Conceito e domínio
Sequência numérica é uma função cujo domínio é um subconjunto dos números naturais, normalmente ℕ, {0,1,2,...} ou {1,2,...,n}. Cada índice do domínio determina um termo.
Índice, posição, termo e imagem
Índice é o elemento do domínio; posição ordinal é a ordem de apresentação; termo é aₙ e seu valor é o número obtido. A imagem é o conjunto dos valores assumidos.
Se começa em n=0, índice e posição diferem por uma unidade. Dos índices p a q, inclusive, há q−p+1 termos.
Leis explícitas, recorrentes e outras
Uma sequência pode ser definida por fórmula explícita, lei por partes, recorrência, descrição verbal, tabela ou gráfico. A representação precisa declarar domínio e índice inicial.
Explícita: aₙ=n².
Por partes: uma regra para n par e outra para n ímpar.
Recorrente: aₙ₊₁=aₙ+3, com a₁ dado.
Classificações e limitação
Compare termos consecutivos para distinguir estritamente crescente, não decrescente, estritamente decrescente, não crescente e constante. Uma sequência pode ser limitada superiormente, inferiormente, limitada dos dois lados ou ilimitada.
Periodicidade, alternância e oscilação
Periódica satisfaz aₙ₊ₚ=aₙ; eventualmente periódica passa a repetir após certo índice. Alternante em sinal troca sinais sucessivamente. Oscilante apenas não segue monotonicidade; não é sinônimo automático de alternante.
(−1)ⁿ é periódica, alternante e oscilante.
Padrões importantes
Quadrados: n². Triangulares: n(n+1)/2. O fatorial n! é exemplo de padrão multiplicativo. Poucos termos podem admitir várias regras, por isso a lei deve ser declarada.
Gráfico discreto acessível
Os pontos são isolados porque o domínio é discreto; não devem ser unidos como uma curva contínua.
Menor índice em desigualdades
Resolva a desigualdade da lei e depois escolha o menor índice pertencente ao domínio. Se o domínio começa em outro valor, converta também para posição ordinal.
Pegadinhas
- Confundir índice com posição quando o domínio começa em zero.
- Confundir domínio com imagem.
- Unir pontos discretos como curva contínua.
- Tratar oscilante e alternante como sinônimos.
- Inferir regra única a partir de poucos valores.
Questões resolvidas
1. Índice iniciado em zero
Em aₙ=2n+1, n∈{0,1,2,...}, determine a₃ e sua posição ordinal.
a₃=7.
Como a₀ é o primeiro termo, a₃ ocupa a 4ª posição.
2. Contagem inclusiva
Quantos termos existem dos índices 5 a 17?
17−5+1=13 termos.
3. Periodicidade
Analise aₙ=(−1)ⁿ.
Os valores alternam 1 e −1.
O período mínimo é 2; ela é alternante e oscilante.
4. Lei por partes
aₙ=n² se n é par e aₙ=2n+1 se n é ímpar. Calcule a₅+a₆.
a₅=11 e a₆=36.
A soma é 47.
5. Parâmetro
Se aₙ=n²+kn e a₃=18, determine k e a₅.
9+3k=18, então k=3.
a₅=25+15=40.
Exercícios
1. Se uma sequência começa em n=0, a₀ ocupa qual posição ordinal?
2. Quantos índices inteiros há de 4 a 12, inclusive?
3. A sequência aₙ=(−1)ⁿ possui período mínimo:
4. O sexto número triangular é:
5. A sequência 1,1,2,2,3,3,... é:
6. Se aₙ=n² para n par e 2n+1 para n ímpar, a₅+a₆ vale:
7. Se aₙ=n²+kn e a₃=18, quanto vale a₅?
8. O domínio começa em n=3 e aₙ=2n−1. Qual é o menor índice com aₙ>20 e sua posição ordinal?
Gabarito comentado:
1-B: O primeiro termo é a₀, portanto sua posição ordinal é 1.
2-C: 12−4+1=9.
3-B: Os valores 1 e −1 se repetem a cada dois índices.
4-D: T₆=6·7/2=21.
5-B: Nunca diminui, mas há repetições.
6-C: A lei por partes dá 11+36=47.
7-B: 9+3k=18 dá k=3; a₅=25+15=40.
8-D: 2n−1>20 dá n≥11; contando 3 como 1ª posição, n=11 é a 9ª.
Resumo final
- Sequência é função de domínio natural discreto.
- Índice, posição, termo, domínio e imagem são conceitos distintos.
- q−p+1 conta índices inclusivos.
- Classificação e periodicidade dependem de todos os termos relevantes.
- Leis podem ser explícitas, recorrentes, por partes, verbais, tabeladas ou gráficas.