Configuração e correspondência
Considere triângulo retângulo ABC, hipotenusa c=BC, altura h=AH e pé H. A projeção m=BH corresponde ao cateto a=AB; n=HC corresponde ao cateto b=AC. Todas as medidas são positivas.
Relações fundamentais
a²=cm
b²=cn
h²=mn
ab=ch
A correspondência m↔a e n↔b deve permanecer em toda a resolução.
Origem por semelhança
A altura produz três triângulos semelhantes: ABC, ABH e AHC. Igualando razões de lados homólogos surgem a²=cm, b²=cn e h²=mn; comparando áreas, ab/2=ch/2, logo ab=ch.
Consequências úteis
De a²=cm e b²=cn: a²+b²=c(m+n)=c², recuperando Pitágoras.
Escolha da relação
Projeções dadas: comece por c=m+n e h²=mn. Catetos dados: obtenha c por Pitágoras e depois m=a²/c, n=b²/c. Nunca troque a projeção correspondente.
Pegadinhas
- Trocar m e n entre exemplos.
- Usar relações fora de triângulo retângulo.
- Tratar h como parte da hipotenusa.
- Omitir positividade ao extrair raízes.
- Confundir projeção com cateto.
Questões resolvidas
1. Projeções dadas
m=9 e n=16.
c=25 e h=√144=12.
a=√(25·9)=15; b=√(25·16)=20.
2. Altura e projeção
h=12 e m=9.
h²=mn ⇒ 144=9n, n=16.
c=25 e os catetos são 15 e 20.
3. Catetos dados
a=6 e b=8.
c=10.
m=a²/c=3,6; n=b²/c=6,4; h=ab/c=4,8.
Exercícios
1. Na notação do diagrama, vale:
2. m=4,n=9: h=
3. No diagrama, m corresponde ao cateto a. Se c=20 e m=5, a=
4. h=6 e m=4. A hipotenusa é:
5. Catetos 5 e 12. A altura à hipotenusa mede:
Gabarito comentado:
1-B: H divide a hipotenusa nas projeções m e n.
2-B: h=√(mn)=6.
3-B: a²=cm=100.
4-C: n=h²/m=9 e c=4+9=13.
5-A: c=13 e h=ab/c=60/13.
Resumo final
- A página mantém m↔a e n↔b.
- c=m+n; a²=cm; b²=cn; h²=mn; ab=ch.
- As relações vêm da semelhança.
- Pitágoras é recuperado somando as relações dos catetos.
- Todas as medidas são positivas no triângulo não degenerado.