Definição, argumentos e domínio
Se z≠0, seu módulo r=|z| é positivo e qualquer argumento θ satisfaz z=r(cos θ+i sen θ). Também se usa a abreviação cis θ=cos θ+i sen θ.
A forma não é única no ângulo: cis(θ+2kπ)=cis θ. Fixado um intervalo de comprimento 2π, como [0,2π) ou (−π,π], existe um único representante do argumento.
Para z=0, o módulo é 0, mas não há direção nem argumento. Por isso, não se deve escrever arg(0)=0.
Da forma algébrica para a trigonométrica
Para z=a+bi≠0, calcule r=√(a²+b²) e determine θ pelas duas relações simultâneas:
Os sinais de a e b localizam o quadrante. A igualdade tan θ=b/a, quando a≠0, fornece apenas um ângulo de referência: a tangente tem período π e não distingue quadrantes opostos.
Nos eixos, trate diretamente: a>0,b=0 dá θ≡0; a=0,b>0 dá θ≡π/2; a<0,b=0 dá θ≡π; a=0,b<0 dá θ≡3π/2, sempre módulo 2π.
Da forma trigonométrica para a algébrica
Distribua o módulo e use os valores trigonométricos:
Logo, Re(z)=r cos θ e Im(z)=r sen θ. Antes de calcular, reduza θ módulo 2π; isso costuma revelar um ângulo notável e evita contas desnecessárias.
Se uma expressão vier com “raio” negativo, ela ainda pode representar um complexo, mas não está normalizada: −r cis θ=r cis(θ+π), para r>0.
Igualdade polar, conjugado e inverso
Para r,s>0, temos r cis α=s cis β se, e somente se, r=s e α−β∈2πℤ. A congruência angular é indispensável: argumentos iguais como números reais são uma condição forte demais.
O conjugado reflete o argumento no eixo real e conserva o módulo. O inverso também troca o sinal do argumento, mas substitui r por 1/r.
Leitura geométrica e escolha do argumento
O módulo mede a distância à origem; o argumento determina a direção do vetor. Para R>0, os complexos com módulo R formam uma circunferência de centro 0 e raio R; para R=0, o conjunto reduz-se à origem. Já arg(z)=α descreve uma semirreta de origem excluída.
Quando o problema impõe um intervalo, a resposta angular deve pertencer a ele. Por exemplo, 7π/6 e −5π/6 representam a mesma direção, mas apenas um deles pertence a (−π,π].
Em provas, declare o intervalo ou escreva θ=θ₀+2kπ, k∈ℤ. Isso elimina ambiguidades no gabarito.
Pegadinhas e condições
- O módulo padronizado é r>0 para z≠0; um coeficiente negativo deve ser absorvido somando π ao argumento.
- tan θ=b/a não determina o quadrante e nem se aplica quando a=0.
- O zero tem módulo 0, mas não possui argumento.
- Argumentos diferem por 2kπ, não por qualquer múltiplo de π.
- Ao usar argumento principal, respeite exatamente o intervalo adotado no enunciado.
Questões resolvidas
1. Primeiro quadrante
Escreva z=1+√3i na forma trigonométrica.
r=√(1²+(√3)²)=√4=2.
Como a>0 e b>0, z está no primeiro quadrante. Além disso, cos θ=1/2 e sen θ=√3/2, logo θ=π/3.
Resposta: z=2(cos(π/3)+i sen(π/3))=2 cis(π/3).
2. Quadrante e argumento principal
Para z=−√3−i, determine uma forma trigonométrica com θ∈[0,2π) e o argumento principal em (−π,π].
r=√(3+1)=2. O ponto está no terceiro quadrante e tem ângulo de referência π/6.
Em [0,2π), θ=π+π/6=7π/6. O coterminal em (−π,π] é 7π/6−2π=−5π/6.
Resposta: z=2 cis(7π/6) e Arg(z)=−5π/6 na convenção (−π,π].
3. Retorno à forma algébrica
Converta 6 cis(5π/6) para a forma a+bi.
cos(5π/6)=−√3/2 e sen(5π/6)=1/2.
Multiplicando por 6: Re(z)=−3√3 e Im(z)=3.
Resposta: z=−3√3+3i.
4. Normalização de raio negativo
Normalize −2 cis(π/3), usando módulo positivo e argumento em [0,2π).
Trocar −2 por 2 equivale a girar a direção em π radianos.
O novo argumento é π/3+π=4π/3, que já pertence a [0,2π).
Resposta: −2 cis(π/3)=2 cis(4π/3).
5. Condição angular com parâmetro
Determine m real para que z=(m−1)+(m+1)i tenha argumento 3π/4.
Na direção 3π/4, as componentes têm módulos iguais, com parte real negativa e imaginária positiva. Portanto, m+1=−(m−1).
Da equação 2m=0, obtemos m=0. Então z=−1+i, que está de fato no segundo quadrante.
Resposta: m=0.
Exercícios
Resolva sem olhar o gabarito. A distribuição é de 2 questões fáceis, 3 médias e 3 difíceis.
1. O módulo de z=−3+4i é:
2. A forma algébrica de 2 cis(3π/2) é:
3. Um argumento de z=−√3+i no intervalo [0,2π) é:
4. A normalização de −3 cis(π/4), com módulo positivo, é:
5. Se cos θ=−1/2, sen θ=−√3/2 e θ∈[0,2π), então θ é:
6. Para que z=(m−2)+(m+2)i pertença à semirreta arg(z)=3π/4, o valor de m deve ser:
7. Todas as soluções reais de cis θ=cis(5π/7) são dadas por:
8. Se z=3 cis(2π/3), então z̄, com argumento em [0,2π), é:
Gabarito comentado:
1-B. |z|=√((−3)²+4²)=√25=5.
2-D. cos(3π/2)=0 e sen(3π/2)=−1; portanto, z=−2i.
3-C. O ponto está no segundo quadrante e o ângulo de referência é π/6; logo, θ=5π/6.
4-C. Absorver o sinal negativo exige somar π: π/4+π=5π/4.
5-A. As duas razões são negativas, logo θ está no terceiro quadrante; o par corresponde a 4π/3.
6-B. Na direção 3π/4, Im(z)=−Re(z)>0. Assim, m+2=−(m−2), de onde m=0.
7-B. Dois argumentos representam o mesmo ponto unitário exatamente quando diferem por 2kπ, k∈ℤ.
8-C. Conjugar troca θ por −θ. Como −2π/3≡4π/3 (mod 2π), z̄=3 cis(4π/3).
Resumo final
- Para z≠0, z=r cis θ, com r=|z|>0 e argumentos θ+2kπ.
- Na conversão a+bi→polar, use r=√(a²+b²) e confirme o quadrante pelas duas componentes.
- Na conversão polar→algébrica, Re(z)=r cos θ e Im(z)=r sen θ.
- O conjugado conserva r e troca θ por −θ; o inverso também troca r por 1/r.
- O zero não tem argumento, e o argumento principal depende do intervalo convencionado.