Semelhança de figuras e triângulos

Definição e razão de semelhança

Figuras semelhantes possuem a mesma forma, embora possam ter tamanhos diferentes. Formalmente, uma pode ser obtida da outra por ampliação ou redução uniforme, possivelmente combinada com translação, rotação ou reflexão.

Preserva

Ângulos, proporcionalidade entre comprimentos, forma, colinearidade, paralelismo e perpendicularidade.

Pode alterar

Comprimentos, perímetros e áreas.

Figuras semelhantes podem estar separadas, giradas ou refletidas. Orientação diferente não impede semelhança.

Diagrama 1. A notação usa diretamente AB, BC, AC e os correspondentes DE, EF, DF; não se afirma homotetia sem sua construção. Figura esquemática, sem escala.

Razão de semelhança

k>1

Ampliação da figura 1 para a 2.

0<k<1

Redução.

k=1

Figuras semelhantes e congruentes.

Direção inversa

k_inverso=1/k.

Se um lado mede 8 na figura 1 e 12 na figura 2, k=12/8=3/2. Na direção contrária, k_inverso=8/12=2/3.

Nunca use k sem declarar qual figura está no numerador e qual está no denominador.

Semelhança de triângulos e correspondência

Dois triângulos são semelhantes quando possuem ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais.

AB↔DEBC↔EFAC↔DF∠BAC↔∠EDF∠ABC↔∠DEF∠ACB↔∠DFE

Da figura ABC para DEF: DE/AB=EF/BC=DF/AC=k. Na direção inversa: AB/DE=BC/EF=AC/DF=1/k.

A ordem não é decorativa. Se A↔D, B↔E e C↔F, escrever △ABC∼△DFE é incompatível. Corrija mapeando posição por posição.

Propriedades da relação

Reflexiva

△ABC∼△ABC, k=1.

Simétrica

△ABC∼△DEF ⇒ △DEF∼△ABC, com 1/k.

Transitiva

Razões sucessivas k₁ e k₂ produzem k=k₁k₂.

Exemplo: uma ampliação por 2 seguida de outra por 3 produz fator total 6.

Semelhança e congruência

Congruência ≅

Mesma forma e tamanho; lados correspondentes congruentes; k=1.

Semelhança ∼

Mesma forma; tamanhos podem diferir; lados proporcionais; k>0.

Todo par congruente é semelhante; nem todo par semelhante é congruente. Equiláteros de lados 2 e 5 são semelhantes por AA, mas não congruentes.

Critérios suficientes

Critério	Dados	Posição	Erro frequente
AA	dois pares de ângulos	correspondência correta	achar que só um basta
LAL proporcional	dois pares de lados e um ângulo	ângulo compreendido	usar ângulo não compreendido
LLL proporcional	três pares de lados	mesma razão	trocar correspondentes

Critério AA

Se dois ângulos de um triângulo são respectivamente congruentes a dois ângulos de outro, os triângulos são semelhantes. O terceiro par também coincide pela soma de 180°.

Diagrama 2. Um, dois e três arcos registram a correspondência angular; nenhum lado parece “igual” por marca. Figura esquemática, sem escala.

m(∠A)=m(∠D)=50° e m(∠B)=m(∠E)=70°; então m(∠C)=m(∠F)=60° e △ABC∼△DEF por AA.

AB=6, DE=15 ⇒ k=15/6=5/2. Se BC=8, EF=(5/2)·8=20.

Verificação: EF/BC=20/8=5/2.

Critério LAL proporcional

Dois pares de lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos congruentes garantem semelhança.

Diagrama 3. O arco está entre os dois pares de lados; as marcas diferentes distinguem as correspondências. Figura esquemática, sem escala.

AB=6, AC=9, DE=10, DF=15: 10/6=15/9=5/3. Com os ângulos compreendidos congruentes, k=5/3 e os triângulos são semelhantes.

Dois lados proporcionais e um ângulo não compreendido não formam critério geral.

Critério LLL proporcional

Se os três pares de lados correspondentes estão na mesma razão, os triângulos são semelhantes.

Diagrama 4. Três famílias de traços registram os pares antes das razões. Figura esquemática, sem escala.

Os lados 3,4,5 e 6,8,10 satisfazem 6/3=8/4=10/5=2. Logo são semelhantes por LLL proporcional, com k=2.

Dados insuficientes

Um ângulo, um par de lados, dois lados sem ângulo compreendido, mesmo perímetro ou mesma área não garantem semelhança. O caso lado–lado–ângulo não compreendido pode ser ambíguo.

Diagrama 5. Um único par angular congruente é insuficiente; o símbolo central nega a conclusão. Figura esquemática, sem escala.

Ligação com o Teorema de Tales

Em △ABC, D pertence ao interior do segmento AB, E pertence ao interior do segmento AC e DE∥BC. Então △ADE∼△ABC por AA: A é comum e o paralelismo fornece pares correspondentes ou alternos congruentes.

Diagrama 6. Tales fornece a proporcionalidade e AA reconhece formalmente a semelhança, sem raciocínio circular. Figura esquemática, sem escala.

Medidas lineares e perímetros

Lados, alturas, medianas, bissetrizes internas e raios correspondentes são medidas lineares e variam com k. Se k=3/2 e uma altura da figura 1 mede 10, a correspondente mede 15. Se uma mediana da figura 2 mede 18, a da figura 1 mede 18÷(3/2)=12.

P₁=30, P₂=45 ⇒ k=45/30=3/2. Se um lado da figura 1 mede 8, o correspondente na figura 2 mede 12; 12/8=3/2.

Razão das áreas

Uma base e sua altura correspondente são multiplicadas por k. Como S=base·altura/2, a área é multiplicada por k·k=k².

Ampliação

k=3 ⇒ S₂/S₁=9. Se S₁=12, S₂=108.

Redução

k=1/2 ⇒ S₂/S₁=1/4. Metade nos comprimentos dá um quarto na área.

A escala linear de mapas é k, não k². E esta página não trabalha volumes.

Problemas inversos

De perímetros, k=P₂/P₁. De áreas, k=√(S₂/S₁), sempre com a raiz positiva porque k>0.

S₁=32, S₂=98: k²=98/32=49/16, logo k=7/4.

Se um lado da figura 1 mede 12, o da figura 2 mede (7/4)·12=21.

Verificação: 21/12=7/4.

Áreas 45 e 80, maior sobre menor: k=√(80/45)=√(16/9)=4/3.

Triângulo retângulo e altura na hipotenusa

Em △ABC retângulo em A, H pertence ao segmento BC e AH⊥BC. Por AA, △ABC∼△HBA∼△HAC.

ABC e HBA: ∠A e ∠H são retos; ∠B é comum. ABC e HAC: ∠A e ∠H são retos; ∠C é comum.

Diagrama 7. A ordem foi conferida pelos ângulos correspondentes; os marcadores registram ∠A e ∠AHB como retos. Figura esquemática, sem escala.

Essas semelhanças serão usadas para obter relações métricas e demonstrar o Teorema de Pitágoras. As fórmulas completas ficam para as próximas aulas.

Sombras, mapas e maquetes

Sombras justificadas por AA

Objetos verticais, solo com a mesma direção relevante, raios aproximadamente paralelos e medições no mesmo local e instante produzem dois triângulos retângulos com outro par angular correspondente.

Diagrama 8. Paralelismo solar, verticalidade e arcos angulares registram AA; a aparência não é usada como prova. Figura esquemática, sem escala.

h/8=1,8/1,2=3/2 ⇒ 2h=24 ⇒ h=12 m. Verificação: 12/8=1,8/1,2=1,5.

Mapas e escalas

E=medida representada/medida real, com unidades iguais. Em 1:25.000, 7,2 cm representam 7,2·25.000=180.000 cm=1.800 m=1,8 km. No sentido inverso, 3 km=300.000 cm e, em 1:100.000, correspondem a 3 cm.

Maquetes

Aplique k a comprimentos, largura, altura linear e perímetros; k² à área de uma face plana. Não há exercícios de volume aqui. Em sólidos semelhantes, volumes variam com k³, conteúdo de Geometria Espacial.

Método para resolver questões

Identifique figuras
Nomeie-as.
Mapeie vértices
Estabeleça correspondência.
Escolha o critério
AA, LAL ou LLL.
Escreva a ordem
Preserve os pares.
Declare k
Diga figura 1→2.
Associe lados
Não use aparência.
Classifique a grandeza
Linear, perímetro ou área.
Use k
Comprimentos e perímetros.
Use k²
Áreas.
Inverta áreas
Raiz positiva.
Converta unidades
Antes da razão.
Responda
Calcule o pedido.
Verifique
Substitua na proporção.
Ignore aparência
Use hipóteses formais.

Pegadinhas e contraexemplos

Direção
Declare o numerador de k.
k≤0
Razão de semelhança é positiva.
Lados trocados
Use correspondentes.
Ordem
Uma escrita incompatível muda os pares.
Uma inversão
Invalida a proporção.
Áreas
Variam com k², não k.
Comprimentos
Variam com k, não k².
LAL
Exige ângulo compreendido.
Ângulo único
Não basta.
Congruência
É apenas k=1.
Reflexão
Não impede semelhança.
Aparência
Não constitui critério.
AAA
É suficiente para semelhança, não congruência.
Área inversa
Use raiz positiva.
Escala
É linear em mapas.
Unidades
Não misture cm, m e km.
Sombras
Mesmo instante e configuração física.
Objetos inclinados
Exigem outro modelo.
Maquete
Área de face usa k².
Volume
Fora desta página.

Questões resolvidas

1. Ordem dos vértices

Hipóteses: △ABC∼△PQR, nessa ordem.

Critério: a semelhança já foi fornecida.

Correspondência: A↔P, B↔Q e C↔R; logo AC↔PR.

Direção de k: se necessário, ABC→PQR.

Equação: posições 1 e 3 correspondem.

Resultado: AC corresponde a PR.

Verificação: AB↔PQ e BC↔QR confirmam a mesma ordem.

2. Cálculo de k

Hipóteses: AB↔DE, AB=8 e DE=12.

Critério: a correspondência das figuras semelhantes é dada.

Correspondência: AB↔DE.

Direção de k: figura 1→figura 2.

Equação: k=DE/AB=12/8.

Resultado: k=3/2, portanto há ampliação.

Verificação: na direção inversa, k_inverso=8/12=2/3.

3. Redução

Hipóteses: lado₁=20 e k=3/5 da figura 1 para a 2.

Critério: semelhança e fator linear fornecidos.

Correspondência: lado₁↔lado₂.

Direção de k: figura 1→figura 2.

Equação: lado₂=(3/5)·20.

Resultado: lado₂=12; como 0<k<1, é redução.

Verificação: 12/20=3/5.

4. Critério AA

Hipóteses: m(∠A)=m(∠D)=50°, m(∠B)=m(∠E)=70°, AB=6, DE=15 e BC=8.

Critério: AA; m(∠C)=m(∠F)=60°.

Correspondência: A↔D, B↔E, C↔F; BC↔EF.

Direção de k: ABC→DEF.

Equação: k=DE/AB=15/6=5/2 e EF=k·BC.

Resultado: EF=(5/2)·8=20.

Verificação: EF/BC=20/8=5/2.

5. LAL proporcional

Hipóteses: AB=6, AC=9, DE=10, DF=15 e ∠BAC≅∠EDF.

Critério: LAL proporcional, com ângulos compreendidos.

Correspondência: A↔D, B↔E, C↔F; AB↔DE e AC↔DF.

Direção de k: ABC→DEF.

Equação: DE/AB=10/6=5/3 e DF/AC=15/9=5/3.

Resultado: △ABC∼△DEF, com k=5/3.

Verificação: os dois pares têm a mesma razão e incluem o ângulo dado.

6. LLL proporcional

Hipóteses: os lados, em ordem crescente, são 3,4,5 e 6,8,10.

Critério: LLL proporcional.

Correspondência: menor↔menor, intermediário↔intermediário e maior↔maior.

Direção de k: primeiro triângulo→segundo.

Equação: 6/3=8/4=10/5=2.

Resultado: os triângulos são semelhantes, com k=2.

Verificação: os três quocientes valem 2.

7. Tales e AA

Hipóteses: D pertence ao segmento AB, E pertence ao segmento AC e DE∥BC em △ABC.

Critério: AA, pelo ângulo A comum e pelos ângulos gerados pelo paralelismo.

Correspondência: A↔A, D↔B e E↔C.

Direção de k: ADE→ABC.

Equação: AD/AB=AE/AC=DE/BC=1/k.

Resultado: △ADE∼△ABC.

Verificação: a ordem preserva os lados AD↔AB, AE↔AC e DE↔BC.

8. Perímetros

Hipóteses: P₁=30, P₂=45 e lado₁=8.

Critério: razão linear de figuras semelhantes.

Correspondência: P₁↔P₂ e lado₁↔lado₂.

Direção de k: figura 1→figura 2.

Equação: k=P₂/P₁=45/30=3/2; lado₂=k·8.

Resultado: lado₂=12.

Verificação: lado₂/lado₁=12/8=3/2.

9. Áreas

Hipóteses: k=3 da figura 1 para a 2 e S₁=12.

Critério: áreas de figuras semelhantes variam com k².

Correspondência: S₁↔S₂.

Direção de k: figura 1→figura 2.

Equação: S₂=k²S₁=3²·12.

Resultado: S₂=108.

Verificação: S₂/S₁=108/12=9=k².

10. Problema inverso de área

Hipóteses: S₁=32, S₂=98 e lado₁=12.

Critério: razão de áreas de figuras semelhantes.

Correspondência: S₁↔S₂ e lado₁↔lado₂.

Direção de k: figura 1→figura 2.

Equação: k=√(S₂/S₁)=√(98/32)=√(49/16)=7/4.

Resultado: lado₂=(7/4)·12=21.

Verificação: 21/12=7/4 e (7/4)²=98/32.

11. Sombras

Hipóteses: objetos verticais, mesmo solo e instante; haste 1,8 m/1,2 m e árvore com sombra 8 m.

Critério: AA, por ângulos retos e raios solares paralelos.

Correspondência: altura da árvore↔altura da haste e sombra da árvore↔sombra da haste.

Direção de k: haste→árvore.

Equação: h/8=1,8/1,2=3/2; 2h=24.

Resultado: h=12 m.

Verificação: 12/8=1,8/1,2=1,5.

12. Escala

Hipóteses: escala 1:25.000 e comprimento de 7,2 cm no mapa.

Critério: escala linear, após igualar unidades.

Correspondência: medida representada↔medida real.

Direção de k: mapa→real, k=25.000.

Equação: 7,2·25.000=180.000 cm.

Resultado: 180.000 cm=1.800 m=1,8 km.

Verificação: 7,2/180.000=1/25.000.

A) △ABC∼△BAH∼△ACHB) △ABC∼△ABH∼△AHCC) △ABC∼△HBA∼△HACD) △ABC∼△HAB∼△CAH

Gabarito comentado:

1-B: definição formal. Critério: definição; correspondência e k não são numéricos. Verificação: mesmo perímetro, mesma área e mesma orientação não são necessários.

2-C: critério: caso particular k=1. Correspondência: todos os elementos homólogos coincidem em medida; direção indiferente, pois 1/1=1. Verificação: todo congruente é semelhante.

3-A: critério: ordem dada. A↔D, B↔E e C↔F, portanto AC↔DF. k não é necessário. Verificação: primeiro e terceiro vértices foram preservados.

4-D: correspondência AB↔DE; direção 1→2. k=DE/AB=15/6=5/2. Verificação: k>1, coerente com ampliação.

5-B: critério AA. Dois pares angulares correspondentes bastam; correspondência depende dos pares informados e k não é necessário. Verificação: o terceiro par também é congruente pela soma 180°.

6-C: direção 1→2 e k=3/5. Como 0<k<1, há redução. Verificação: qualquer comprimento correspondente fica com 3/5 do original.

7-A: critério LAL proporcional; AB↔DE, AC↔DF e ∠BAC↔∠EDF. Direção ABC→DEF: 10/6=15/9=5/3. Verificação: o ângulo é o compreendido.

8-D: critério LLL; correspondência em ordem crescente. Direção primeiro→segundo: 6/3=8/4=10/5=2. Verificação: os três quocientes coincidem.

9-B: critério AA já garantido; BC↔EF. Direção ABC→DEF: k=15/6=5/2 e EF=(5/2)·8=20. Verificação: 20/8=5/2.

10-C: perímetros e lados são lineares; lado₁↔lado₂. Direção 1→2: k=45/30=3/2 e lado₂=(3/2)·8=12. Verificação: 12/8=3/2.

11-A: áreas correspondentes S₁↔S₂. Direção 1→2: S₂=k²S₁=9·12=108. Verificação: 108/12=9.

12-D: áreas menor↔maior; direção menor→maior. k=√(80/45)=√(16/9)=4/3, raiz positiva. Verificação: (4/3)²=80/45.

13-B: escala linear, mapa↔real e direção mapa→real. 7,2·25.000=180.000 cm=1,8 km. Verificação: 7,2/180.000=1/25.000.

14-C: critério AA; altura↔altura e sombra↔sombra. Direção haste→árvore: k=8/1,2=20/3 e h=(20/3)·1,8=12 m. Verificação: 12/8=1,8/1,2.

15-A: critério AA no Diagrama 6; A↔A, D↔B e E↔C. Direção ADE→ABC, com k=AB/AD=AC/AE=BC/DE. Verificação: a ordem é △ADE∼△ABC.

16-D: áreas 1↔2 dão k₁₂=√(49/16)=7/4; lado₂=21 confirma lado₁=12. Na direção 2→3, k₂₃=2/3; lado₃=(2/3)·21=14. Verificação: k₁₃=(7/4)(2/3)=7/6 e 14/12=7/6.

17-B: perímetros 1↔2 dão, na direção 1→2, k=36/24=3/2. Áreas: S₂/S₁=k²=9/4; logo S₁=90·4/9=40. Verificação: 90/40=9/4.

18-C: critério AA. Em ABC↔HBA, A↔H e B↔B; em ABC↔HAC, A↔H e C↔C. k não é solicitado. Verificação: as ordens preservam os ângulos retos e os ângulos comuns.

Resumo final

Semelhança

Mesma forma, tamanho possivelmente diferente.

k>0

Declare sempre a direção.

Ampliação/redução

k>1 ou 0<k<1; k=1 é congruência.

Ordem

Determina todos os correspondentes.

Dois pares angulares.

LAL

Dois lados proporcionais e ângulo compreendido.

LLL

Três pares na mesma razão.

Tales

Paralelismo produz AA e proporções.

Lineares

Variam com k.

Perímetros

P₂/P₁=k.

Áreas

S₂/S₁=k².

Inversos

Use a raiz positiva.

Sombras

Exigem hipóteses físicas e AA.

Mapas

Escala linear e unidades iguais.

Altura na hipotenusa

Gera três triângulos semelhantes.

Próxima aula

Preparação para relações métricas e Pitágoras.