Definição e elementos
Um triângulo não degenerado é a figura determinada por três pontos distintos e não colineares, unidos pelos segmentos que ligam cada par desses pontos. Em △ABC, A, B e C são os vértices; AB, BC e CA são os lados.
a=BC é oposto a A; b=CA é oposto a B; c=AB é oposto a C.
BC é o segmento; BC é seu comprimento; a,b,c são medidas positivas.
△ABC nomeia o triângulo; a ordem das letras registra correspondências em estudos posteriores.
Os lados delimitam uma região interna; os demais pontos do plano ficam na região externa.
Nesta página, P indica perímetro e s indica semiperímetro; outros materiais podem usar letras diferentes.
Condição de existência e intervalo para um lado
As desigualdades são estritas. Igualdade produz três pontos colineares e uma configuração degenerada; um lado maior que a soma dos outros torna a construção impossível. Para valores positivos, basta identificar o maior lado e verificar se ele é menor que a soma dos outros dois: as demais desigualdades ficam automáticas porque cada parcela positiva é menor que uma soma que contém o maior lado.
10<5+7=12; existe triângulo.
3+4=7; igualdade não é aceita.
2+3<6; os segmentos não fecham.
Medida nula ou negativa não pode ser lado.
Intervalo para a
Das três desigualdades obtemos a<b+c e a>b−c, a>c−b. Logo:
Os extremos geram degeneração e não pertencem ao intervalo. Para lados 7,11,x: 4<x<18. Se x é inteiro, x∈{5,6,…,17}, totalizando 17−5+1=13 valores. Se x é real, há infinitos valores nesse intervalo aberto.
Classificação quanto aos lados
Três lados com medidas diferentes.
Nos exercícios desta página: exatamente dois lados congruentes.
Três lados congruentes.
Em alguns materiais, isósceles significa “pelo menos dois iguais”; então todo equilátero é isósceles. Siga a convenção do enunciado.
No isósceles, os lados congruentes são laterais, o terceiro é a base, o encontro dos lados congruentes é o vértice principal, e os outros dois são ângulos da base.
Classificação quanto aos ângulos
Três ângulos internos agudos.
Exatamente um ângulo reto; o lado oposto é a hipotenusa e os demais são catetos.
Exatamente um ângulo interno obtuso.
Não há dois retos nem dois obtusos; todo triângulo possui pelo menos dois agudos.
Relação entre lados e ângulos opostos
Ao maior lado opõe-se o maior ângulo; ao menor lado, o menor ângulo. Lados congruentes têm ângulos opostos congruentes, e reciprocamente. Essas comparações são internas ao mesmo triângulo.
Para lados 6,8,11, o maior ângulo é oposto a 11 e o menor é oposto a 6. Não é necessário calcular as medidas nem usar Pitágoras.
Soma dos ângulos internos
Por A, trace a reta u paralela a BC. Os ângulos formados por AB e AC com u são alternos internos dos ângulos B e C. Juntos com Â, formam um ângulo raso de 180°.
Exemplo: x+10°, 2x e 3x−10°.
x+10+2x+3x−10=180 ⇒ 6x=180 ⇒ x=30.
As medidas são 40°,60° e 80°.
Verificação: 40+60+80=180.
Ângulos externos
Ângulo externo é formado por um lado do triângulo e o prolongamento de um lado adjacente. Ele e o interno adjacente I formam um par linear: e+I=180°.
Como e=180°−m(B̂) e m(Â)+m(Ĉ)=180°−m(B̂), então e=m(Â)+m(Ĉ). Portanto, e é maior que cada remoto. Um externo em cada vértice, todos no mesmo sentido, soma 360°.
Se e=132° e um remoto mede 57°, o outro mede 132−57=75°.
O interno adjacente mede 180−132=48°.
Verificação: 57+75+48=180.
Triângulos isósceles e equiláteros
Isósceles: direto e recíproca
AB=AC ⇒ m(B̂)=m(Ĉ). A é o vértice principal e BC é a base.
m(B̂)=m(Ĉ) ⇒ AB=AC.
A demonstração por congruência será retomada na próxima aula, Congruência. Aqui os dois sentidos são usados como teoremas, sem antecipar casos de congruência.
Se o ângulo do vértice mede 36°, cada ângulo da base mede (180°−36°)/2=72°. Se as bases medem 3x+6° e 5x−18°, a congruência dá 3x+6=5x−18, x=12 e cada base mede 42°.
Equilátero e equiângulo
Três lados congruentes produzem três ângulos congruentes e, reciprocamente, três ângulos congruentes produzem três lados congruentes. Um único ângulo de 60° não basta: por exemplo, 60°,50°,70° formam um triângulo escaleno.
Cevianas e retas notáveis
Nesta página, ceviana interna é o segmento que liga um vértice a um ponto do lado oposto. Mediana e bissetriz interna são cevianas. A altura liga o vértice à reta suporte do lado oposto e, no obtusângulo, pode cair no prolongamento. Mediatriz é uma reta e geralmente não parte de vértice; não é ceviana.
Vértice ao ponto médio do lado oposto.
Segmento perpendicular do vértice à reta do lado oposto.
Divide o ângulo do vértice em dois congruentes e encontra o lado oposto.
Reta perpendicular ao lado em seu ponto médio; não é ceviana.
Pontos notáveis do triângulo
Encontro das três medianas; sempre interno. Em AM, AG:GM=2:1, AG=(2/3)AM e GM=(1/3)AM.
Encontro das retas que contêm as alturas. Interno no acutângulo, vértice reto no retângulo, externo no obtusângulo.
Encontro das bissetrizes internas; sempre interno e equidistante das retas dos lados por perpendiculares.
Encontro das mediatrizes; OA=OB=OC. Interno no acutângulo, meio da hipotenusa no retângulo, externo no obtusângulo.
G também é o centro de massa de uma região triangular homogênea. I é centro da circunferência interna tangente aos três lados; O é centro da circunferência que passa pelos vértices. Essas circunferências são apenas caracterizadas aqui, sem antecipar sua teoria.
Se AM=18, então AG=(2/3)·18=12 e GM=(1/3)·18=6.
Verificação: 12+6=18 e 12:6=2:1.
Teorema da bissetriz interna
BD, próximo de B, corresponde a AB; DC, próximo de C, corresponde a AC. Recíproca: se D está no interior de BC e BD/DC=AB/AC, então AD é bissetriz interna de Â.
A demonstração depende de áreas ou semelhança, estudadas depois. Aqui o direto e a recíproca são apresentados como teoremas, sem antecipar essas provas.
AB=8, AC=12, BC=15: BD/DC=2/3.
Cinco partes valem 15, cada uma vale 3: BD=6 e DC=9.
Verificação: 6/9=2/3=8/12 e 6+9=15.
Método para resolver questões
- Identifique
Vértices, lados e lados opostos.
- Teste positividade
Todos os comprimentos devem ser positivos.
- Valide a existência
Faça isso antes de classificar.
- Ache o maior lado
Use o teste simplificado quando aplicável.
- Classifique o tema
Lados, ângulos, cevianas ou centros.
- Registre hipóteses
Não confie no formato desenhado.
- Escolha o sentido
Teorema direto ou recíproca.
- Monte a equação
Soma angular, segmentos ou proporção.
- Resolva
Encontre a incógnita.
- Responda ao pedido
x pode não ser o lado ou ângulo solicitado.
- Verifique somas
180°, perímetro ou divisão do lado.
- Teste possibilidade
Medidas positivas e geometricamente válidas.
- Ignore a aparência
Use apenas marcas, dados e teoremas.
Pegadinhas e contraexemplos
- Igualdade
a=b+c produz degeneração.
- Positividade
Zero e negativos não são lados.
- Ordem
Valide existência antes de classificar.
- Maior lado
O teste único exige identificá-lo primeiro.
- Intervalo aberto
|b−c| e b+c não entram.
- Segmento × medida
AB não é o número AB.
- Oposição
Lado a fica oposto a A, não adjacente.
- Isósceles
Declare se a convenção é exclusiva ou inclusiva.
- Um ângulo de 60°
Não garante equilátero.
- Externo
Não o confunda com o interno adjacente nem use esse interno como remoto.
- Retas notáveis
Mediana, altura, bissetriz e mediatriz exigem marcas diferentes.
- Mediatriz
É reta e não é ceviana.
- Altura externa
Pode cair no prolongamento.
- Sem marcas
Não conclua altura, mediana ou bissetriz pela aparência.
- Centros
H e O não ficam sempre internos.
- Baricentro
A razão desde o vértice é 2:1, não 1:2.
- Bissetriz
BD corresponde a AB; DC, a AC.
- Pré-requisitos
Não antecipe congruência, semelhança ou Pitágoras.
- x não é a resposta
Calcule o lado ou ângulo pedido.
Questões resolvidas passo a passo
1. Elementos e notação
Em △ABC, a=BC, b=CA e c=AB.
Dados: vértices A,B,C.
Propriedade: a letra minúscula nomeia o comprimento oposto ao vértice homônimo.
Resposta: a é oposto a A; b a B; c a C.
Verificação: os pares são A↔BC, B↔CA, C↔AB.
2. Perímetro e semiperímetro
Lados 7,9 e 12.
Dados: medidas positivas e 12<7+9.
Fórmulas: P=a+b+c e s=P/2.
Cálculo: P=7+9+12=28; s=14.
Verificação: 2s=P.
3. Existência
Medidas 5,7,10.
Hipóteses: comprimentos positivos; maior lado 10.
Teste: 10<5+7=12.
Resposta: existe triângulo não degenerado.
Verificação: as outras desigualdades são automáticas.
4. Intervalo real
Dois lados medem 6 e 10; determine a.
Propriedade: |10−6|<a<10+6.
Desenvolvimento: 4<a<16.
Resposta: a∈(4,16).
Verificação: os extremos são degenerados e ficam excluídos.
5. Valores inteiros
Lados 7,11,x, com x inteiro.
Intervalo: 4<x<18.
Valores: 5,6,…,17.
Resposta: 13 valores.
Verificação: 17−5+1=13.
6. Classificação pelos lados
Lados 8,8,11.
Existência: 11<8+8.
Convenção: exatamente dois lados iguais.
Resposta: isósceles.
Verificação: há dois 8 e um 11.
7. Classificação pelos ângulos
Ângulos 50°,60°,70°.
Verificação da figura: 50+60+70=180.
Classificação: os três são menores que 90°.
Resposta: acutângulo.
Verificação: não foi usada a aparência.
8. Soma angular algébrica
Ângulos x+10°,2x e 3x−10°.
Equação: x+10+2x+3x−10=180.
Resolução: 6x=180, x=30.
Resposta: 40°,60°,80°.
Verificação: 40+60+80=180.
9. Ângulo externo
e=132° e um remoto mede 57°.
Teorema: e é a soma dos remotos.
Cálculo: outro remoto=132−57=75°; adjacente=180−132=48°.
Resposta: 75° e 48°.
Verificação: 57+75+48=180.
10. Isósceles
Ângulo do vértice 36°.
Teorema direto: ângulos da base são congruentes.
Equação: 36+2β=180.
Resposta: β=72°.
Verificação: 36+72+72=180.
11. Baricentro
AM é mediana, G∈AM e AM=18.
Propriedade: AG:GM=2:1.
Cálculo: AG=12, GM=6.
Resposta: 12 e 6.
Verificação: 12+6=18 e 12:6=2:1.
12. Posição de centro
O triângulo é obtusângulo; localize H e O.
Teoremas: posições do ortocentro e circuncentro.
Resposta: ambos são externos.
Verificação: G e I, ao contrário, permanecem internos.
Escala: a posição é teórica, não visual.
13. Bissetriz interna
AB=8, AC=12, BC=15 e AD é bissetriz.
Hipóteses: D está entre B e C.
Razão: BD/DC=8/12=2/3.
Cálculo: cinco partes valem 15; BD=6, DC=9.
Verificação: 6/9=8/12 e 6+9=15.
Exercícios
1. Em △ABC, qual lado é oposto ao vértice A?
2. Um triângulo tem lados 6,8 e 9. Seu perímetro é:
3. As medidas 3,4 e 7 determinam:
4. Pela convenção exclusiva desta página, lados 5,5,8 formam triângulo:
5. Um triângulo com ângulos 30°,60°,90° é:
6. Dois ângulos internos medem 48° e 67°. O terceiro mede:
7. Se dois lados medem 5 e 9, o terceiro lado real x deve satisfazer:
8. Quantos valores inteiros de x formam triângulo com 7 e 11?
9. Ângulos x+10°,2x e 3x−10° formam um triângulo. Qual é o maior ângulo?
10. Um ângulo externo mede 132° e um interno remoto mede 57°. O outro remoto mede:
11. Num isósceles, o ângulo do vértice mede 36°. Cada ângulo da base mede:
12. Num triângulo de lados 6,8,11, qual afirmação é correta?
13. No triângulo ABC do Diagrama 6, a altura traçada a partir de A deve:
14. AM é mediana, G é baricentro e AM=21. Quais são AG e GM?
15. Em um triângulo obtusângulo, qual dos centros listados fica necessariamente fora do triângulo?
16. Um isósceles possui lados x,x,14 e perímetro 40. Qual conclusão é correta?
17. Em △ABC, AB=AC e o ângulo externo adjacente a B mede 110°. Quanto mede Â?
18. AD é bissetriz interna, AB=12, AC=20, BD=x+1 e DC=2x−2. Qual é BC?
Gabarito comentado:
1-B: pela convenção a=BC, o lado BC é oposto a A.
2-C: P=6+8+9=23; os lados também satisfazem 9<14.
3-A: 3+4=7; a igualdade gera configuração degenerada, não triângulo válido.
4-D: 8<5+5 e há exatamente dois lados iguais; pela convenção exclusiva, é isósceles.
5-B: existe exatamente um ângulo de 90°, logo é retângulo.
6-C: 180−48−67=65°; a soma retorna 180°.
7-A: |9−5|<x<9+5, portanto 4<x<14; os extremos são degenerados.
8-D: 4<x<18 fornece os inteiros 5 a 17: 13 valores.
9-B: 6x=180, x=30; os ângulos são 40°,60°,80°, então o maior é 80°.
10-C: externo=soma dos remotos; 132−57=75°.
11-A: os ângulos da base são congruentes: (180−36)/2=72°.
12-D: no mesmo triângulo, maior lado 11↔maior ângulo e menor lado 6↔menor ângulo.
13-B: altura é perpendicular à reta que contém BC; não precisa ser mediana ou bissetriz.
14-C: AG=(2/3)·21=14 e GM=(1/3)·21=7; 14:7=2:1.
15-A: o circuncentro é externo no obtusângulo; incentro e baricentro são sempre internos. O ortocentro também é externo, mas não aparece nas opções.
16-D: 2x+14=40 ⇒ x=13; 14<13+13 confirma a existência.
17-B: interno B=180−110=70°. Como AB=AC, B=C=70°; A=180−140=40°.
18-C: (x+1)/(2x−2)=12/20=3/5. Então 5x+5=6x−6, x=11; BD=12, DC=20 e BC=32.
Resumo final
Três pontos distintos e não colineares unidos por três segmentos.
a=BC, b=CA, c=AB; P=a+b+c e s=P/2.
Lados positivos e maior lado menor que a soma dos outros.
|b−c|<a<b+c, com extremos excluídos.
Por lados: escaleno, isósceles, equilátero; por ângulos: acutângulo, retângulo, obtusângulo.
a>b⇔Â>B̂ e a=b⇔Â=B̂ no mesmo triângulo.
Internos somam 180°; externo é soma dos remotos.
Lados e ângulos opostos correspondem; equilátero⇔equiângulo.
Mediana e bissetriz interna são cevianas; altura pode ser externa; mediatriz não é ceviana.
G: medianas; H: alturas; I: bissetrizes; O: mediatrizes.
Divide cada mediana em 2:1 desde o vértice.
G e I internos; H e O dependem da classe angular.
BD/DC=AB/AC, com correspondência B↔AB e C↔AC.
Valide existência e use marcas e hipóteses, nunca apenas aparência.