Lei explícita e recorrência
Lei explícita calcula aₙ diretamente. Recorrência relaciona o termo atual a anteriores e deve declarar condições iniciais, índice inicial e intervalo de validade.
Ordem e condições iniciais
A ordem de uma recorrência é o maior atraso ou defasagem entre o termo atual e os termos anteriores necessários para calculá-lo. Primeira ordem usa atraso máximo 1; segunda, 2; ordem k, atraso máximo k.
aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₃ é de terceira ordem. Em geral são necessárias condições iniciais suficientes para iniciar todos os atrasos.
Diferenças finitas e razões
Com índices igualmente espaçados, primeiras diferenças constantes indicam lei linear; segundas diferenças constantes não nulas indicam lei quadrática. Poucos valores apenas sugerem uma regra. Razões só podem ser calculadas quando o termo anterior é não nulo.
Conversões para PA e PG
aₙ₊₁=aₙ+r gera PA; aₙ₊₁=qaₙ gera PG. A lei explícita pode ser convertida calculando aₙ₊₁ em função de aₙ.
Recorrência afim simples
aₙ₊₁=qaₙ+b combina multiplicação e acréscimo. O ponto fixo L satisfaz L=qL+b, quando q≠1. Calcule termo a termo sem confundi-la com PG.
Verificação por substituição
Para provar uma fórmula candidata, confira as condições iniciais e substitua a expressão tanto no termo atual quanto nos atrasados. Uma coincidência em poucos termos não basta.
Fibonacci, alternância e processos
Fibonacci é de segunda ordem. (−1)ⁿ produz alternância. Leis por partes podem depender da paridade. Processos contextuais devem declarar o que representa cada índice.
Dados iniciais insuficientes
Uma recorrência de ordem k pode não ser determinada se faltarem valores necessários. Também verifique se as condições fornecidas correspondem ao índice inicial e ao intervalo de validade.
Pegadinhas
- Confundir quantidade de parcelas com ordem.
- Usar diferenças em índices não igualmente espaçados.
- Dividir por termo anterior zero.
- Aceitar fórmula sem verificar recorrência e condições iniciais.
Questões resolvidas
1. Ordem correta
Classifique aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₃.
O maior atraso é 3.
É recorrência de terceira ordem, embora use dois termos anteriores.
2. PA recorrente
a₁=4 e aₙ₊₁=aₙ+5. Determine a₄.
4,9,14,19; logo a₄=19.
3. Fibonacci
Com a₁=a₂=1 e aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂, determine a₇.
1,1,2,3,5,8,13.
4. Parâmetro
a₁=1, aₙ₊₁=2aₙ+k e a₃=13.
a₂=2+k e a₃=4+3k=13.
k=3 e a₄=29.
5. Verificação
Verifique aₙ=2n+1 em aₙ₊₁=aₙ+2, a₁=3.
aₙ₊₁=2n+3 e aₙ+2=2n+3.
A condição inicial também é satisfeita.
Exercícios
1. A recorrência aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₃ é de ordem:
2. a₁=2 e aₙ₊₁=aₙ+3. Quanto vale a₄?
3. Na sequência de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,..., o próximo termo é:
4. O quociente aₙ/aₙ₋₁ só pode ser usado quando:
5. Qual fórmula satisfaz aₙ₊₁=aₙ+2 e a₁=3?
6. a₁=1, aₙ₊₁=2aₙ+k e a₃=13. Quanto vale k+a₄?
7. Um processo começa em 50 e obedece aₙ₊₁=0,8aₙ+20. Quanto vale a₄?
8. Se aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂ para n≥3 e apenas a₁=1 é dado, a₃:
Gabarito comentado:
1-C: A maior defasagem é 3.
2-B: 2,5,8,11.
3-C: 8+5=13.
4-A: O denominador precisa ser não nulo.
5-B: 2(n+1)+1=(2n+1)+2 e a₁=3.
6-D: k=3 e a₄=29; soma 32.
7-C: a₂=60, a₃=68 e a₄=74,4.
8-A: Falta a₂; ordens de segunda ordem exigem duas condições adequadas.
Resumo final
- Ordem é o maior atraso.
- Condições iniciais, índice inicial e validade fazem parte da definição.
- Diferenças e razões exigem condições adequadas.
- Recorrências aditivas, multiplicativas e afins têm comportamentos distintos.