Relações métricas no triângulo retângulo

Configuração geométrica, projeções e notação

Considere △ABC não degenerado e retângulo em A, isto é, m(∠BAC)=90°. O segmento BC é a hipotenusa. A partir de A, traça-se AH perpendicular a BC, sendo H o pé da altura relativa à hipotenusa.

Por que H está no interior de BC?

Em um triângulo retângulo não degenerado, os ângulos B e C são agudos. Por isso, a perpendicular a BC traçada por A encontra o interior da hipotenusa, dividindo-a em dois segmentos positivos, BH e HC.

Adotaremos os comprimentos a=|AB|, b=|AC|, c=|BC|, h=|AH|, m=|BH| e n=|HC|. Assim, a,b,c,h,m,n>0. As barras distinguem a medida numérica do segmento geométrico.

Figura esquemática, sem escala. O triângulo ABC é retângulo em A, e AH é a altura relativa à hipotenusa BC.

Projeções ortogonais

A projeção ortogonal de um segmento sobre uma reta é o segmento determinado pelas projeções perpendiculares de seus extremos. Como B já pertence a BC e A projeta-se em H, a projeção de AB sobre BC é BH: por isso m corresponde ao cateto a. Analogamente, a projeção de AC sobre BC é HC, então n corresponde ao cateto b.

As letras não são universais: outro livro pode trocá-las. O que não pode mudar é a correspondência geométrica entre cada cateto e sua projeção.

Divisão da hipotenusa

BC é a concatenação de BH e HC; em comprimentos, |BC|=|BH|+|HC|, portanto c=m+n.

O que não pertence à hipotenusa

h é altura, não parcela de c. As parcelas são m e n.

Projeção não é cateto

Em geral m≠a e n≠b.

Caso 15–20–25

m=15²/25=9 e n=20²/25=16: as projeções 9 e 16 não são os catetos 15 e 20.

Os três triângulos semelhantes

A altura AH produz △ABC, △ABH e △AHC. O original é retângulo em A; os dois menores são retângulos em H. As semelhanças decorrem de AA, não da aparência.

△ABC∼△HBA

A↔H são ângulos retos; B↔B é o ângulo comum. Logo C↔A. Lados: BC↔BA, AB↔BH e AC↔HA.

△ABC∼△HAC

A↔H são ângulos retos; C↔C é o ângulo comum. Logo B↔A. Lados: BC↔AC, AC↔HC e AB↔HA.

△ABH∼△CAH

H↔H são ângulos retos; A↔C e B↔A são os pares agudos restantes. Assim BH↔AH e AH↔HC.

Ordem indispensável

Trocar a ordem dos vértices troca os lados homólogos e pode produzir proporções falsas.

Um quadrado marca cada ângulo reto; famílias de arcos registram os ângulos agudos homólogos. Figura esquemática, sem escala.

Deduções fundamentais passo a passo

As relações surgem da semelhança entre os três triângulos formados pela altura relativa à hipotenusa.

Relação do cateto a

Passo a passo da dedução

Use a semelhança △ABC∼△HBA.
BC/AB=AB/BH
Substitua os comprimentos correspondentes.
c/a=a/m
Faça o produto cruzado.
a²=cm

Relação final

a²=cm

Assim, a=√(cm), m=a²/c e c=a²/m, com c,m>0.

Relação do cateto b

Passo a passo da dedução

Use a semelhança △ABC∼△HAC.
BC/AC=AC/HC
Substitua os comprimentos correspondentes.
c/b=b/n
Faça o produto cruzado.
b²=cn

Relação final

b²=cn

Assim, b=√(cn), n=b²/c e c=b²/n, com c,n>0.

Relação da altura

Passo a passo da dedução

Use a semelhança △ABH∼△CAH.
BH/AH=AH/HC
Substitua os comprimentos.
m/h=h/n
Faça o produto cruzado.
h²=mn

Relação final

h=√(mn), com m,n>0

Como h>0, usa-se a raiz positiva; h é a média geométrica positiva de m e n.

Relação pela área

Passo a passo da dedução

Calcule a área usando os catetos.
S=ab/2
Calcule a mesma área usando a hipotenusa e a altura.
S=ch/2
Iguale as expressões e multiplique por 2.
ab=ch

Relação final

ab=ch e h=ab/c

Quadro das relações métricas

Relação	Interpretação	Origem
c=m+n	A hipotenusa é a soma das projeções.	Adição de segmentos adjacentes.
a²=cm	Quadrado do cateto a.	△ABC∼△HBA.
b²=cn	Quadrado do cateto b.	△ABC∼△HAC.
h²=mn	Quadrado da altura; média geométrica.	△ABH∼△CAH.
ab=ch	Catetos, hipotenusa e altura.	Comparação de áreas.
a²+b²=c²	Teorema de Pitágoras.	Consequência das relações dos catetos.

Compreender antes de memorizar

Não é necessário decorar fórmulas isoladas. Identifique a configuração, preserve m↔a e n↔b e escolha a relação que contém a incógnita e o menor número de grandezas desconhecidas.

Recuperação de Pitágoras e relação recíproca da altura

Teorema de Pitágoras como consequência

a²=cm e b²=cn.

Somando: a²+b²=cm+cn.

Colocando c em evidência: a²+b²=c(m+n).

Como m+n=c, segue que a²+b²=c².

Essa igualdade é consequência da configuração do triângulo retângulo; não é uma nova hipótese.

Relação recíproca da altura

De h=ab/c, temos h²=a²b²/c².

Invertendo grandezas positivas: 1/h²=c²/(a²b²).

Por Pitágoras, c²=a²+b².

Logo 1/h²=(a²+b²)/(a²b²).

Separando: 1/h²=1/a²+1/b².

Os denominadores são não nulos porque a,b,h>0. Essa fórmula vale para a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, não para uma altura arbitrária.

Fórmulas derivadas e aprofundamento

m=a²/c

n=b²/c

h=ab/c

h=\sqrt(mn)

a=\sqrt(cm)

b=\sqrt(cn)

c=m+n

Quando c e h são conhecidos

As projeções satisfazem m+n=c e mn=h². Portanto, são raízes de x²−cx+h²=0. O discriminante é c²−4h², e a existência de projeções reais positivas exige c²−4h²≥0, isto é, h≤c/2.

A igualdade h=c/2 ocorre no triângulo retângulo isósceles, quando m=n=c/2.

Estratégia para escolher a relação

Dados	Primeiro passo	Continuação
m e n	c=m+n; h=√(mn)	a=√(cm); b=√(cn)
c e m	n=c−m; a=√(cm)	h=√(mn); b=√(cn)
h e m	n=h²/m	c=m+n; a=√(cm); b=√(cn)
a e b	c=√(a²+b²)	h=ab/c; m=a²/c; n=b²/c
c e h	Resolva m+n=c e mn=h²	Depois determine os catetos.

Confirme: triângulo não degenerado, retângulo em A, AH perpendicular à hipotenusa.
Liste dados e incógnita com a correspondência m↔a e n↔b.
Escolha uma relação que contenha a incógnita e o menor número de desconhecidas.
Mantenha valores exatos durante o cálculo.
Verifique positividade, c=m+n e, quando possível, Pitágoras ou ab=ch.

Resultados exatos antes dos decimais

Para catetos a=6 e b=8, Pitágoras fornece c=10. Em seguida:

m=a²/c=36/10=18/5.

n=b²/c=64/10=32/5.

h=ab/c=48/10=24/5.

Verificação: m+n=18/5+32/5=50/5=10=c.

Frações exatas

m=18/5, n=32/5 e h=24/5 mantêm os valores sem arredondamento.

Decimais exatos

m=3,6, n=6,4 e h=4,8 são representações decimais exatas dessas frações.

Aproximação

Quando o decimal não termina, indique ≈ e arredonde somente ao final.

Separador

No texto em português, usa-se vírgula decimal.

Erros frequentes e contraexemplo

Triângulo qualquerAs relações exigem triângulo retângulo.
Altura erradaAH deve ser relativa à hipotenusa.
Segmento e medidaBC é segmento; c=|BC| é número.
CorrespondênciaTrocar m e n exige trocar também a e b.
Projeção ≠ catetoEm geral m≠a e n≠b.
Alturah não é parte da hipotenusa.
SomaA igualdade correta é c=m+n.
Soma falsaNão escreva h=m+n.
Média geométricah²=mn, portanto h=√(mn), não h=mn.
Raiz positivaComprimentos não admitem a raiz negativa.
ArredondamentoAproxime somente no fim.
OrdemTriângulos semelhantes exigem vértices homólogos na mesma posição.
AparênciaMarcas e hipóteses definem lados homólogos.
ConfiguraçãoNão aplique fórmula antes de confirmar a geometria.

Contraexemplo

Em um triângulo não retângulo, traçar uma altura sobre um lado não garante a²=cm, b²=cn nem h²=mn. Essas relações resultam especificamente da semelhança criada pela altura à hipotenusa de um triângulo retângulo.

Questões resolvidas

1. Projeções conhecidas

Dados: m=9 cm e n=16 cm. Incógnitas: c,h,a,b.

Escolha: projeções conhecidas permitem usar diretamente c=m+n e h=√(mn).

Substituição: c=9+16=25 cm; h=√(9·16)=12 cm.

Catetos: a=√(25·9)=15 cm; b=√(25·16)=20 cm.

Verificações: 15²+20²=625=25² e ab=300=25·12=ch.

Conclusão: c=25 cm, h=12 cm, a=15 cm e b=20 cm.

2. Altura e uma projeção

Dados: h=12 cm e m=9 cm. Incógnitas: n,c,a,b.

Escolha: h²=mn contém apenas a projeção n desconhecida.

Substituição: 12²=9n, então n=144/9=16 cm.

Continuação: c=9+16=25 cm; a=√(25·9)=15 cm; b=√(25·16)=20 cm.

Verificação: h²=144=9·16.

Conclusão: n=16 cm, c=25 cm e os catetos medem 15 cm e 20 cm.

3. Catetos conhecidos

Dados: a=6 cm e b=8 cm. Incógnitas: c,m,n,h.

Escolha: primeiro Pitágoras; depois formas derivadas.

Hipotenusa: c=√(6²+8²)=10 cm.

Resultados exatos: m=36/10=18/5 cm; n=64/10=32/5 cm; h=48/10=24/5 cm.

Verificação: m+n=50/5=10=c.

Conclusão: c=10 cm, m=18/5 cm, n=32/5 cm e h=24/5 cm.

4. Hipotenusa e uma projeção

Dados: c=20 cm e m=5 cm. Incógnitas: n,a,b,h.

Escolha: n=c−m e relações de catetos e altura.

Projeção: n=20−5=15 cm.

Substituição: a=√(20·5)=10 cm; b=√(20·15)=10√3 cm; h=√(5·15)=5√3 cm.

Verificação: a²+b²=100+300=400=20².

Conclusão: n=15 cm, a=10 cm, b=10√3 cm e h=5√3 cm.

5. Hipotenusa e altura

Dados: c=13 cm e h=6 cm. Incógnitas: m,n,a,b.

Escolha: m+n=13 e mn=36.

Equação: x²−13x+36=0=(x−4)(x−9).

Projeções: 4 cm e 9 cm.

Catetos: √(13·4)=2√13 cm e √(13·9)=3√13 cm.

Conclusão: sem dado adicional, a ordem dos catetos pode ser trocada junto com a das projeções.

6. Razão entre projeções

Dados: c=20 cm e m:n=1:4. Incógnitas: m,n,h,a,b.

Modelagem: m=x e n=4x.

Soma: x+4x=20, então x=4.

Resultados: m=4 cm, n=16 cm, h=√64=8 cm.

Catetos: a=√80=4√5 cm e b=√320=8√5 cm.

Verificação: m+n=20 e h²=64=4·16.

Exercícios

Fácil

1. Na notação da aula, qual projeção corresponde ao cateto a=|AB|?

A) HCB) BHC) AHD) BC

Fácil

2. Se m=4 cm e n=9 cm, a hipotenusa mede:

A) 6 cmB) 9 cmC) 13 cmD) 36 cm

Fácil

3. Se m=4 cm e n=9 cm, a altura relativa à hipotenusa mede:

A) 6 cmB) 13 cmC) 36 cmD) 2 cm

Fácil

4. Se c=20 cm e m=5 cm corresponde ao cateto a, então a mede:

A) 5 cmB) 15 cmC) 20 cmD) 10 cm

Médio

5. Se h=6 cm e m=4 cm, quais são n e c?

A) n=6 cm e c=10 cmB) n=9 cm e c=13 cmC) n=4 cm e c=8 cmD) n=36 cm e c=40 cm

Médio

6. Os catetos medem 5 m e 12 m. Qual é a altura relativa à hipotenusa?

A) 5 mB) 12 mC) 60⁄13 mD) 13 m

Médio

7. Se m=9 cm e n=16 cm, quais são os catetos correspondentes?

A) 15 cm e 20 cmB) 9 cm e 16 cmC) 12 cm e 25 cmD) 18 cm e 32 cm

Médio

8. Se c=10 cm e m=18⁄5 cm corresponde ao cateto a, então a mede:

A) 18 cmB) 10 cmC) 36 cmD) 6 cm

Difícil

9. Se c=25 cm e h=12 cm, as projeções sobre a hipotenusa medem:

A) 5 cm e 20 cmB) 9 cm e 16 cmC) 12 cm e 13 cmD) 7 cm e 18 cm

Difícil

10. A hipotenusa mede 20 cm e as projeções estão na razão 1:4. Qual é a altura?

A) 8 cmB) 10 cmC) 16 cmD) 4 cm

Difícil

11. Se c=13 cm, m=4 cm e n=9 cm, os catetos correspondentes medem:

A) 4 cm e 9 cmB) 6 cm e 12 cmC) 2√13 cm e 3√13 cmD) 13 cm e 13 cm

Difícil

12. Em uma estrutura triangular retângula, c=10 m e h=4 m. Qual é a menor projeção sobre a hipotenusa?

A) 1 mB) 4 mC) 5 mD) 2 m

Gabarito comentado:

1-B: a=|AB| corresponde a m=|BH|, pois a projeção ortogonal de AB sobre BC é BH.

2-C: c=m+n=4+9=13 cm. Somar as projeções, não multiplicá-las, fornece a hipotenusa.

3-A: h=√(mn)=√36=6 cm; usar m+n daria c, não h.

4-D: a²=cm=20·5=100, portanto a=10 cm, raiz positiva.

5-B: h²=mn dá 36=4n, então n=9 cm e c=m+n=13 cm.

6-C: c=√(5²+12²)=13 m e h=ab/c=60/13 m. A forma h=ab omitiria a divisão por c.

7-A: c=25 cm; m corresponde a a e n a b: a=√(25·9)=15 cm e b=√(25·16)=20 cm.

8-D: a²=cm=10·(18/5)=36, logo a=6 cm.

9-B: m+n=25 e mn=144; x²−25x+144=(x−9)(x−16), então as projeções são 9 cm e 16 cm.

10-A: m=x, n=4x e 5x=20, logo m=4 e n=16; h=√64=8 cm.

11-C: a=√(13·4)=2√13 cm e b=√(13·9)=3√13 cm, mantendo m↔a e n↔b.

12-D: m+n=10 e mn=16; x²−10x+16=(x−2)(x−8), logo a menor projeção mede 2 m.

Resumo final

Configuração

△ABC não degenerado, retângulo em A, com AH perpendicular à hipotenusa.

Projeções

m=|BH| corresponde a a=|AB|; n=|HC| corresponde a b=|AC|.

Positividade

a,b,c,h,m,n>0 e H está no interior de BC.

Hipotenusa

c=m+n.

Catetos

a²=cm e b²=cn.

Altura

h²=mn.

Área

ab=ch.

Pitágoras

a²+b²=c².

Origem

Semelhança dos três triângulos e comparação de áreas.

Ordem

Lados homólogos devem ocupar posições correspondentes.