Soluções básicas
senx=1⇒x=π/2+2kπ; senx=−1⇒x=3π/2+2kπ
cosx=1⇒x=2kπ; cosx=−1⇒x=π+2kπ
tgx=1⇒x=π/4+kπ; tgx=−1⇒x=−π/4+kπ
Em graus, substitua 2π por 360° e π por 180°, sem misturar unidades; em todas as famílias, k∈ℤ.
Famílias gerais
cosx=cosa⇒x=±a+2kπ
tgx=tga⇒x=a+kπ
Em graus: 2kπ corresponde a 360°k e kπ corresponde a 180°k.
Intervalos e contagem
Extremos abertos ou fechados mudam a contagem. Trabalhe também intervalos negativos e maiores que uma volta.
Equações quadráticas
Substitua u=senx, cosx ou tgx, resolva a quadrática e descarte valores fora de [−1,1] ou do domínio.
Equações homogêneas
Antes de dividir por cos²x, teste cosx=0 separadamente; o mesmo vale para divisões por seno.
Equações lineares
Existe solução somente se |c|≤R.
Argumentos diferentes
Aplique diretamente as famílias a sen(mx)=sen(nx), cos(mx)=cos(nx) e tg(mx)=tg(nx).
Identidades e fatoração
Exemplos: sen2x=senx, cos2x=cosx e senx+cosx=1. Fatore antes de dividir.
Domínio e candidatos
Registre denominadores, tangentes, raízes e divisões. Elevação ao quadrado pode criar candidatos; teste-os na equação original.
Questões resolvidas
1. Quadrática
Resolva 2sen²x−3senx+1=0 em [0,2π).
(2senx−1)(senx−1)=0.
x=π/6,5π/6,π/2.
2. Homogênea
sen²x−senx cosx−2cos²x=0.
cosx=0 não resolve; divida por cos²x.
tgx=2 ou −1.
3. Arco auxiliar
3senx+4cosx=5.
R=5 e o máximo é 5.
Há uma solução em cada período.
4. Argumento composto
sen2x=senx.
senx(2cosx−1)=0.
Em [0,2π): 0,π,π/3,5π/3.
5. Parâmetro
Quando senx=m tem uma solução em [0,2π)?
Para |m|<1 há duas; fora não há.
Exatamente uma quando m=±1.
Exercícios
1. senx=0 implica:
2. cosx=0 implica:
3. 2sen²x−3senx+1=0 em [0,2π) possui:
4. senx=0 em [0,2π] possui:
5. sen²x−senx cosx−2cos²x=0 em [0,π) possui:
6. 3senx+4cosx=5 em [0,2π) possui:
7. sen2x=senx em [0,2π) possui:
8. Quantos valores de m fazem senx=m ter exatamente uma solução em [0,2π)?
Gabarito comentado:
1-A: Família fundamental.
2-B: Zeros do cosseno.
3-C: senx=1/2 ou1 gera três ângulos distintos.
4-D: 0,π,2π.
5-B: tgx=2 ou−1, uma solução para cada.
6-A: A igualdade atinge o máximo R=5 uma vez.
7-C: Fatoração produz quatro soluções.
8-D: m=1 ou−1.
Resumo final
Declare domínio, escolha a família correta, filtre pelo intervalo e verifique candidatos.