Definição, índice e número de raízes
Se n∈ℕ* e z∈ℂ, dizemos que w é uma raiz n-ésima de z quando wn=z.
Se z≠0, o polinômio wn−z possui exatamente n raízes complexas distintas. Se z=0, a única raiz distinta é w=0, embora ela tenha multiplicidade algébrica n.
O índice n deve ser inteiro positivo. O caso n=1 tem uma única raiz, o próprio z.
Fórmula das raízes n-ésimas
Escreva z=r cis θ, com r>0. Todas as soluções de wn=z são
Usar outro argumento θ+2qπ apenas permuta o mesmo conjunto de raízes. Qualquer bloco de n valores consecutivos de k produz todas as soluções uma única vez.
A raiz ⁿ√r é a raiz real positiva do módulo r.
Distribuição geométrica
As n raízes de um complexo não nulo têm módulo comum ⁿ√r e argumentos consecutivos separados por 2π/n.
Seus afixos são os vértices de um n-gono regular inscrito na circunferência de raio ⁿ√r e centro na origem. Uma raiz determina as demais por rotações sucessivas de 2π/n.
Algoritmo, intervalos e seleção de raízes
- Converta z para r cis θ e registre o intervalo do argumento.
- Extraia ⁿ√r e divida θ+2kπ por n.
- Use k=0,…,n−1.
- Converta para a+bi somente quando necessário.
- Aplique condições adicionais, como Re(w)>0 ou Im(w)<0, depois de listar as direções.
Para raízes quadradas de a+bi, o sistema x²−y²=a e 2xy=b também pode ser eficiente.
Equação, radical principal e fatoração
A equação wn=z pede todas as raízes. Já a escrita ⁿ√z pode indicar apenas uma raiz principal, dependendo da convenção adotada. Em prova, prefira explicitar o conjunto quando o enunciado disser “raízes”.
Depois de obter w₀,…,wn−1, vale a fatoração
A soma das raízes é 0 para n>1, pois o coeficiente de wn−1 é zero.
Pegadinhas e condições
- Para z≠0, forneça n raízes distintas; uma única raiz principal não resolve a equação completa.
- O termo inteiro é θ+2kπ, e toda essa soma deve ser dividida por n.
- Para z=0 há uma única raiz distinta, não n pontos diferentes.
- As raízes têm o mesmo módulo ⁿ√r, não módulos que variam com k.
- Valores de k fora de 0,…,n−1 repetem soluções; eles não criam novas raízes.
Questões resolvidas
1. Raízes quadradas por sistema
Resolva w²=3+4i.
Escreva w=x+yi. Então x²−y²=3 e 2xy=4. Além disso, |w|²=|3+4i|=5, logo x²+y²=5.
Somando as equações, 2x²=8, então x=±2. Como xy=2, x e y têm o mesmo sinal.
Resposta: w=2+i ou w=−2−i.
2. Raízes cúbicas de número real negativo
Resolva w³=−8.
−8=8 cis π. O módulo de cada raiz é ∛8=2.
Os argumentos são (π+2kπ)/3 para k=0,1,2: π/3, π e 5π/3.
Resposta: {1+√3i, −2, 1−√3i}.
3. Quartas raízes em forma exata
Resolva w⁴=16i.
16i=16 cis(π/2), e a raiz quarta do módulo é 2.
Os argumentos são π/8+kπ/2, para k=0,1,2,3.
Resposta: wk=2 cis(π/8+kπ/2), k=0,1,2,3.
4. Seleção por semiplano
Entre as raízes de w⁶=64, determine as que têm parte imaginária positiva.
As raízes são 2 cis(kπ/3), k=0,1,…,5.
Parte imaginária positiva ocorre nos ângulos π/3 e 2π/3, isto é, k=1 e k=2.
Resposta: 1+√3i e −1+√3i.
5. Equação biquadrada
Resolva w⁴+4=0.
Temos w⁴=−4=4 cis π. O módulo das raízes é ⁴√4=√2.
Os argumentos são π/4, 3π/4, 5π/4 e 7π/4.
Resposta: {1+i, −1+i, −1−i, 1−i}.
Exercícios
Resolva sem olhar o gabarito. A distribuição é de 2 questões fáceis, 3 médias e 3 difíceis.
1. Um complexo não nulo possui quantas raízes quintas distintas?
2. Se |z|=64, o módulo de cada raiz cúbica de z é:
3. As soluções de w²=−16 são:
4. O espaçamento angular entre raízes quartas consecutivas de um número não nulo é:
5. Qual número é uma raiz cúbica de 8?
6. Quantas raízes oitavas distintas possui o número 0?
7. A raiz de w⁴=−16 que está no primeiro quadrante é:
8. O produto de todas as raízes de w⁵=32 é:
Gabarito comentado:
1-C. A equação w⁵=z, com z≠0, tem exatamente cinco raízes complexas distintas.
2-B. O módulo procurado é ∛64=4.
3-B. (4i)²=(−4i)²=−16; a equação quadrática tem as duas soluções.
4-B. O espaçamento é 2π/n=2π/4=π/2.
5-A. −1+√3i=2 cis(2π/3); seu cubo é 8 cis(2π)=8.
6-B. w⁸=0 implica w=0. A raiz tem multiplicidade 8, mas há somente uma solução distinta.
7-B. O módulo é 2 e o primeiro argumento é π/4; 2cis(π/4)=√2+√2i.
8-D. Por Viète no polinômio w⁵−32, o produto é (−1)⁵·(−32)=32.
Resumo final
- w é raiz n-ésima de z quando wn=z, com n inteiro positivo.
- Se z≠0, há n raízes distintas: ⁿ√r cis((θ+2kπ)/n), k=0,…,n−1.
- As raízes formam um polígono regular, com espaçamento angular 2π/n.
- Se z=0, existe uma única raiz distinta, w=0, de multiplicidade n.
- Diferencie a equação, que pede todas as soluções, de uma convenção de radical principal.