Módulo de um complexo
Para z=a+bi, o módulo é a distância entre seu afixo (a,b) e a origem:
Consequentemente, |z|≥0 e |z|=0 se, e somente se, z=0. O módulo é real, não negativo e satisfaz
Não confunda |z|² com z²: o primeiro é sempre real não negativo, enquanto z² pode ser qualquer complexo.
Propriedades e desigualdades
Para z,w∈ℂ:
|z/w|=|z|/|w|, w≠0
|z+w|≤|z|+|w|
A última é a desigualdade triangular. Sua versão reversa é
Aplicada a z+w, ela produz ||z|−|w||≤|z+w|≤|z|+|w|. A igualdade superior ocorre quando os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido; a inferior, quando têm sentidos opostos, incluindo os casos degenerados.
Também são úteis |Re(z)|≤|z| e |Im(z)|≤|z|.
Argumentos de um complexo não nulo
Para z≠0, um argumento de z é qualquer ângulo orientado θ medido do semieixo real positivo até o vetor que representa z. Se θ₀ é um argumento, todos são
Se r=|z|>0 e z=a+bi, então
Essas duas relações determinam o quadrante. O complexo zero não possui argumento porque seu vetor não tem direção.
Para z,w≠0, os argumentos do produto são as somas dos argumentos e os do quociente são as diferenças, sempre consideradas módulo 2π. Em símbolos, arg(zw)≡arg(z)+arg(w) e arg(z/w)≡arg(z)−arg(w) (mod 2π). Ao trabalhar com argumentos principais, a soma ou diferença pode precisar de um ajuste por 2π para retornar ao intervalo adotado.
O conjugado troca o sinal dos argumentos módulo 2π, e o oposto acrescenta π módulo 2π. Essas regras descrevem, respectivamente, reflexão no eixo real e meia-volta em torno da origem.
Argumento principal e convenções
Para escolher um único representante, fixa-se um intervalo de comprimento 2π. Nesta aula, salvo indicação contrária, usamos
Nessa convenção, Arg(−1)=π e −π fica excluído. Alguns enunciados usam [0,2π); nesse caso, ângulos principais negativos devem receber 2π. Por exemplo, −i tem argumento principal −π/2 em (−π,π] e 3π/2 em [0,2π).
É essencial declarar ou identificar a convenção; duas respostas podem representar a mesma direção e, ainda assim, apenas uma pertencer ao intervalo pedido.
Cálculo por quadrantes
Quando a≠0, a relação tanθ=b/a fornece um ângulo de referência, mas não determina sozinha o quadrante, pois a tangente tem período π. Observe antes os sinais de a e b.
- I quadrante: θ é o ângulo de referência;
- II quadrante: θ=π−α;
- III quadrante: θ=π+α, ou θ=−π+α na convenção (−π,π];
- IV quadrante: θ=2π−α, ou θ=−α na convenção (−π,π].
Nos eixos, evite dividir por a: Arg(a)=0 para a>0; Arg(a)=π para a<0; Arg(bi)=π/2 para b>0; e Arg(bi)=−π/2 para b<0, na convenção desta aula.
Pegadinhas e condições
- arg(0) e Arg(0) não são definidos.
- arctan(b/a) sem análise do quadrante pode errar o argumento por π.
- |z+w| não é, em geral, |z|+|w|; vale apenas a desigualdade triangular.
- |z|=r só possui soluções quando r≥0; para r=0, a única solução é z=0.
- Ao converter entre (−π,π] e [0,2π), ajuste por 2π, nunca por π.
Questões resolvidas
1. Módulo e argumento no II quadrante
Para z=−1+√3i, determine |z| e Arg(z) em (−π,π].
|z|=√[(-1)²+(√3)²]=√4=2.
O ponto está no II quadrante e tem ângulo de referência π/3.
Logo, Arg(z)=π−π/3=2π/3.
Resposta: |z|=2 e Arg(z)=2π/3.
2. Argumento principal no III quadrante
Determine Arg(−√3−i) em (−π,π].
O ponto está no III quadrante e o ângulo de referência é π/6.
Um argumento em [0,2π) seria π+π/6=7π/6.
Subtraindo 2π para entrar em (−π,π], obtemos −5π/6.
Resposta: Arg(z)=−5π/6.
3. Quociente e convenção angular
Calcule z=(1−i)/(1+i), |z| e seu argumento em [0,2π).
z=(1−i)²/[(1+i)(1−i)]=(−2i)/2=−i.
Então |z|=1. O vetor aponta para baixo, no semieixo imaginário negativo.
No intervalo [0,2π), o argumento é 3π/2.
Resposta: z=−i, |z|=1 e argumento 3π/2.
4. Lugar geométrico por distâncias
Determine o lugar dos z que satisfazem |z−2|=|z+2i|.
Escreva z=x+yi e eleve os módulos ao quadrado.
(x−2)²+y²=x²+(y+2)².
Expandindo e simplificando: −4x=4y, isto é, y=−x.
Resposta: a reta Im(z)=−Re(z).
5. Faixa possível para uma soma
Se |z|=2 e |w|=3, quais são os valores possíveis de |z+w|?
Pela desigualdade triangular, |z+w|≤|z|+|w|=5.
Pela desigualdade reversa, |z+w|≥||z|−|w||=1.
Os extremos ocorrem quando os vetores são paralelos no mesmo sentido ou em sentidos opostos; ângulos intermediários produzem todos os valores entre eles.
Resposta: 1≤|z+w|≤5.
Exercícios
1. |3−4i| vale:
2. O argumento de i em [0,2π) é:
3. Arg(−1−i), na convenção (−π,π], é:
4. Se |z|=2, então z·z̄ vale:
5. O módulo de (1+i)/(1−i) é:
6. Os argumentos de −√3+i são:
7. Os complexos imaginários puros z que satisfazem |z−1|=2 são:
8. O sistema |z|=1 e |z−2|=1 possui:
Gabarito comentado:
1-B. |3−4i|=√(3²+(−4)²)=5.
2-B. O número i aponta para o semieixo imaginário positivo, formando π/2 com o eixo real positivo.
3-C. −1−i está no III quadrante; no intervalo (−π,π], seu argumento principal é −3π/4.
4-A. z·z̄=|z|²=2²=4.
5-D. O módulo do quociente é |1+i|/|1−i|=√2/√2=1.
6-B. O ponto está no II quadrante e o ângulo de referência é π/6; logo, θ=5π/6+2kπ.
7-C. Escrevendo z=yi, temos √(1+y²)=2; então y²=3 e z=±√3i.
8-A. São duas circunferências de raio 1, centros 0 e 2, tangentes externamente no afixo 1.
Resumo final
- |a+bi|=√(a²+b²), e |z|=0 somente para z=0.
- |zw|=|z||w|, |z/w|=|z|/|w| para w≠0 e ||z|−|w||≤|z+w|≤|z|+|w|.
- Todo z≠0 possui infinitos argumentos que diferem por 2kπ; o zero não possui argumento.
- O argumento principal depende do intervalo adotado.
- A tangente fornece referência angular, mas os sinais das componentes determinam o quadrante.