x. k=

A) −1B) 0C) 1D) 2
Difícil

8. sen(x+π/6)=1/2 em [0,2π) tem:

A) 1 soluçãoB) 2 soluçõesC) 3 soluçõesD) 4 soluções

Gabarito comentado:

1-A: Fórmula da diferença.

2-B: cos75°=sen15°.

3-C: 1−tga·tgb=0.

4-D: (36−20)/65.

5-B: Identidade soma-produto.

6-A: Valor exato 2−√3.

7-C: sen(x+π/2)=cosx.

8-B: x=0 e 2π/3.

Resumo final

Recupere sinais pelos quadrantes e declare o domínio antes de usar tangentes.