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Inscrição e circunscrição

Tangência, centros e polígonos regulares

Relacione centros, raios, apótemas e condições de existência.

Relações de inscrição e circunscrição

  • polígono inscrito: vértices na circunferência;
  • circunferência circunscrita: passa pelos vértices;
  • circunferência inscrita: tangente a todos os lados;
  • polígono circunscrito: lados tangentes à circunferência.
Triângulo inscrito e circunferência inscrita À esquerda, os três vértices de um triângulo pertencem à circunferência. À direita, uma circunferência toca exatamente os três lados de um triângulo equilátero. circunferência circunscrita circunferência inscrita
Figura esquemática, sem escala: à esquerda há três incidências exatas; à direita, os três pontos destacados são tangências exatas.
Quadrilátero cíclico e hexágono regular Os quatro vértices A, B, C e D pertencem à mesma circunferência. O hexágono regular tem seis raios e ângulo central de sessenta graus. ABCD quadrilátero cíclico 360°/6 = 60°60°
Figura esquemática, sem escala: A, B, C e D estão exatamente na circunferência; o hexágono é regular por construção.

Triângulos, inraio e circunraio

Todo triângulo não degenerado possui circunferências inscrita e circunscrita. Incentro é centro da inscrita; circuncentro, da circunscrita. Com lados a,b,c, semiperímetro s, área A, inraio r e circunraio R:

A=rs
A=abc/(4R)

Triângulos especiais

No retângulo, R=hipotenusa/2. No equilátero de lado l e altura h=l√3/2:

r=h/3=l√3/6
R=2h/3=l√3/3=2r

Quadriláteros cíclicos e tangenciais

Um quadrilátero convexo é cíclico se, e somente se, um par de ângulos opostos é suplementar; então o outro também é. Para quadrilátero tangencial convexo, a condição de Pitot a+c=b+d é necessária. Não a trate, isoladamente, como suficiente para qualquer quadrilátero convexo.

Polígonos regulares

Possuem centro comum, raio circunscrito R e apótema ou raio inscrito r. O triângulo central é isósceles e o ângulo central mede 360°/n.

Pegadinhas

  • Confundir o objeto inscrito com a circunferência de referência.
  • Omitir não degeneração do triângulo.
  • Aplicar critério cíclico sem convexidade.
  • Declarar Pitot suficiente em qualquer quadrilátero convexo.
  • Trocar inraio por circunraio.

Questões resolvidas

1. Triângulo retângulo

Catetos 6 e 8.

Hipotenusa 10; R=5.

A=24, s=12; r=A/s=2.

2. Cíclico

Num quadrilátero convexo, ângulos opostos medem 3x+8 e 5x−4.

Somam 180°: 8x+4=180.

x=22.

3. Regular

Hexágono regular inscrito em circunferência R=5.

Ângulo central=60°.

Cada lado é corda de 60°, logo l=R=5.

Exercícios

Fácil

1. Centro da circunferência inscrita no triângulo:

A) baricentroB) incentroC) ortocentroD) circuncentro
Médio

2. Triângulo com A=60 e s=15 tem r:

A) 2B) 4C) 5D) 6
Médio

3. No diagrama, à esquerda o triângulo está:

A) circunscrito à circunferênciaB) inscrito na circunferênciaC) fora do círculoD) tangente internamente
Difícil

4. Num quadrilátero convexo, um par de opostos mede 112° e 68°. Conclusão:

A) é cíclicoB) é tangencialC) é losangoD) não há conclusão
Difícil

5. Triângulo equilátero de lado 6 tem r e R:

A) √3 e 2√3B) 2√3 e √3C) 3 e 6D) √6 e 2√6

Gabarito comentado:

1-B: É o encontro das bissetrizes internas.

2-B: A=rs, então r=4.

3-B: Seus vértices pertencem à circunferência.

4-A: São suplementares; o critério bicondicional aplica-se ao convexo.

5-A: r=l√3/6=√3; R=2r=2√3.

Resumo final

  • Declare qual figura está inscrita ou circunscrita.
  • Todo triângulo não degenerado possui inraio e circunraio.
  • A=rs=abc/(4R).
  • Critério cíclico exige quadrilátero convexo.
  • Pitot é condição necessária, não uma suficiência universal isolada.