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Ponto, reta e plano

Fundamentos da geometria euclidiana

Construa a linguagem usada em demonstrações e problemas geométricos.

Noções primitivas e incidência

Ponto, reta e plano são noções primitivas: descrevemos suas relações sem defini-los por ideias mais simples. Escrevemos A∈r quando A pertence a r e A∉r caso contrário.

  • dois pontos distintos determinam uma única reta;
  • três pontos não colineares determinam um único plano;
  • se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, toda a reta pertence ao plano.
Incidência entre pontos, reta e plano Um paralelogramo representa o plano alfa. Os pontos A e B pertencem à reta r contida no plano; C pertence ao plano, mas não à reta. O ponto P é exterior ao plano. A B C P r α P ∉ α
A e B pertencem a r; C pertence somente ao plano α; a reta r está contida em α e P é exterior a α. Figura ilustrativa, sem escala.

Colinearidade e coplanaridade

Pontos colineares pertencem a uma mesma reta; coplanares pertencem a um mesmo plano. Três pontos colineares pertencem a infinitos planos que contêm sua reta — não significa que não pertençam a plano algum.

Reta, semirreta e segmento

A reta AB estende-se nos dois sentidos. A semirreta de origem A que passa por B é diferente da semirreta de origem B que passa por A. O segmento geométrico AB contém A, B e os pontos entre eles; seu comprimento AB é um número não negativo.

Reta, segmento e semirreta determinados por A e B Na primeira linha, a reta AB prolonga-se nos dois sentidos. Na segunda, o segmento AB possui os extremos A e B. Na terceira, a semirreta AB tem origem A, passa por B e continua além de B. reta AB: dois sentidos ilimitados segmento AB: dois extremos semirreta AB: origem A A B A B A B
A reta não tem extremos; o segmento é limitado por A e B; a semirreta AB começa em A, passa por B e prolonga-se nesse único sentido. Figura ilustrativa, sem escala.

Entre, adição e ponto médio

B entre A e C ⇒ AC=AB+BC
M ponto médio de AB ⇔ M∈AB e AM=MB

As duas condições do ponto médio são necessárias: igualdade de distâncias sem pertencimento ao segmento não basta.

Posições relativas

Retas podem ser coincidentes, concorrentes ou paralelas no plano. No espaço, também podem ser reversas: não coplanares e sem interseção. “Paralelas” exige coplanaridade.

Pegadinhas

  • Confundir o objeto segmento com seu comprimento numérico.
  • Tratar as semirretas AB e BA como iguais.
  • Afirmar que três pontos colineares não determinam plano algum.
  • Usar AC=AB+BC sem B estar entre A e C.
  • Concluir incidência apenas pela aparência do desenho.

Questões resolvidas

1. Adição de segmentos

B está entre A e C; AB=3x−2, BC=x+6 e AC=24.

(3x−2)+(x+6)=24.

4x+4=24, x=5.

AB=13 e BC=11.

2. Ponto médio

M é ponto médio de AB; AM=2x+1 e MB=5x−14.

2x+1=5x−14, x=5.

AM=MB=11 e AB=22.

3. Colinearidade

A, B e C são colineares e distintos. Quantos planos os contêm no espaço?

Eles determinam uma reta r.

Infinitos planos podem conter r; todos contêm A, B e C.

Exercícios

Fácil

1. Dois pontos distintos determinam:

A) uma única retaB) um único planoC) infinitas retasD) nenhum segmento
Médio

2. B está entre A e C; AB=x+4, BC=2x−1 e AC=18. x vale:

A) 3B) 5C) 7D) 9
Médio

3. No diagrama da aula, a representação que possui uma origem e se prolonga em um sentido é:

A) retaB) segmentoC) semirretaD) plano
Difícil

4. Três pontos distintos colineares determinam, no espaço:

A) nenhum planoB) um único planoC) infinitos planos contendo sua retaD) exatamente dois planos
Difícil

5. M∈AB, AM=3x−2, MB=x+8 e AB=26. Para M ser ponto médio:

A) x=5 e as medidas são 13B) x=4 e as medidas são 10C) x=6 e as medidas são 16D) não existe x

Gabarito comentado:

1-A: É postulado de incidência.

2-B: 3x+3=18, então x=5.

3-C: A semirreta tem origem e um único sentido ilimitado.

4-C: A reta dos pontos pode pertencer a infinitos planos.

5-A: AM=MB e AM+MB=26 dão x=5 e 13+13.

Resumo final

  • Ponto, reta e plano são noções primitivas.
  • Segmento e comprimento não são o mesmo objeto.
  • Três pontos colineares pertencem a infinitos planos no espaço.
  • Ponto médio pertence ao segmento e equidista dos extremos.
  • Desenho auxilia, mas não demonstra incidência.