Definição e reconhecimento
Uma progressão geométrica (PG) satisfaz a recorrência:
Quando aₙ≠0, q=aₙ₊₁/aₙ. O mesmo quociente deve ocorrer em todos os pares consecutivos que permitam a divisão. Por exemplo, 2, 6, 18, 54 é PG de razão 3; já 2, 6, 18, 55 não é.
Casos nulos e q=0
Se a₁=0, a recorrência produz a sequência nula para qualquer q escolhido; por isso 0/0 não define uma razão única. Se a₁≠0 e q=0, obtemos a₁, 0, 0, ...: apenas o primeiro termo pode ser não nulo.
Sequência nula: 0, 0, 0, ...; não possui razão determinada de modo único.
Razão zero: 7, 0, 0, ...; a recorrência usa q=0.
Classificação, módulos e sinais
Para a₁≠0:
0<q<1: módulos diminuem
q=1: sequência constante
q<0: sinais alternam
Com q positivo, a monotonicidade ainda depende do sinal de a₁. Para a₁≠0 e q<0, os sinais alternam e a PG não é monotônica. O caso q=0 e a sequência nula devem ser tratados separadamente.
Produtos de termos equidistantes
Se i, j, k e ℓ são índices válidos de uma mesma PG e i+j=k+ℓ, então:
No caso central, aₘ₋ₜaₘ₊ₜ=aₘ². A propriedade compara produtos, não somas, e continua válida com razão negativa.
Três termos consecutivos
Se a, b e c formam PG nessa ordem, então b²=ac. A recíproca exige cuidado:
Sem a≠0, a igualdade não basta: 0, 0, 5 satisfaz b²=ac, mas não forma PG. Para q≠0, três termos podem ser escritos como x/q, x, xq; x pode ser positivo ou negativo.
Quando ac>0, b pode ter dois sinais e produzir razões opostas.
Quatro termos e produtos
Os produtos dos extremos e dos termos centrais coincidem: a·aq³=(aq)(aq²). Em uma quantidade ímpar de termos consecutivos, o produto total é a potência do termo central:
Isso decorre do pareamento aₘ₋ᵣaₘ₊ᵣ=aₘ².
Transformações de uma PG
Se (aₙ) é PG e bₙ=kaₙ, com k≠0, então (bₙ) mantém a mesma razão q. Multiplicar todos os termos altera a escala, não os quocientes.
Para k=0, (bₙ) é a sequência nula e a razão deixa de ser determinada unicamente. Somar uma constante, em geral, não preserva uma PG.
Expressões algébricas e parâmetros
Para três expressões A, B e C nessa ordem, verifique primeiro A≠0 e imponha B²=AC. Depois substitua o parâmetro e confirme os quocientes.
x, x+2, x+8: (x+2)²=x(x+8).
A equação fornece x=1; os termos 1, 3, 9 confirmam q=3.
A verificação final evita aceitar soluções extranhas introduzidas pela condição quadrática.
Condições necessárias e estratégia
- Verifique zeros antes de formar quocientes.
- Compare todos os quocientes definidos ou use a recorrência.
- Em três termos, use b²=ac e exija a≠0 para a recíproca.
- Quando surgir q² ou outra potência par, analise as duas razões reais possíveis.
- Confira sinais, monotonicidade, integralidade e demais restrições do enunciado.
Pegadinhas
- Usar q como razão e também como índice.
- Dividir por um termo zero.
- Classificar uma PG de razão negativa como crescente ou decrescente.
- Tratar b²=ac como suficiente quando a=0.
- Escrever b=√(ac) e perder a solução negativa.
- Dizer que bₙ=0·aₙ conserva uma razão única.
Questões resolvidas
1. Primeiro termo negativo
Classifique −27, −9, −3, −1, ...
q=(−9)/(−27)=1/3.
Como 0<q<1 e a₁<0, os termos crescem em direção a zero.
A PG é crescente.
2. Produtos equidistantes
Numa PG não nula, a₂=3 e a₉=96. Calcule a₄a₇.
4+7=2+9.
Logo a₄a₇=a₂a₉=3·96=288.
3. Duas razões em três termos
Os extremos de três termos consecutivos são 2 e 18. Determine os termos centrais possíveis.
b²=2·18=36, então b=6 ou b=−6.
As PGs são 2, 6, 18, de razão 3, e 2, −6, 18, de razão −3.
4. Parâmetro
Determine x para que x, x+2 e x+8 formem uma PG nessa ordem.
A condição necessária, com x≠0, é (x+2)²=x(x+8).
x²+4x+4=x²+8x, logo x=1.
Os termos 1, 3, 9 confirmam q=3.
5. Transformação
A PG (aₙ) tem razão −2. Para bₙ=−3aₙ, determine a razão de (bₙ).
bₙ₊₁/bₙ=(−3aₙ₊₁)/(−3aₙ)=aₙ₊₁/aₙ.
Para multiplicador não nulo, a razão permanece −2.
Se o multiplicador fosse zero, surgiria a sequência nula, que não determina razão única.
Exercícios
1. A definição recorrente de uma PG é:
2. Se a₁=7 e q=0, quanto vale a₄?
3. A PG −8, −4, −2, −1, ... é:
4. Se a₃a₁₀=54 em uma PG, então a₅a₈ vale:
5. Qual trio satisfaz b²=ac, mas não forma uma PG nessa ordem?
6. As expressões x, x+2 e x+8 formam uma PG crescente. Quais são x e q?
7. Três inteiros positivos e crescentes em PG têm soma 26 e produto 216. Quais são?
8. Na PG a₁=3 e q=−2, define-se bₙ=kaₙ. Se b₂+b₃=18, quais são k e b₄?
Gabarito comentado:
1-B: Cada termo é obtido multiplicando o anterior pela razão.
2-C: Com q=0 e a₁≠0, todos os termos a partir de a₂ são zero.
3-B: q=1/2 e a₁<0; os valores crescem em direção a zero.
4-B: 3+10=5+8, portanto os produtos são iguais.
5-D: Embora 0²=0·5, não existe razão que transforme o segundo zero em 5.
6-A: (x+2)²=x(x+8) dá x=1; os termos são 1, 3, 9.
7-C: O termo central satisfaz b³=216, então b=6; soma e produto dos extremos dão 2 e 18.
8-D: a₂=−6 e a₃=12, logo 6k=18 e k=3; a₄=−24, portanto b₄=−72.
Resumo final
- PG satisfaz aₙ₊₁=aₙq; quocientes exigem denominador não nulo.
- q<0 alterna sinais e não produz monotonicidade quando a₁≠0.
- Se i+j=k+ℓ, então aᵢaⱼ=aₖaℓ.
- Em três termos, b²=ac é necessária; a recíproca exige a≠0.
- x/q, x, xq parametriza três termos quando q≠0.
- Multiplicar uma PG por constante não nula preserva a razão.