Pular para o conteúdo da aula
EstudaMath

Teorema de Tales

Módulo 4 de 4 · Questões

Treino de fixação e preparação para provas. A organização segue do significado geométrico para a aplicação, sem depender da aparência do desenho.

Questões

As questões retomam a sequência do capítulo: primeiro a leitura do feixe, depois as proporções de Tales e, por fim, as bissetrizes. Marque uma alternativa e verifique cada resposta.

Feixe de paralelas e segmentos correspondentes

Leitura da figura

1. Julgue as afirmações.

  1. A e A′ são correspondentes quando estão na mesma reta do feixe.
  2. AB e A′B′ são correspondentes quando ficam entre o mesmo par de paralelas.
  3. Segmentos correspondentes precisam ter comprimentos iguais.
A) V, V, FB) V, F, VC) F, V, FD) V, V, V

Por quê? Correspondência indica posição entre as paralelas, não igualdade de comprimentos.

Proporção direta

2. Três paralelas são cortadas por duas transversais. Na primeira, os trechos consecutivos medem 4 e 6; na segunda, os correspondentes medem 8 e x. Quanto vale x?

A) 8B) 10C) 12D) 14

Cálculo: 4/6 = 8/x. Fazendo a multiplicação cruzada, 4x = 48 e x = 12.

Equação

3. Dois segmentos de uma transversal medem 2x + 1 e x + 4. Os segmentos correspondentes da outra transversal medem 3 e 2. Qual é o valor de x?

A) 4B) 6C) 8D) 10

Cálculo: (2x + 1)/(x + 4) = 3/2. Logo, 4x + 2 = 3x + 12 e x = 10.

Divisão proporcional

4. Um feixe determina, em uma transversal, três trechos de 5 cm, 6 cm e 9 cm. Na outra transversal, o trecho total correspondente mede 60 cm. Quais são os três comprimentos?

A) 10 cm, 20 cm e 30 cmB) 15 cm, 18 cm e 27 cmC) 12 cm, 18 cm e 30 cmD) 15 cm, 20 cm e 25 cm

Cálculo: o total inicial é 20 cm; o novo total é três vezes maior. Multiplicamos 5, 6 e 9 por 3.

Teorema de Tales

Montagem da razão

5. AB corresponde a A′B′, e CD corresponde a C′D′. Qual igualdade conserva a mesma ordem nas duas transversais?

A) AB/CD = C′D′/A′B′B) AB/A′B′ = C′D′/CDC) AB/CD = A′B′/C′D′D) AB/C′D′ = CD/A′B′

Leitura: AB está para CD assim como seu correspondente A′B′ está para o correspondente C′D′.

Triângulo com paralela

6. Em △ABC, D pertence a AB, E pertence a AC e DE ∥ BC. Se AD = 6, DB = 4 e AE = 9, quanto mede EC?

A) 6B) 7C) 8D) 9

Cálculo: AD/DB = AE/EC, então 6/4 = 9/x. Assim, 6x = 36 e x = 6.

Recíproca

7. Em △ABC, D está em AB e E está em AC. Qual informação permite concluir que DE é paralela a BC?

A) AD = AEB) DB = ECC) DE parece horizontal no desenhoD) AD/DB = AE/EC

Justificativa: essa é a recíproca do Teorema de Tales: divisões proporcionais nos dois lados garantem a paralela.

Aplicação no triângulo

8. Em △ABC, AC = 24 cm e BC = 20 cm. O ponto M está em AC e CM = 6 cm. Por M passa MN paralela a AB, com N em BC. Quanto mede CN?

A) 4 cmB) 5 cmC) 6 cmD) 8 cm

Cálculo: CM/CA = CN/CB. Portanto, 6/24 = CN/20 e CN = 5 cm.

Divisão de terrenos

9. Três lotes têm frentes de 30 m, 20 m e 40 m numa rua. As divisas laterais são paralelas e, na outra rua, a soma das frentes é 180 m. Quais são as novas frentes, na mesma ordem?

A) 50 m, 40 m e 90 mB) 45 m, 45 m e 90 mC) 60 m, 40 m e 80 mD) 60 m, 50 m e 70 m

Cálculo: 30 + 20 + 40 = 90. A outra frente total é o dobro; logo, cada trecho também dobra.

Bissetrizes interna e externa

Conceito

10. AD é a bissetriz interna de  e encontra BC em D. Qual conjunto de relações está correto?

A) BD/DC = AB/AC e BD + DC = BCB) BD/DC = AC/AB e BD − DC = BCC) BD = DC em todo triânguloD) AB/BD = AC/BC

Ideia: a bissetriz interna cria segmentos aditivos no lado BC e os deixa proporcionais aos lados adjacentes.

Bissetriz interna

11. A bissetriz interna do ângulo A divide BC em BD = 9 cm e DC = 16 cm. Se AB = 18 cm, quanto mede AC?

A) 24 cmB) 27 cmC) 30 cmD) 32 cm

Cálculo: 9/16 = 18/AC. Como 18 é o dobro de 9, AC é o dobro de 16: 32 cm.

Perímetro

12. O perímetro de △ABC é 100 m. A bissetriz interna de  divide BC em 16 m e 24 m. Quais são as medidas AB, AC e BC, nessa ordem?

A) 20 m, 40 m e 40 mB) 24 m, 36 m e 40 mC) 30 m, 30 m e 40 mD) 16 m, 24 m e 60 m

Cálculo: BC = 40 e AB:AC = 16:24 = 2:3. Restam 60 m para os lados; dividindo-os em cinco partes, obtemos 24 m e 36 m.

Equação com lados

13. A bissetriz interna AD divide BC em BD = 24 cm e DC = 30 cm. Se AB = 2x + 6 e AC = 3x, qual é o valor de x?

A) 9B) 12C) 15D) 18

Cálculo: 24/30 = (2x + 6)/(3x). Simplificando e multiplicando em cruz, 10x + 30 = 12x; portanto, x = 15.

Bissetriz externa

14. Na ordem B—C—D, AD é bissetriz externa, BC = 12 e AB/AC = 5/3. Quanto medem BD e DC?

A) BD = 20 e DC = 8B) BD = 24 e DC = 12C) BD = 25 e DC = 13D) BD = 30 e DC = 18

Cálculo: escreva BD = 5k e DC = 3k. Como BD − DC = BC, temos 2k = 12; logo, k = 6.

V ou F

15. Julgue as afirmações.

  1. Na bissetriz interna, os dois trechos do lado oposto são aditivos.
  2. Na bissetriz externa, os segmentos usados são subtrativos.
  3. A bissetriz externa sempre encontra um ponto dentro do segmento BC.
A) V, V, FB) V, F, VC) F, V, FD) V, V, V

Leitura: a interna usa soma; a externa encontra a reta de BC fora do segmento e usa diferença.

Caso isósceles

16. Qual afirmação descreve corretamente o caso especial da bissetriz externa no vértice A?

A) Ela é paralela a BC em qualquer triângulo.B) Se for paralela a BC, então AB e AC são sempre diferentes.C) AB = AC se, e somente se, essa bissetriz externa for paralela a BC.D) Ela coincide com a bissetriz interna.

Conclusão: no triângulo isósceles de base BC, a bissetriz externa do vértice principal é paralela à base; a recíproca também vale.

Interna e externa

17. O perímetro de △ABC é 15 cm. A bissetriz interna de  divide BC em 3 cm e 2 cm. A bissetriz externa encontra o prolongamento de BC em S, depois de C. Quais são AB, AC e CS?

A) 5 cm, 5 cm e 10 cmB) 6 cm, 4 cm e 10 cmC) 6 cm, 4 cm e 5 cmD) 9 cm, 6 cm e 10 cm

Passos: BC = 5 e AB:AC = 3:2. Como AB + AC = 10, obtemos AB = 6 e AC = 4. Na divisão externa, BS/CS = 3/2 e BS = 5 + CS, o que fornece CS = 10.

Consequência

18. Em △ABC, a bissetriz interna de  também é mediana do lado BC. O que podemos concluir?

A) O triângulo é retângulo em A.B) BC é o maior lado.C) Todos os lados são iguais.D) AB = AC, portanto o triângulo é isósceles de base BC.

Justificativa: sendo mediana, BD = DC. Pelo teorema da bissetriz, BD/DC = AB/AC; logo, AB/AC = 1 e AB = AC.