Linhas poligonais e definição de polígono
Linha poligonal é uma sequência finita de segmentos consecutivos na qual cada segmento possui uma extremidade comum com o seguinte. Uma linha curva não formada por segmentos não é poligonal.
A primeira e a última extremidade são diferentes.
A última extremidade coincide com a primeira.
Segmentos não consecutivos não se cruzam; consecutivos encontram-se somente na extremidade comum.
Há autointerseções que não são apenas vértices consecutivos.
Um polígono simples é a figura plana formada por uma linha poligonal simples e fechada, juntamente com a região interior que ela delimita. O contorno pode ser chamado fronteira poligonal. Salvo indicação contrária, “polígono” significará polígono simples.
Um polígono possui n lados, n vértices e n ângulos internos, com n inteiro e n≥3. Cada lado une vértices consecutivos; uma diagonal une vértices não consecutivos. O perímetro é a soma dos comprimentos dos lados. Figuras autointersectantes são extensões e não recebem automaticamente as fórmulas usuais desta aula.
Convexidade, concavidade e regularidade
Um polígono simples é convexo quando, para quaisquer dois pontos de sua região, o segmento que os une permanece inteiramente contido na região poligonal.
Um polígono simples é côncavo quando não é convexo: existem dois pontos da região cujo segmento de união possui parte exterior ao polígono.
Em um polígono simples convexo, todos os ângulos internos são menores que 180°. Em um simples côncavo, ao menos um ângulo interno é maior que 180°. O desenho ilustra; a definição e as hipóteses classificam.
Todos os lados têm a mesma medida.
Todos os ângulos internos têm a mesma medida.
No escopo escolar, é simples, convexo, equilátero e equiângulo.
Particularmente, equilátero e equiângulo são condições equivalentes.
É equiângulo, mas não equilátero; logo não é regular.
É equilátero, mas não equiângulo; logo não é regular.
É equilátero e equiângulo; portanto regular.
Em polígonos gerais, equilátero não significa regular, nem equiângulo significa regular.
Nomenclatura
| Número de lados | Nome | Número de lados | Nome |
|---|---|---|---|
| 3 | triângulo | 12 | dodecágono |
| 4 | quadrilátero | 13 | tridecágono |
| 5 | pentágono | 14 | tetradecágono |
| 6 | hexágono | 15 | pentadecágono |
| 7 | heptágono | 16 | hexadecágono |
| 8 | octógono | 17 | heptadecágono |
| 9 | eneágono ou nonágono | 18 | octodecágono |
| 10 | decágono | 19 | eneadecágono ou nonadecágono |
| 11 | undecágono ou hendecágono | 20 | icoságono |
Para um valor geral, use “polígono de n lados” ou “n-ágono”.
Diagonais por vértice e diagonais totais
Partindo de um vértice
Há n−1 outros vértices.
Dois são adjacentes; os segmentos até eles são lados.
Logo dv=(n−1)−2=n−3, para n≥3.
Triângulo: 0; quadrilátero: 1; hexágono: 3; decágono: 7 diagonais por vértice.
Total
Os n vértices geram n(n−3) incidências vértice-diagonal.
Cada diagonal AB foi contada em A e em B; AB e BA são o mesmo segmento.
Portanto D=n(n−3)/2.
Os pares de vértices determinam C(n,2)=n(n−1)/2 segmentos. Excluindo os n lados: D=C(n,2)−n=n(n−3)/2.
D=0.
D=2.
D=5.
D=9.
D=20.
D=54.
Triangulação
Num polígono convexo de n lados, as n−3 diagonais traçadas de qualquer vértice escolhido permanecem na região e formam n−2 triângulos não sobrepostos.
Um leque a partir de qualquer vértice pode usar diagonais que saem da região. Todo polígono simples admite triangulação em n−2 triângulos, mas pode ser necessário escolher diagonais de vértices diferentes.
Soma interna e ângulos externos
Soma dos ângulos internos
A triangulação produz n−2 triângulos. Cada um soma 180°, e seus ângulos recompõem os ângulos internos do polígono. Assim, Sint=(n−2)·180°.
A fórmula também vale para polígonos simples côncavos quando se usa uma triangulação válida e se interpretam corretamente os ângulos internos. Não a aplique automaticamente a figuras autointersectantes.
180°.
360°.
540°.
720°.
1440°.
1800°.
Ângulos externos
Num polígono convexo, o ângulo externo positivo em cada vértice é formado por um lado e o prolongamento do consecutivo; ele é suplementar ao interno adjacente. Escolhendo um por vértice e percorrendo todos no mesmo sentido, as mudanças de direção completam uma volta:
Em polígonos simples côncavos, a soma dos ângulos de giro orientados é +360° ou −360°, conforme o sentido. Essa formulação orientada não deve ser confundida com a soma de medidas positivas usada no caso convexo.
De S=(n−2)180°, obtemos n=S/180°+2, ou n=S/180+2 quando S representa numericamente graus. O resultado deve ser inteiro e n≥3. Para S=1980°, n=13. Se S=1000°, n=1000/180+2 não é inteiro: não pode ser soma interna de um polígono simples.
Polígonos regulares, perímetro e apótema
Num polígono regular convexo, todos os ângulos internos são congruentes. Dividindo a soma interna por n:
Equivalentemente, i=180°−360°/n.
i+e=180°.
Tem a mesma medida numérica de e, mas é outro ângulo.
ℓ é o comprimento de cada lado.
i=120°, e=60° e central=60°.
i=150°, e=30° e central=30°.
Soma 720°, mas seus ângulos não precisam medir 120°.
n=84/7=12: dodecágono regular.
No polígono regular, é o segmento perpendicular do centro a um lado. Ele encontra o lado no ponto médio e decompõe a figura em n triângulos isósceles congruentes. Como antecipação de áreas: A=P·ap/2, em que ap é o comprimento do apótema.
Problemas inversos e condições de existência
n=360°/e, com e>0, n inteiro e n≥3. Se e=24°, n=15 e i=156°.
n=360°/(180°−i), com 0<i<180° e n inteiro ≥3.
Por exemplo, i=155° produz n=360/25=14,4; portanto não existe polígono regular com esse ângulo interno.
Número total de diagonais conhecido
D=n(n−3)/2 implica n²−3n−2D=0.
Pela fórmula quadrática, n=[3±√(9+8D)]/2.
Como n≥3, interessa n=[3+√(9+8D)]/2.
9+8D deve ser quadrado perfeito ímpar, n deve ser inteiro e n≥3. Para D=44, 9+8D=361=19² e n=11. Para D=10, o discriminante é 89; não existe polígono com exatamente 10 diagonais.
Estratégia para resolver problemas
| Informação | Relação recomendada | Hipótese ou verificação |
|---|---|---|
| Número de lados | D=n(n−3)/2 | n inteiro e n≥3. |
| Diagonais por vértice | dv=n−3 | Não conte lados. |
| Triângulos no leque | n−2 | Leque a partir de qualquer vértice exige convexidade. |
| Soma interna | (n−2)180° | Polígono simples. |
| Externo regular | 360°/n | Polígono regular convexo. |
| Interno regular | 180°−360°/n | Não use em irregular. |
| Perímetro regular | P=nℓ | Todos os lados medem ℓ. |
| Total de diagonais | n²−3n−2D=0 | Exija raiz inteira n≥3. |
- Identifique se o polígono é simples, convexo ou regular.
- Separe dados, incógnita e domínio n∈ℤ, n≥3.
- Escolha a relação que usa apenas os dados disponíveis.
- Nos problemas inversos, teste integralidade, sinal e hipótese de regularidade.
- Conclua com nome do polígono ou impossibilidade, não apenas com uma raiz algébrica.
Erros frequentes
- DefiniçãoNem toda linha fechada é polígono; a fronteira deve ser poligonal.
- AutointerseçãoNão aplique automaticamente as fórmulas escolares.
- Lado ou diagonalDiagonal une vértices não consecutivos.
- Próprio vérticeEle não é destino de segmento.
- AdjacentesProduzem lados, não diagonais.
- Contagem duplaD total exige divisão por 2.
- n−3 e n−2O primeiro conta diagonais por vértice; o segundo, triângulos.
- ConcavidadeUm leque pode sair da região.
- Ângulo individualAs fórmulas i e e exigem regularidade.
- EquiláteroSozinho não garante regularidade.
- EquiânguloSozinho não garante regularidade.
- ExternosDefina um por vértice e a orientação.
- DomínioNúmero de lados deve ser inteiro e ≥3.
- Raiz negativaNão representa quantidade de lados.
- DiscriminanteVerifique se produz n inteiro.
- AparênciaUse definições e hipóteses, não o desenho como prova.
Questões resolvidas
1. Diagonais de um octógono
Dados: n=8. Incógnita: D.
Hipótese: polígono simples; diagonais dependem apenas dos vértices.
D=8(8−3)/2=8·5/2=20.
Conclusão: o octógono possui 20 diagonais.
2. Soma interna de um dodecágono
Dados: n=12.
S=(12−2)180°=10·180°=1800°.
Validade: vale para polígono simples, convexo ou côncavo com ângulos usuais.
Conclusão: a soma interna é 1800°.
3. Soma interna inversa
Dado: S=1980°.
n=S/180°+2=1980/180+2=11+2=13.
13 é inteiro e ≥3.
Conclusão: trata-se de um polígono de 13 lados.
4. Externo de 24°
Um polígono regular tem e=24°.
n=360°/24°=15; o resultado é inteiro.
i=180°−24°=156°.
Conclusão: pentadecágono regular, com interno 156°.
5. É possível D=44?
Dado: D=44.
Δ=9+8·44=361=19².
n=(3+19)/2=11; a outra raiz é negativa.
Verificação: 11·8/2=44. É possível.
6. É possível D=10?
Dado: D=10.
Δ=9+8·10=89, que não é quadrado perfeito.
n=(3+√89)/2 não é inteiro.
Conclusão: não existe polígono com exatamente 10 diagonais.
7. D=5n
O total de diagonais é cinco vezes o número de lados.
n(n−3)/2=5n. Como n≥3, n>0 e podemos dividir por n.
(n−3)/2=5; n−3=10; n=13.
Verificação: D=13·10/2=65=5·13.
8. Interno cinco vezes o externo
Polígono regular com i=5e.
i+e=180°; então 5e+e=180°.
e=30° e n=360°/30°=12.
Conclusão: dodecágono regular; i=150°.
9. Perímetro e lado
Dados: P=84 cm e ℓ=7 cm, polígono regular.
P=nℓ; então n=84/7=12.
12 é inteiro e ≥3.
Conclusão: dodecágono regular.
10. Polígono de 18 lados
Dado: n=18; suponha convexo para o leque.
dv=18−3=15; D=18·15/2=135.
Triângulos no leque=18−2=16; S=16·180°=2880°.
Conclusão: 15 diagonais por vértice, 135 totais, 16 triângulos e soma 2880°.
Exercícios
1. Nesta aula, um polígono simples é formado por:
2. Um polígono simples é convexo quando:
3. Um polígono regular é:
4. Um polígono de 11 lados é chamado:
5. De um vértice de um decágono partem quantas diagonais?
6. Quantas diagonais possui um octógono?
7. Um hexágono convexo triangulado em leque a partir de um vértice produz:
8. A soma dos ângulos internos de um dodecágono simples é:
9. A soma interna de um heptágono simples côncavo é:
10. Um polígono regular possui ângulo interno de 156°. Quantos lados tem?
11. Um polígono regular tem ângulo externo de 18°. Determine n e o ângulo interno.
12. Um polígono possui 44 diagonais. Seu número de lados é:
13. Qual afirmação sobre D=10 diagonais é correta?
14. Se o total de diagonais é cinco vezes o número de lados, então n é:
15. Um polígono regular tem perímetro 84 cm e lado 7 cm. Quantos lados possui e qual é seu ângulo externo?
Gabarito comentado:
1-B: pela convenção adotada, o polígono simples inclui a linha poligonal simples fechada e a região delimitada; curva qualquer e autointerseção não satisfazem a definição.
2-C: convexidade exige que todo segmento entre dois pontos da região permaneça nela; aparência e número de lados não bastam.
3-A: regularidade escolar exige simultaneamente lados e ângulos congruentes.
4-D: 11 lados correspondem a undecágono ou hendecágono.
5-B: dv=n−3=10−3=7; os dois adjacentes produzem lados.
6-C: D=8(8−3)/2=20; 40 surge ao esquecer a divisão por 2.
7-A: no hexágono convexo, o leque produz n−2=4 triângulos; n−3=3 conta as diagonais.
8-D: S=(12−2)180°=1800°.
9-B: o heptágono é simples, então S=(7−2)180°=900°, mesmo sendo côncavo; apenas o leque arbitrário exige cuidado.
10-C: e=180°−156°=24° e n=360°/24°=15, inteiro e ≥3.
11-A: n=360°/18°=20 e i=180°−18°=162°.
12-D: Δ=9+8·44=361=19²; n=(3+19)/2=11. A raiz negativa é descartada.
13-B: Δ=9+8·10=89 não é quadrado perfeito; n=(3+√89)/2 não é inteiro.
14-C: n(n−3)/2=5n e n>0; dividindo por n, n−3=10 e n=13.
15-A: P=nℓ dá n=84/7=12; como é regular, e=360°/12=30°.
Resumo final
Linha poligonal simples fechada com sua região; n inteiro e n≥3.
No convexo, todo segmento entre pontos da região permanece nela; o côncavo falha nesse teste.
É equilátero e equiângulo; uma condição isolada não basta em geral.
dv=n−3 e D=n(n−3)/2.
Leque convexo: n−3 diagonais e n−2 triângulos.
S=(n−2)180° para polígonos simples.
No convexo, um exterior por vértice no mesmo sentido soma 360°.
i=180°−360°/n; e=360°/n; central=360°/n.
P=nℓ no polígono regular de lado ℓ.
Soluções devem produzir n inteiro e n≥3, além de respeitar as hipóteses.