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Fórmula de Moivre

Potências, periodicidade e identidades

Domine a fórmula para expoentes inteiros, sua demonstração e as comparações de partes real e imaginária cobradas em provas militares.

Teorema de Moivre e condições

Para todo θ real e todo n inteiro, vale

(cos θ+i sen θ)n=cos(nθ)+i sen(nθ)

Em notação abreviada, (cis θ)n=cis(nθ). O caso n=0 produz 1; os casos n<0 são válidos porque cis θ nunca é zero e (cis θ)−1=cis(−θ).

Para z=r cis θ com r>0, obtemos zn=rncis(nθ). Se n<0, a condição z≠0 já está garantida por r>0.

Por que a fórmula funciona

A identidade cis α·cis β=cis(α+β) resulta da multiplicação algébrica e das fórmulas de adição de seno e cosseno.

Para n natural, a indução começa em n=1. Supondo (cis θ)n=cis(nθ), multiplicar por cis θ dá cis((n+1)θ). O caso n=0 é imediato, e expoentes negativos seguem tomando inversos.

cis α·cis β=(cos α cos β−sen α sen β)+i(sen α cos β+cos α sen β)

Cálculo eficiente e redução angular

Converta o complexo para a forma polar, eleve o módulo e multiplique o argumento. Depois, reduza nθ módulo 2π antes de voltar à forma algébrica.

Se o módulo é 1, as potências permanecem no círculo unitário. Quando θ/2π é racional, a sequência de potências é periódica; quando é irracional, não há período inteiro positivo.

Para ângulos em graus, a periodicidade é 360°. Não misture graus e radianos na mesma congruência.

Identidades por comparação de componentes

Expanda (cos θ+i sen θ)n pelo binômio de Newton e compare a parte real com cos(nθ) e a parte imaginária com sen(nθ).

cos 3θ=cos³θ−3cos θ sen²θ
sen 3θ=3cos²θ sen θ−sen³θ

O método também produz fórmulas para cos 4θ, sen 4θ e ordens maiores. Termos com potências pares de i contribuem para a parte real; potências ímpares, para a imaginária.

Equações angulares e limite da fórmula

Para n inteiro não nulo, a igualdade cis(nθ)=cis α equivale à congruência nθ=α+2kπ. Só depois de acrescentar 2kπ devemos dividir por n.

cis(nθ)=cis α ⇔ θ=(α+2kπ)/n,   n∈ℤ, n≠0,   k∈ℤ

A fórmula de Moivre, como identidade univalorada, é enunciada aqui para expoentes inteiros. Potências fracionárias em ℂ envolvem escolhas de argumento e podem ter vários valores; esse assunto é tratado como radiciação.

Pegadinhas e condições

  • O módulo é elevado a n; ele não é multiplicado por n.
  • O argumento é multiplicado por n e só então reduzido módulo 2π.
  • Expoente inteiro negativo exige base não nula.
  • Ao resolver cis(nθ)=cis α, use α+2kπ antes de dividir por n.
  • A expansão binomial deve substituir i² por −1 e separar corretamente partes real e imaginária.

Questões resolvidas

1. Potência alta em forma polar

Calcule (√3+i)12.

√3+i tem módulo 2 e argumento π/6, portanto √3+i=2 cis(π/6).

Por Moivre, (√3+i)12=212cis(12·π/6)=4096 cis(2π).

Resposta: 4096.

2. Quociente e periodicidade

Calcule [(1−i)/(1+i)]2026.

(1−i)/(1+i)=(1−i)²/2=−2i/2=−i.

Como (−i)²=−1, temos (−i)2026=[(−i)²]1013=(−1)1013.

Resposta: −1.

3. Fórmulas do arco triplo

Use Moivre para obter cos 3θ e sen 3θ.

(cos θ+i sen θ)³=cos³θ+3i cos²θ sen θ−3cos θ sen²θ−i sen³θ.

Comparando com cos 3θ+i sen 3θ, igualamos as partes correspondentes.

Resposta: cos 3θ=cos³θ−3cos θ sen²θ e sen 3θ=3cos²θ sen θ−sen³θ.

4. Todas as direções de uma potência

Determine θ∈[0,2π) tal que (cis θ)6=−1.

Como −1=cis(π+2kπ), precisamos de 6θ=π+2kπ.

Assim, θ=(2k+1)π/6. Em [0,2π), tome k=0,1,2,3,4,5.

Resposta: θ∈{π/6, π/2, 5π/6, 7π/6, 3π/2, 11π/6}.

5. Menor expoente

Qual é o menor n inteiro positivo para que (cis 12°)n=−1?

Precisamos de 12°·n=180°+360°k.

Dividindo por 12°, n=15+30k. O menor valor inteiro positivo ocorre em k=0.

Resposta: n=15.

Exercícios

Resolva sem olhar o gabarito. A distribuição é de 2 questões fáceis, 3 médias e 3 difíceis.

Fácil

1. (cis 18°)10 é igual a:

A) 1 B) i C) −1 D) −i
Fácil

2. [2 cis(π/6)]³ é igual a:

A) 6i B) 8 C) −8 D) 8i
Médio

3. (1+i)8 vale:

A) 8 B) 16 C) −16 D) 16i
Médio

4. A parte real de (cos θ+i sen θ)4 é:

A) sen 4θ B) 4cos θ C) cos 4θ D) cos²2θ
Médio

5. O menor n>0 para que [cis(2π/5)]n=1 é:

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2
Difícil

6. (√3−i)9 é igual a:

A) −512i B) 512 C) −512 D) 512i
Difícil

7. Se z=cis θ, então z³+z−3 é:

A) 2i sen 3θ B) 2 cos 3θ C) cos 6θ D) 2 sen 3θ
Difícil

8. As soluções θ∈[0,2π) de (cis θ)4=i são:

A) θ=π/8+kπ/2, k=0,1,2,3 B) θ=π/8+kπ, k=0,1 C) θ=π/2+kπ/4, k=0,1,2,3 D) apenas θ=π/8

Gabarito comentado:

1-C. Moivre dá cis(180°)=−1.

2-D. O módulo vira 2³=8 e o argumento vira π/2; logo, o resultado é 8i.

3-B. 1+i=√2 cis(π/4); a oitava potência é (√2)8cis(2π)=16.

4-C. Por Moivre, a potência é cos 4θ+i sen 4θ.

5-A. Precisamos de 2πn/5∈2πℤ; o menor n positivo é 5.

6-D. √3−i=2 cis(−π/6); a potência é 512 cis(−3π/2)=512i.

7-B. z³=cis 3θ e z−3=cis(−3θ); a soma cancela as partes imaginárias e vale 2cos 3θ.

8-A. 4θ=π/2+2kπ, então θ=π/8+kπ/2; quatro valores caem em [0,2π).

Resumo final

  • (cis θ)n=cis(nθ) para todo n∈ℤ.
  • Para z=r cis θ≠0, zn=rncis(nθ), inclusive quando n<0.
  • A prova usa cis α·cis β=cis(α+β), indução e inversos.
  • Comparar partes real e imaginária da expansão binomial produz identidades trigonométricas.
  • Em equações angulares, acrescente 2kπ antes de dividir pelo expoente.