Expoentes inteiros e domínio
Para n∈ℕ* e z∈ℂ, zn é o produto de n fatores iguais a z. Para z≠0, define-se z⁰=1 e z−n=1/zn.
Com expoentes inteiros negativos, essas propriedades pressupõem z≠0. A expressão 0⁰ não é definida neste curso, e 0−n não existe.
Ciclo das potências de i
Como i⁴=1, as potências inteiras de i repetem-se com período 4:
Para qualquer expoente inteiro, use o resto não negativo módulo 4. Por exemplo, −2027≡1 (mod 4), portanto i−2027=i.
Em potências algébricas pequenas, também se pode expandir pelo binômio de Newton e reduzir cada potência de i pelo ciclo.
Potências pela forma polar
Se z=r cis θ com r>0 e n∈ℤ, a fórmula de Moivre fornece
Para expoentes altos, esse método evita expansões longas. Reduza nθ módulo 2π e converta para a+bi apenas se o problema pedir.
Consequentemente, |zn|=|z|n. Para n>0, essa relação também vale em z=0.
Inverso e expoentes negativos
Se z=a+bi≠0, o inverso pode ser calculado pelo conjugado ou pela forma polar:
Assim, z−n pode ser obtido invertendo z e elevando, ou calculando zn e tomando o inverso. Escolha a ordem que reduz a conta.
O módulo de z−n é |z|−n; se |z|>1, as potências negativas diminuem em módulo.
Periodicidade e escolha do método
Para z=r cis θ, a sequência zn só pode ser periódica e não nula se r=1 e θ/2π for racional. Se r≠1, os módulos rn mudam; se θ/2π é irracional, nenhuma potência positiva retorna exatamente a 1.
- Use o ciclo módulo 4 quando a base é i ou −i.
- Use expansão algébrica para expoentes pequenos e formas simples.
- Use a forma polar para expoentes altos, módulos e condições angulares.
Pegadinhas e condições
- z⁰=1 é usado para z≠0; não trate 0⁰ como uma potência comum.
- Expoentes negativos exigem z≠0.
- Em (r cis θ)n, o módulo vira rn, não nr.
- Reduzir apenas o expoente e esquecer o argumento é válido para i, mas não para uma base complexa arbitrária.
- Para expoentes negativos de i, use congruência módulo 4 ou o inverso; o resto pode ser escolhido entre 0,1,2,3.
Questões resolvidas
1. Potência por forma polar
Calcule (1+i)6.
1+i=√2 cis(π/4).
(1+i)6=(√2)6cis(6π/4)=8 cis(3π/2).
Resposta: −8i.
2. Módulo alto e redução angular
Calcule (2−2√3i)5.
O módulo é √(4+12)=4, e um argumento é −π/3.
A quinta potência é 4⁵cis(−5π/3)=1024 cis(π/3).
Resposta: 512+512√3i.
3. Expoente negativo
Calcule (1−i)−2.
(1−i)²=1−2i+i²=−2i.
Logo, (1−i)−2=1/(−2i)=i/2.
Resposta: i/2.
4. Expoente inteiro negativo de i
Calcule i−2027.
Como −2027=4·(−507)+1, temos −2027≡1 (mod 4).
Portanto, i−2027=i¹.
Resposta: i.
5. Primeira potência real negativa
Determine o menor n inteiro positivo para que [cis(3π/7)]n seja real negativo.
É preciso que 3nπ/7≡π (mod 2π), isto é, 3n=7+14k.
A menor solução positiva é n=7, obtida com k=1: 3·7=21=7+14.
Resposta: n=7, e a potência vale cis(3π)=−1.
Exercícios
Resolva sem olhar o gabarito. A distribuição é de 2 questões fáceis, 3 médias e 3 difíceis.
1. i58 vale:
2. Se |z|=3, então |z⁴| é:
3. (1−i)⁴ é igual a:
4. [2 cis(5π/6)]³ é igual a:
5. O inverso de 3+4i é:
6. (√3+i)10 vale:
7. O menor n>0 para que [cis(5π/6)]n=1 é:
8. [(1+i)/(1−i)]2027 é igual a:
Gabarito comentado:
1-C. 58≡2 (mod 4), logo i58=i²=−1.
2-D. |z⁴|=|z|⁴=3⁴=81.
3-B. (1−i)²=−2i; elevando novamente ao quadrado, obtemos (−2i)²=−4.
4-D. A potência é 8 cis(5π/2)=8 cis(π/2)=8i.
5-A. 1/(3+4i)=(3−4i)/(3²+4²)=(3−4i)/25.
6-D. √3+i=2 cis(π/6); a potência é 1024 cis(5π/3)=512−512√3i.
7-D. Precisamos de 5nπ/6∈2πℤ, ou 5n divisível por 12. Como mdc(5,12)=1, o menor n é 12.
8-D. (1+i)/(1−i)=i, e 2027≡3 (mod 4); logo, i2027=−i.
Resumo final
- Expoentes positivos são produtos repetidos; expoente zero e negativos exigem atenção ao domínio.
- As potências de i repetem-se módulo 4, inclusive para expoentes inteiros negativos.
- Se z=r cis θ, então zn=rncis(nθ).
- O inverso de a+bi é (a−bi)/(a²+b²), desde que z≠0.
- Escolha entre ciclo, expansão e forma polar conforme a base e o tamanho do expoente.