Fórmula do termo geral
aₙ=aₚ+(n−p)r
Da posição 1 à posição n existem n−1 intervalos; da posição p à posição n, o deslocamento algébrico é n−p. A segunda forma permite partir de qualquer termo conhecido.
Índices e condições
Os símbolos n, p e q representam posições inteiras positivas: pertencem ao conjunto {1,2,3,...}. Antes de usar uma fórmula, identifique corretamente qual valor está em cada posição.
- Em aₙ=aₚ+(n−p)r, n−p mede o deslocamento da posição p até a posição n.
- A fórmula também vale quando n<p: nesse caso, n−p é negativo e caminhamos para trás na PA.
- Quando a diferença de índices aparece no denominador, os índices precisam ser distintos; por exemplo, p≠q.
- Uma posição calculada só é válida quando n∈{1,2,3,...}.
Se a₇=20 e r=3, então a₄=a₇+(4−7)r.
a₄=20−9=11. O índice menor foi tratado naturalmente por 4−7=−3.
Intervalos e quantidade de termos
se p≤q, de aₚ até a_q existem q−p+1 termos
Intervalos contam os saltos de razão; termos contam as posições, incluindo os extremos. Portanto, de a₄ até a₁₀ existem 10−4=6 intervalos, mas 10−4+1=7 termos.
Fórmulas inversas e condições
r=(aₙ−aₚ)/(n−p), com n≠p
n=1+(aₙ−a₁)/r, com r≠0
Ao calcular r, divida a diferença dos termos pela diferença dos índices na mesma ordem. Ao calcular n, verifique ao final se a posição é inteira e positiva.
Fórmula direta por dois termos
Se aₚ e a_q são conhecidos, com p≠q, podemos substituir diretamente a razão r=(a_q−aₚ)/(q−p):
Essa forma encontra qualquer termo sem calcular e guardar a razão separadamente.
Se a₃=8 e a₉=32, calcule a₁₅.
a₁₅=8+[(15−3)/(9−3)](32−8).
a₁₅=8+(12/6)·24=56.
Critério de pertencimento
Para verificar se um número x pertence a uma PA:
- substitua aₙ=x;
- resolva a equação para n;
- verifique se n é inteiro;
- verifique se n≥1;
- trate separadamente o caso r=0.
Em uma PA de termos inteiros e razão inteira não nula, x−a₁ deve ser divisível por r. Ainda assim, o quociente precisa produzir uma posição inteira positiva.
Posição inteira positiva: em 7,12,17,..., para x=52 obtemos n=1+(52−7)/5=10; logo, 52 pertence.
Posição fracionária: em 4,10,16,..., para x=41 obtemos n=1+(41−4)/6=43/6; logo, 41 não pertence.
Inteiro menor que 1: em 10,13,16,..., para x=4 obtemos n=1+(4−10)/3=−1; apesar de inteiro, não é posição positiva.
Razão zero: em 8,8,8,..., o valor 8 aparece em todas as posições e qualquer outro valor não aparece.
Caso especial r=0
Se r=0, todos os termos são iguais a a₁. A fórmula que divide por r não pode ser usada:
- se o valor procurado é a₁, ele aparece em todas as posições;
- se é diferente de a₁, ele não pertence à PA.
Termos equidistantes
Índices igualmente afastados de uma posição central m produzem termos cuja média é o termo central:
se p+q=2m, então aₚ+a_q=2a_m
Isso vem diretamente do termo geral: os acréscimos +kr e −kr se cancelam.
Em uma PA, a₈+a₂₀=70. Como (8+20)/2=14, os índices são equidistantes de 14.
2a₁₄=70, portanto a₁₄=35.
Parâmetros e sistemas
Quando termos dependem de um parâmetro, traduza a distância entre os índices em múltiplos da razão. Depois resolva a equação e volte aos termos pedidos.
a₄=2x+1, a₁₀=5x−8 e r=3.
Entre as posições 4 e 10 há 6 intervalos, então a₁₀−a₄=6r.
(5x−8)−(2x+1)=18 ⇒ 3x−9=18 ⇒ x=9.
Assim, a₄=19 e a₁=a₄−3r=19−9=10.
Em condições simultâneas, mantenha a mesma razão e o mesmo primeiro termo em todas as equações; isso evita tratar os dados como progressões diferentes.
Interpolação aritmética
Inserir k meios aritméticos entre A e B cria k+1 intervalos e k+2 termos no total:
- Lista completa: entre 2 e 18, com 3 meios, r=4 e a PA é 2, 6, 10, 14, 18.
- Razão negativa: entre 20 e 4, com 3 meios, r=−4 e a PA é 20, 16, 12, 8, 4.
- Caso A=B: a razão é zero e todos os meios são iguais aos extremos.
- Meios inteiros: se A e B são inteiros, (B−A)/(k+1) precisa ser inteiro para que todos os meios sejam inteiros.
Não confunda: há k meios inseridos, k+2 termos contando os extremos e k+1 intervalos.
Entre 3 e 27 foram inseridos meios com razão 4. Quantos meios foram inseridos?
O número de intervalos é (27−3)/4=6.
Logo, k+1=6 e k=5 meios. A lista é 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27.
Dois termos não consecutivos
Com aₚ e aₙ conhecidos, determine r pela diferença dos valores dividida pela diferença dos índices. Depois use qualquer termo para obter a₁ ou aplique a fórmula direta.
a₄=11 e a₁₀=−7.
r=(−7−11)/(10−4)=−3.
a₁=11−3r=20.
Pegadinhas
- Usar n em vez de n−1 na fórmula que parte de a₁.
- Trocar a ordem dos termos sem trocar a ordem dos índices.
- Aceitar posição fracionária, zero ou negativa.
- Dividir por r quando r=0 ou por q−p quando p=q.
- Confundir quantidade de termos com quantidade de intervalos.
- Confundir k meios inseridos com k intervalos.
- Não verificar a exigência de meios inteiros.
- Usar a simetria de termos sem conferir se os índices são equidistantes.
Questões resolvidas
1. Termo com razão negativa
Na PA 25,21,17,..., calcule a₁₂.
r=21−25=−4.
a₁₂=a₁+(12−1)r=25+11(−4).
Resposta: a₁₂=−19.
2. Análise de pertencimento
O número 52 pertence à PA 7,12,17,...?
52=7+(n−1)5.
45=5(n−1), então n−1=9 e n=10.
Como n é inteiro positivo, 52 é o décimo termo.
3. Dois termos distantes
Se a₅=18 e a₁₃=−6, encontre r e a₁.
r=(−6−18)/(13−5)=−24/8=−3.
18=a₁+(5−1)(−3)=a₁−12.
Resposta: a₁=30.
4. Problema com parâmetro
Se a₄=2x+1, a₁₀=5x−8 e r=3, determine x e a₁.
a₁₀−a₄=(10−4)r=18.
(5x−8)−(2x+1)=18 ⇒ 3x−9=18 ⇒ x=9.
a₄=19 e a₁=19−3·3=10.
Resposta: x=9 e a₁=10.
5. Termo central por equidistância
Em uma PA, a₈+a₂₀=70. Determine a₁₄.
8 e 20 estão à mesma distância de 14, pois 8+20=2·14.
a₈+a₂₀=2a₁₄.
70=2a₁₄, então a₁₄=35.
Exercícios
1. Em uma PA, a₁=14 e r=−5. O valor de a₇ é:
2. Se r=0 e a₁=−3, qual afirmação é correta?
3. Da posição a₄ até a₁₀, incluindo os extremos, há:
4. Na PA 10,13,16,..., o número 4:
5. Entre 5 e 35 foram inseridos meios aritméticos de modo que r=5. Quantos meios foram inseridos?
6. Em uma PA, a₄=2x+1, a₁₀=5x−8 e r=3. O valor de x é:
7. Em uma PA, a₇=12 e a₁₉=48. O valor de a₁₃ é:
8. Se a₅=18 e a₁₃=−6, determine r e a₁ e use a fórmula direta para obter a₂₀. Qual é a terna (r,a₁,a₂₀)?
Gabarito comentado:
1-B: a₇=14+(7−1)(−5)=14−30=−16.
2-C: Com r=0, aₙ=a₁ para toda posição inteira positiva; a PA é constante.
3-D: |10−4|=6 intervalos, enquanto 10−4+1=7 termos contando a₄ e a₁₀.
4-A: 4=10+(n−1)3 fornece n−1=−2 e n=−1. O índice é inteiro, mas não é positivo.
5-B: (35−5)/5=6 intervalos. Como k meios criam k+1 intervalos, k=5.
6-C: a₁₀−a₄=6r=18; então (5x−8)−(2x+1)=18, o que dá x=9.
7-D: Os índices 7 e 19 são equidistantes de 13; portanto, 2a₁₃=a₇+a₁₉=60 e a₁₃=30.
8-A: r=(−6−18)/(13−5)=−3 e a₁=18−4(−3)=30. Pela fórmula direta, a₂₀=18+[(20−5)/(13−5)](−6−18)=18−45=−27.
Resumo final
- aₙ=a₁+(n−1)r e aₙ=aₚ+(n−p)r, com índices inteiros positivos.
- A fórmula continua válida para n<p; o deslocamento n−p torna-se negativo.
- Entre p e q há |q−p| intervalos; de aₚ a a_q, com p≤q, há q−p+1 termos.
- Dois termos conhecidos permitem calcular r ou usar a fórmula direta.
- Uma posição só é válida quando é inteira e positiva; r=0 exige análise separada.
- Termos equidistantes têm média igual ao termo central.
- Na interpolação de k meios existem k+1 intervalos e k+2 termos no total.