Definição e reconhecimento
Progressão aritmética (PA) é uma sequência em que a diferença entre um termo e o anterior permanece constante para todos os pares consecutivos do trecho considerado:
Uma igualdade isolada não basta: é preciso comparar todas as passagens disponíveis. A sequência pode ser finita, como 12, 9, 6, 3, de razão −3, ou infinita, como 2, 7, 12, 17, ..., de razão 5.
Crescente com termos negativos: −15, −10, −5, 0, ... tem r=5.
Decrescente com termos positivos: 20, 16, 12, 8 tem r=−4.
Constante: 6, 6, 6, ... tem r=0.
Não é PA: 1, 4, 7, 11 tem diferenças 3, 3 e 4.
Forma recorrente
A lei recorrente descreve a construção termo a termo: partindo de a₁, soma-se sempre a mesma razão. Por exemplo, se a₁=−4 e r=6, obtemos −4, 2, 8, 14, ...
Para recuar uma posição, usa-se aₙ=aₙ₊₁−r. A fórmula do termo geral é estudada separadamente na aula seguinte.
Classificação e ordem inversa
r=0: constante
r<0: decrescente
A classificação depende do sinal da razão, não do sinal dos termos. Se uma PA finita de razão r for escrita na ordem inversa, cada nova diferença troca de sinal; portanto, a nova razão será −r.
4, 9, 14, 19 tem razão 5.
Na ordem inversa, 19, 14, 9, 4 tem razão −5.
Se r=0, a ordem inversa continua com razão 0.
Termos equidistantes
Para índices válidos p, q, u e v de uma mesma PA:
A condição compara as somas dos índices. No caso central, os índices m−k e m+k estão igualmente afastados de m:
aₘ₋ₖ+aₘ₊ₖ=2aₘ
Exemplo: se a₂=7 e a₉=35, então a₄+a₇=a₂+a₉=42, pois 4+7=2+9. A propriedade não pode ser usada quando algum índice não pertence ao trecho da PA.
Três termos consecutivos
Três termos consecutivos podem ser representados por x−r, x, x+r. Assim, a soma é 3x. Se a, b e c aparecem nessa ordem, eles formam uma PA se, e somente se:
b=(a+c)/2
Em problemas de soma e produto, a soma determina primeiro o termo central. Depois, o produto fornece r²; o sinal de r deve respeitar a ordem crescente ou decrescente pedida.
Três termos somam 18 e o produto dos extremos é 27: x=6 e (6−r)(6+r)=27.
Logo r²=9. A ordem crescente dá 3, 6, 9; a decrescente dá 9, 6, 3.
Condições como termos positivos ou inteiros ainda precisam ser verificadas após a resolução.
Quatro termos consecutivos
Os pares equidistantes têm a mesma soma:
Uma forma simétrica útil é x−3d, x−d, x+d, x+3d. Nessa representação, a diferença entre termos consecutivos é 2d; portanto, a razão da PA é 2d, e não d.
Para x=10 e d=2, obtemos 4, 8, 12, 16.
A razão é 4, e 4+16=8+12=20.
Transformações de uma PA
Se (aₙ) é uma PA de razão r e bₙ=kaₙ+c, então:
- Somar uma constante a todos os termos não altera a razão.
- Multiplicar todos os termos por k multiplica a razão por k.
- Se duas PAs têm razões r₁ e r₂, a soma termo a termo tem razão r₁+r₂.
- A diferença termo a termo tem razão r₁−r₂.
- Se k=0, bₙ=c é uma PA constante de razão 0.
Exemplo: se (aₙ) tem razão 3 e bₙ=−2aₙ+5, então (bₙ) tem razão −6.
Expressões algébricas e parâmetros
Para verificar expressões em PA, compare diferenças consecutivas ou use duas vezes o termo central.
Identidade: x+2, 3x−1, 5x−4 têm diferenças 2x−3 e 2x−3; formam PA para todo x.
Determinação do parâmetro: x+1, 2x+3, 5x−1 formam PA quando 2(2x+3)=(x+1)+(5x−1).
Então 4x+6=6x, x=3, e os termos são 4, 9, 14.
Depois de encontrar o parâmetro, substitua-o nas expressões e confira a ordem, a razão e eventuais condições de positividade ou integralidade.
Média aritmética
O termo central de três termos consecutivos é a média aritmética dos extremos:
Em qualquer quantidade ímpar de termos consecutivos de uma PA, existe um único termo central. Os demais termos formam pares equidistantes com média igual a esse termo central; por isso, a média de todos os termos também coincide com ele.
Exemplo: em 2, 5, 8, 11, 14, o termo central e a média são 8. A demonstração completa pela soma aparece na próxima aula.
Estratégia de modelagem
- Identifique se a diferença é realmente constante.
- Escolha uma representação compatível: x−r, x, x+r para três termos; a, a+r, a+2r, a+3r para quatro.
- Traduza soma, produto, ordem e restrições em equações.
- Resolva sem decidir antecipadamente o sinal da razão.
- Volte ao enunciado para escolher a solução crescente ou decrescente e conferir termos positivos ou inteiros.
Pegadinhas
- Concluir que uma sequência é PA após verificar apenas uma diferença.
- Achar que crescente significa ter somente termos positivos.
- Calcular r como aₙ−aₙ₊₁ e inverter o sinal.
- Usar termos equidistantes sem conferir a soma dos índices.
- Esquecer que a, b, c precisam estar nessa ordem em 2b=a+c.
- Chamar d de razão em x−3d, x−d, x+d, x+3d; a razão é 2d.
- Escolher o sinal de r sem verificar a ordem ou as restrições.
Questões resolvidas
1. Classificação com termos negativos
Classifique −14, −9, −4, 1, ...
As diferenças são 5, 5 e 5.
Logo é PA de razão 5 e, como r>0, é crescente.
Os primeiros termos negativos não alteram a classificação.
2. Termos equidistantes
Numa PA, a₂=7 e a₉=35. Calcule a₄+a₇.
4+7=2+9=11.
Como os índices têm a mesma soma, a₄+a₇=a₂+a₉.
Portanto, a₄+a₇=7+35=42.
3. Soma e produto
Três termos crescentes de uma PA somam 21 e o produto dos extremos é 40.
Escreva 7−r, 7, 7+r, pois o termo central é 21/3=7.
(7−r)(7+r)=40 ⇒ 49−r²=40 ⇒ r²=9.
Como a ordem é crescente, r=3. Os termos são 4, 7 e 10.
4. Parâmetro
Determine x para que x+1, 2x+3 e 5x−1, nessa ordem, formem uma PA.
O termo central deve satisfazer 2(2x+3)=(x+1)+(5x−1).
4x+6=6x ⇒ x=3.
Substituindo: 4, 9, 14, com diferenças iguais a 5.
5. Transformação de duas PAs
As PAs (aₙ) e (cₙ) têm razões 4 e −1. Se bₙ=2aₙ−3cₙ+5, determine a razão de (bₙ).
A multiplicação por 2 transforma a razão 4 em 8.
A parcela −3cₙ tem razão −3·(−1)=3.
A constante 5 não altera diferenças. Logo a razão de (bₙ) é 8+3=11.
Exercícios
1. Qual sequência é uma PA crescente?
2. A PA finita 3, 8, 13, 18 é escrita na ordem inversa. Qual é a nova razão?
3. Em uma PA, a₄+a₁₂=50. Qual é o valor de a₈?
4. Quatro termos consecutivos de uma PA têm o primeiro e o quarto somando 36. Quanto somam o segundo e o terceiro?
5. Se (aₙ) tem razão −3 e bₙ=2aₙ+5, qual é a razão de (bₙ)?
6. As expressões x+1, 2x+3 e 5x−1, nessa ordem, formam uma PA crescente. Quais são x e a razão?
7. Três inteiros positivos e crescentes em PA somam 27, e o produto dos extremos é 65. Qual é o produto dos três termos?
8. Quatro termos positivos e crescentes são escritos como x−3d, x−d, x+d, x+3d. A soma é 40 e o produto dos extremos é 64. Quais são os termos e a razão?
Gabarito comentado:
1-A: Todas as diferenças valem 4; nas demais, as diferenças não são constantes ou a sequência não é crescente.
2-C: Inverter uma PA finita troca r por −r; a sequência fica 18, 13, 8, 3.
3-B: Os índices 4 e 12 são equidistantes de 8; assim, 2a₈=50 e a₈=25.
4-D: Em quatro termos consecutivos, primeiro+quarto=segundo+terceiro.
5-B: A transformação multiplica a razão por 2; portanto, 2·(−3)=−6.
6-C: 2(2x+3)=(x+1)+(5x−1) dá x=3; os termos 4, 9, 14 têm razão 5.
7-A: O central é 9. De (9−r)(9+r)=65 resulta r²=16; como é crescente, r=4. O produto é 5·9·13=585.
8-D: 4x=40 dá x=10. Então 100−9d²=64, d²=4 e, por ser crescente, d=2. A razão é 2d=4.
Resumo final
- Uma PA exige diferença constante em todos os pares consecutivos analisados.
- A forma recorrente é aₙ₊₁=aₙ+r; o sinal de r classifica a PA.
- Ao inverter uma PA finita, a razão passa de r para −r.
- Se p+q=u+v, com índices válidos, então aₚ+aq=aᵤ+aᵥ.
- Três termos consecutivos podem ser x−r, x, x+r; quatro podem ser a, a+r, a+2r, a+3r.
- Em x−3d, x−d, x+d, x+3d, a razão é 2d.
- Se bₙ=kaₙ+c, a nova razão é kr; para k=0, a PA é constante.
- Parâmetros, ordem, positividade e integralidade devem ser verificados na solução final.