Congruência de triângulos
Definição: dois triângulos são congruentes se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que os lados sejam ordenadamente congruentes e os ângulos também sejam ordenadamente congruentes.
Em linguagem simples, cada lado de um triângulo deve ter o mesmo comprimento do lado correspondente no outro, e cada ângulo deve ter a mesma abertura do ângulo correspondente. Por isso, os dois triângulos têm a mesma forma e o mesmo tamanho, mesmo que um esteja girado, deslocado ou refletido.
Como ler A ↔ D · B ↔ E · C ↔ F
A seta dupla ↔ quer dizer “corresponde a”. Portanto, A corresponde a D, B corresponde a E e C corresponde a F. O ponto · apenas separa os três pares; ele não indica uma multiplicação.
Pense nesses pares como uma troca de nomes. No lado AB, trocamos A por D e B por E: por isso, AB corresponde a DE. Da mesma maneira, BC corresponde a EF e CA corresponde a FD. Os ângulos seguem os mesmos pares: Â corresponde a D̂, B̂ a Ê e Ĉ a F̂.
Assim, quando escrevemos △ABC ≅ △DEF, a ordem das letras registra exatamente essas correspondências. Alterar essa ordem sem verificar os pares pode relacionar lados e ângulos errados.
Casos ou critérios de congruência
A definição completa exige seis verificações: três pares de lados congruentes e três pares de ângulos congruentes. Os casos de congruência fornecem condições mínimas suficientes. Quando os dados de um desses casos são satisfeitos na ordem correspondente, podemos concluir que os outros lados e ângulos também são congruentes.
1. LAL — lado, ângulo, lado (postulado)
Definição: se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido entre eles, então esses triângulos são congruentes.
O que observar: o ângulo informado precisa ser exatamente o ângulo formado pelos dois lados conhecidos. Por isso, lemos: lado → ângulo entre os lados → lado.
2. ALA — ângulo, lado, ângulo
Definição: se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos adjacentes a esse lado, então esses triângulos são congruentes.
O que observar: os dois ângulos conhecidos ficam nas extremidades do lado conhecido. Assim, o lado está entre os dois ângulos: ângulo → lado → ângulo.
3. LLL — lado, lado, lado
Definição: se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses triângulos são congruentes.
O que observar: cada lado deve ser comparado com o lado correspondente do outro triângulo. Nenhuma medida de ângulo precisa ser conhecida previamente.
4. LAAo — lado, ângulo adjacente e ângulo oposto
Critério derivado: se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente a esse lado e o ângulo oposto a ele, então esses triângulos são congruentes.
Por que funciona: os dois ângulos conhecidos determinam o terceiro, pois a soma dos ângulos internos é 180°. Assim, o problema se reduz ao caso ALA. A letra “o” indica o ângulo oposto ao lado conhecido.
5. Caso especial de congruência de triângulos retângulos (HC)
Definição: se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes.
Por que é um caso especial: os ângulos retos já são congruentes, pois ambos medem 90°. Assim, conhecer a hipotenusa e um cateto correspondentes é suficiente para determinar os dois triângulos.
Hipóteses no desenho: Â e D̂ são ângulos retos; AB ≅ DE são catetos correspondentes; BC ≅ EF são as hipotenusas correspondentes.
Conclusão: △ABC ≅ △DEF.
Procedimento seguro: marque os dados, monte a correspondência dos vértices, identifique a posição de cada lado e ângulo e somente depois escolha o caso. Concluída a congruência, todos os demais lados e ângulos correspondentes também são congruentes.
Relação entre lados e ângulos opostos
Ao maior lado opõe-se o maior ângulo; ao menor lado, o menor ângulo. Lados congruentes têm ângulos opostos congruentes, e reciprocamente. Essas comparações são internas ao mesmo triângulo.
Para lados 6,8,11, o maior ângulo é oposto a 11 e o menor é oposto a 6. Não é necessário calcular as medidas nem usar Pitágoras.
Soma dos ângulos internos
Por A, trace a reta u paralela a BC. Os ângulos formados por AB e AC com u são alternos internos dos ângulos B e C. Juntos com Â, formam um ângulo raso de 180°.
Exemplo: x+10°, 2x e 3x−10°.
x+10+2x+3x−10=180 ⇒ 6x=180 ⇒ x=30.
As medidas são 40°,60° e 80°.
Verificação: 40+60+80=180.
Ângulos externos
Ângulo externo é formado por um lado do triângulo e o prolongamento de um lado adjacente. Ele e o interno adjacente I formam um par linear: e+I=180°.
Como e=180°−m(B̂) e m(Â)+m(Ĉ)=180°−m(B̂), então e=m(Â)+m(Ĉ). Portanto, e é maior que cada remoto. Um externo em cada vértice, todos no mesmo sentido, soma 360°.
Se e=132° e um remoto mede 57°, o outro mede 132−57=75°.
O interno adjacente mede 180−132=48°.
Verificação: 57+75+48=180.
Triângulos isósceles e equiláteros
Isósceles: direto e recíproca
AB=AC ⇒ m(B̂)=m(Ĉ). A é o vértice principal e BC é a base.
m(B̂)=m(Ĉ) ⇒ AB=AC.
O teorema direto pode ser demonstrado comparando o triângulo consigo mesmo em ordem invertida e aplicando LAL. A recíproca pode ser demonstrada por ALA. A próxima aula, Congruência, aprofunda essas demonstrações.
Se o ângulo do vértice mede 36°, cada ângulo da base mede (180°−36°)/2=72°. Se as bases medem 3x+6° e 5x−18°, a congruência dá 3x+6=5x−18, x=12 e cada base mede 42°.
Equilátero e equiângulo
Três lados congruentes produzem três ângulos congruentes e, reciprocamente, três ângulos congruentes produzem três lados congruentes. Um único ângulo de 60° não basta: por exemplo, 60°,50°,70° formam um triângulo escaleno.