Fórmulas fundamentais
Para n inteiro positivo, a soma dos n primeiros termos de uma PA é:
Sₙ=n[2a₁+(n−1)r]/2
A primeira fórmula usa o primeiro e o último termo. A segunda substitui aₙ por a₁+(n−1)r e deve ser usada quando são conhecidos a₁, r e a quantidade n.
Antes de calcular, confirme qual termo é o último da soma e quantos termos foram incluídos.
Dedução por pareamento
Escreva a mesma soma em sentidos opostos:
Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ₋₁ + aₙ
Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + ... + a₂ + a₁
Cada coluna soma a₁+aₙ, e há n colunas.
Sₙ=n(a₁+aₙ)/2
O argumento funciona porque pares equidistantes dos extremos de uma PA têm a mesma soma.
Soma de um trecho
Para 1≤p≤q, a soma de aₚ até aq, inclusive, pode ser obtida pelos extremos:
soma=(q−p+1)(aₚ+aq)/2
Também podemos subtrair somas parciais, adotando S₀=0:
Pelos extremos: se aₙ=3n+1, de a₅ a a₁₂ há 8 termos; a₅=16 e a₁₂=37, logo a soma é 8(16+37)/2=212.
Por diferença: se S₁₂=240 e S₄=44, então a₅+...+a₁₂=S₁₂−S₄=196.
Relação entre termo e soma parcial
aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁, para n≥2
A diferença entre duas somas parciais consecutivas isola exatamente o novo termo acrescentado.
Se Sₙ=3n²+2n, então a₁=S₁=5.
Para n≥2: aₙ=(3n²+2n)−[3(n−1)²+2(n−1)].
Simplificando, aₙ=6n−1. A expressão também fornece a₁=5.
Logo a razão é 6 e, por exemplo, a₁₀=59.
Quando Sₙ é quadrática, a diferença Sₙ−Sₙ₋₁ costuma ser linear; somente após efetuar essa diferença podemos concluir se os termos formam uma PA.
Somas notáveis
As identidades abaixo são aplicações diretas da soma de uma PA:
2+4+...+2n=n(n+1)
1+3+...+(2n−1)=n²
k+2k+...+nk=kn(n+1)/2
- A primeira tem n termos, extremos 1 e n.
- A soma dos pares é 2(1+2+...+n)=n(n+1).
- Nos ímpares, os extremos são 1 e 2n−1; a média é n, logo a soma é n².
- Nos múltiplos de k, coloca-se k em evidência.
Múltiplos em um intervalo: de 35 a 140, os múltiplos de 7 formam uma PA com 16 termos. A soma é 16(35+140)/2=1400.
Média dos termos
Sₙ=n·média
Se a quantidade n é ímpar, existe um termo central e cada par equidistante tem média igual a ele:
Exemplo: em uma PA de 9 termos com a₁=4 e a₉=36, o termo central é a₅=(4+36)/2=20 e S₉=9·20=180. Para n par, não há um único termo central, mas a média dos dois centrais ainda é a média dos extremos.
Razão negativa, termos negativos e r=0
As fórmulas valem sem alteração para razões negativas, somas negativas ou uma PA constante.
Na PA 10, 7, 4, 1, −2, o último termo é −2:
S₅=5[10+(−2)]/2=20.
Na PA −12, −8, −4, 0, a soma é 4(−12+0)/2=−24.
Se r=0, todos os termos valem a₁ e Sₙ=na₁.
Problemas inversos
A fórmula da soma também permite recuperar dados desconhecidos. Monte a equação e confirme se a solução respeita a quantidade de termos.
Descobrir r: S₁₀=320 e a₁=5 dão 320=10[10+9r]/2, logo r=6.
Descobrir a₁: S₈=200 e r=4 dão 200=8[2a₁+28]/2, logo a₁=11.
Descobrir n: Sₙ=135, a₁=3 e r=3 dão 3n(n+1)/2=135; a raiz válida é n=9.
Descobrir parâmetro em trecho: se aₙ=2n+x e a₃+...+a₇=75, então 5[(x+6)+(x+14)]/2=75, logo x=5.
Quando surge uma equação do segundo grau, descarte raízes negativas, nulas, não inteiras ou incompatíveis com os índices do problema.
Aplicações
Arquibancada
Doze fileiras têm 18 lugares na primeira e 4 lugares a mais em cada seguinte. A última tem 62 lugares, e o total é 12(18+62)/2=480.
Economia mensal
Uma pessoa guarda R$ 120 no primeiro mês e aumenta R$ 30 por mês. No décimo mês guarda R$ 390; em dez meses, acumula 10(120+390)/2=R$ 2.550.
Empilhamento
Uma pilha possui 8 camadas com 25, 23, 21, ..., 11 objetos. O total é 8(25+11)/2=144 objetos.
Pegadinhas
- Usar a fórmula sem confirmar que n é inteiro positivo.
- Contar q−p termos em um trecho inclusivo; a quantidade é q−p+1.
- Subtrair Sₚ de Sq quando o trecho começa em aₚ; o correto é Sq−Sₚ₋₁.
- Confundir aₙ com Sₙ ao usar aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁.
- Tratar o último termo −2 como +2 em uma soma.
- Aceitar qualquer raiz da equação sem testar integralidade, positividade e compatibilidade.
Questões resolvidas
1. Descobrir n e somar
Some os termos da PA 7, 12, 17, ..., 102.
102=7+(n−1)5 ⇒ n=20.
S₂₀=20(7+102)/2=1090.
2. Soma de um trecho
Na PA aₙ=3n+1, some de a₅ até a₁₂.
Há 12−5+1=8 termos.
a₅=16 e a₁₂=37.
A soma é 8(16+37)/2=212.
3. Equação do segundo grau
Na PA 2, 5, 8, ..., determine n se Sₙ=155.
155=n[4+3(n−1)]/2.
3n²+n−310=0, cujas raízes são 10 e −31/3.
Como n deve ser inteiro positivo, n=10.
4. Soma parcial dada
Se Sₙ=3n²+2n, determine aₙ, a razão e a₁₀.
aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(3n²+2n)−[3(n−1)²+2(n−1)].
aₙ=6n−1, que também fornece a₁=5.
A razão é 6 e a₁₀=59.
5. Aplicação em fileiras
Uma arquibancada tem 12 fileiras: 18 lugares na primeira e 4 a mais em cada seguinte. Quantos lugares há?
a₁₂=18+11·4=62.
S₁₂=12(18+62)/2.
Portanto, há 480 lugares.
Exercícios
1. A soma dos 10 primeiros inteiros positivos é:
2. Em uma PA constante com a₁=6, quanto vale S₈?
3. Qual é a soma dos múltiplos de 6 compreendidos entre 18 e 72, inclusive?
4. Se Sₙ=2n²+3n, qual é o sétimo termo da sequência?
5. Em uma sequência, S₂₀=860 e S₇=133. Qual é a soma de a₈ até a₂₀?
6. Na PA definida por aₙ=2n+x, a soma de a₃ até a₇ é 75. Qual é x?
7. Uma pessoa guarda R$ 50 no primeiro mês e aumenta a economia mensal em R$ 20. Após quantos meses o total acumulado será R$ 1.400?
8. Na PA a₁=4 e r=3, a soma de cinco termos consecutivos, de aₚ até aₚ₊₄, é 170. Qual é p?
Gabarito comentado:
1-C: 1+2+...+10=10·11/2=55.
2-D: Com r=0, todos os oito termos valem 6; S₈=8·6=48.
3-B: São 10 múltiplos; a soma é 10(18+72)/2=450.
4-A: aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=4n+1; portanto, a₇=29.
5-C: a₈+...+a₂₀=S₂₀−S₇=860−133=727.
6-B: Há cinco termos; 75=5[(x+6)+(x+14)]/2=5x+50, então x=5.
7-C: Sₙ=n[100+20(n−1)]/2=10n(n+4). Igualando a 1400, n²+4n−140=0; a raiz válida é n=10.
8-D: Cinco termos têm soma igual a cinco vezes o central aₚ₊₂. Assim, aₚ₊₂=34. Como aₙ=3n+1, 3(p+2)+1=34 e p=9.
Resumo final
- Sₙ=n(a₁+aₙ)/2 e Sₙ=n[2a₁+(n−1)r]/2, com n inteiro positivo.
- O pareamento funciona porque os pares equidistantes têm a mesma soma.
- De aₚ a aq há q−p+1 termos, e o trecho também vale Sq−Sₚ₋₁, com S₀=0.
- a₁=S₁ e aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ para n≥2.
- As somas de inteiros, pares, ímpares e múltiplos são casos de PA.
- A média dos termos é (a₁+aₙ)/2; com n ímpar, ela é o termo central.
- Razão negativa, termos negativos e r=0 não invalidam a fórmula.
- Em problemas inversos, somente raízes inteiras positivas e compatíveis podem representar n.