Elementos e símbolos
N é valor nominal/futuro, A valor atual, D=N−A, i taxa de juros, d taxa de desconto e t períodos. Letras diferentes evitam confundir juros e desconto.
Taxas proporcionais e equivalentes
No simples, taxas equivalentes são proporcionais ao tempo. No composto, fatores iguais:
Essa é a fórmula de taxas efetivas equivalentes.
Taxas nominais
Taxa nominal deve indicar capitalização: “24% a.a. nominal, capitalizada mensalmente”.
taxa efetiva=(1+j/m)ᵐ−1
Desconto simples comercial
A_c=N(1−dt)
Nas aplicações usuais, 0≤dt≤1.
Desconto simples racional
D_r=Nit/(1+it)
Descontos compostos
A=N(1−d)ᵗ, 0≤d<1
D=N−A
A primeira forma é racional composta; a segunda, comercial composta.
Por que D_c>D_r
Para x=it>0, D_c=Nx e D_r=Nx/(1+x). Como 1+x>1, temos D_c>D_r nas mesmas condições positivas.
Equivalência de capitais
Transporte entradas, parcelas e pagamentos para uma data focal. Em compostos consistentes, mudar a data focal multiplica toda a equação pelo mesmo fator e preserva equivalência. Em simples, a escolha pode alterar o resultado.
Linha do tempo acessível
Pegadinhas
- Confundir taxa i com desconto d.
- Omitir frequência de taxa nominal.
- Usar desconto comercial fora de 0≤dt≤1.
- Somar capitais em datas diferentes sem transporte.
- Supor que data focal simples é indiferente.
Questões resolvidas
1. Taxa nominal
24% a.a. nominal, capitalizada mensalmente.
Taxa periódica=24%/12=2% a.m.
Efetiva anual=(1,02)¹²−1≈26,82%.
2. Comercial simples
N=1000,d=2% e t=3.
D_c=1000·0,02·3=60.
A_c=940.
3. Racional simples
N=1000,i=2% e t=3.
A_r=1000/1,06≈943,40.
D_r≈56,60.
4. Parcela equivalente
Dívida 1000 hoje é trocada por 500 hoje e X em 2 meses, a 10% a.m. compostos.
Na data focal hoje: 1000=500+X/1,21.
X=605.
5. Nominal inversa
Efetiva anual de 21%, capitalização semestral.
(1+j/2)²=1,21.
j=20% a.a. nominal.
Exercícios
1. Se N é nominal e A atual, o desconto D é:
2. No regime simples, 2% a.m. é proporcional a:
3. 24% a.a. nominal capitalizada mensalmente tem efetiva anual aproximada:
4. N=1000,d=2% e t=3. A_c vale:
5. N=1000,i=2% e t=3. A_r vale aproximadamente:
6. Nas mesmas condições N=10000 e taxa simples 2% por 5 períodos, D_c−D_r vale aproximadamente:
7. 1000 hoje equivale a 500 hoje mais X em 2 meses, a 10% a.m. compostos. X vale:
8. Taxa efetiva anual 21%, capitalizada semestralmente, corresponde à nominal anual:
Gabarito comentado:
1-B: D=N−A.
2-C: No simples, multiplique por 12.
3-B: (1,02)¹²−1≈26,82%.
4-C: A_c=1000(1−0,06)=940.
5-D: A_r=1000/1,06≈943,40.
6-B: D_c=1000 e D_r=10000·0,1/1,1≈909,09; diferença 90,91.
7-B: 1000=500+X/1,21 dá X=605.
8-D: (1+j/2)²=1,21 dá j=20%.
Resumo final
- N, A, D, i, d e t precisam estar claramente definidos.
- Taxas simples são proporcionais; compostas igualam fatores.
- Taxa nominal exige frequência de capitalização.
- Descontos comercial e racional usam bases diferentes.
- Equivalência exige uma data focal explícita.