O que significa estar inscrito ou circunscrito?
As palavras sempre relacionam dois objetos. Estar apenas dentro de outra figura não caracteriza inscrição: é preciso verificar incidência ou tangência.
| Objeto | Condição exata | Relação inversa |
|---|---|---|
| Polígono inscrito | Todos os vértices pertencem à circunferência. | A circunferência é circunscrita ao polígono. |
| Circunferência inscrita | É tangente a todos os lados do polígono. | O polígono é circunscrito à circunferência. |
| Triângulo inscrito | Seus três vértices estão na circunferência. | Seu centro é o circuncentro. |
| Circunferência inscrita no triângulo | Toca os três lados, um ponto em cada lado. | Seu centro é o incentro. |
Vocabulário: circunferência é a curva fechada; círculo ou disco é a região limitada por ela.
Existência e unicidade nos triângulos
Todo triângulo não degenerado possui uma única circunferência inscrita e uma única circunferência circunscrita. Para lados positivos a, b e c, valem as desigualdades estritas:
a+c > b
b+c > a
Se, por exemplo, a+b=c, os vértices ficam alinhados e a área é zero. Não há triângulo não degenerado nem os raios positivos estudados nesta aula.
Unicidade: as bissetrizes internas concorrem num único ponto equidistante dos lados; as mediatrizes concorrem num único ponto equidistante dos vértices.
Incentro, circuncentro e seus raios
Incentro I
É a interseção das três bissetrizes internas. Como um ponto da bissetriz é equidistante dos lados do ângulo, I tem a mesma distância perpendicular aos três lados. Essa distância é o inraio r. I está sempre no interior.
Circuncentro O
É a interseção das mediatrizes. Como um ponto da mediatriz equidista das extremidades do segmento, OA=OB=OC=R. Essa distância é o circunraio R.
Não confunda: incentro, circuncentro, baricentro e ortocentro são distintos num triângulo geral. Os quatro coincidem apenas no equilátero.
Relações métricas fundamentais
Adotaremos lados a, b e c, semiperímetro p=(a+b+c)/2, área A, inraio r e circunraio R.
Área e inraio
Ligando I aos vértices, obtemos três triângulos de alturas iguais a r:
A = (a+b+c)r/2 = pr
r = A/p e p = A/r
As divisões são válidas porque p>0 e r>0.
Área e circunraio
Pela área trigonométrica e pela lei dos senos estendida:
a/sen(A) = 2R ⇒ sen(A) = a/(2R)
A = abc/(4R)
R = abc/(4A)
A letra A pode indicar um ângulo no seno e a área no restante; quando necessário, escrevemos a área como 𝒜.
Triângulos especiais
Triângulo retângulo
Se a e b são catetos e c é a hipotenusa:
r = (a+b−c)/2
Como A=ab/2 e p=(a+b+c)/2, temos r=ab/(a+b+c). Multiplicar por a+b−c e usar a^{2}+b^{2}=c^{2} produz a segunda forma.
6–8–10: R=10/2=5; A=24; p=12; r=A/p=2.
Triângulo equilátero de lado ℓ
r = h/3 = ℓ√3/6
R = 2h/3 = ℓ√3/3 = 2r
O centro divide a mediana na razão 2:1 a partir do vértice. Para ℓ=6, r=√3 e R=2√3.
Triângulo isósceles
Incentro, circuncentro, baricentro e ortocentro estão no eixo de simetria, mas não necessariamente coincidem. A coincidência dos quatro ocorre apenas no equilátero.
Quadriláteros cíclicos
Um quadrilátero convexo é cíclico quando os quatro vértices pertencem à mesma circunferência:
ABCD é cíclico ⇔ B̂+D̂ = 180°
Na ida, os ângulos inscritos opostos interceptam arcos cuja soma é 360°, e cada ângulo mede metade do arco. Na volta, se um par oposto é suplementar, o quarto vértice pertence à circunferência dos outros três.
Teorema de Ptolomeu
Para um quadrilátero convexo cíclico:
A recíproca também vale no caso convexo. Não use a fórmula num quadrilátero arbitrário sem verificar a hipótese.
Fórmula de Brahmagupta
Para lados consecutivos a, b, c, d e p=(a+b+c+d)/2 de um quadrilátero cíclico:
Os quatro lados não determinam a área de um quadrilátero arbitrário; a ciclicidade é indispensável.
Exemplo: se (3x+8)° e (5x−4)° são opostos, 3x+8+5x−4=180, então x=22 e os ângulos são 74° e 106°.
Quadriláteros tangenciais
Um quadrilátero convexo é tangencial quando seus quatro lados tangenciam uma mesma circunferência. O centro equidista dos lados e pertence às quatro bissetrizes internas.
Teorema de Pitot e recíproca
Se a, b, c e d são lados consecutivos de um quadrilátero convexo:
Direta: sejam x, y, z e w os comprimentos tangentes a partir dos vértices. Então a=x+y, b=y+z, c=z+w e d=w+x; logo a+c=b+d.
Recíproca: se a+c=b+d num quadrilátero convexo, existe uma circunferência tangente aos quatro lados. A prova é não trivial; o resultado é chamado recíproca de Pitot ou teorema de Steiner.
Referência: Martin Josefsson, “More Characterizations of Tangential Quadrilaterals”, Forum Geometricorum 11 (2011), p. 65–82. Consultar o artigo.
Somando as áreas dos quatro triângulos de altura r:
Quadriláteros bicêntricos
São cíclicos e tangenciais. O quadrado é bicêntrico. Um retângulo não quadrado é cíclico, mas não tangencial; um losango não quadrado é tangencial, mas não cíclico.
Polígonos regulares
Todo polígono regular simples e convexo possui circunferências inscrita e circunscrita concêntricas. Para n lados ℓ, circunraio R e apótema r, o ângulo central mede 360°/n.
No triângulo retângulo fundamental:
ℓ = 2R sen(180°/n)
r = R cos(180°/n)
r = ℓ/(2 tan(180°/n))
Em radianos, use π/n. Não misture graus e radianos.
| Polígono regular | Inraio r | Circunraio R |
|---|---|---|
| Triângulo equilátero | ℓ√3/6 | ℓ√3/3 |
| Quadrado | ℓ/2 | ℓ√2/2 |
| Hexágono regular | ℓ√3/2 | ℓ |
Hexágono com R=5: ℓ=5, r=5√3/2, P=30 e A=75√3/2.
Quadros comparativos
| Figura | Condição | Consequência |
|---|---|---|
| Triângulo não degenerado | Sempre admite as duas circunferências, unicamente. | A=pr=abc/(4R). |
| Quadrilátero convexo cíclico | Ângulos opostos suplementares. | Ptolomeu e Brahmagupta. |
| Quadrilátero convexo tangencial | Somas dos lados opostos iguais. | Pitot e A=pr. |
| Polígono regular convexo | Sempre possui ambas, concêntricas. | A=Pr/2. |
| Centro | Construção | Distância | Posição |
|---|---|---|---|
| Incentro I | Bissetrizes internas. | Aos lados: r. | Sempre interior. |
| Circuncentro O | Mediatrizes. | Aos vértices: R. | Interior, sobre ou exterior. |
Pegadinhas frequentes
- Confundir estar dentro com estar inscrito.
- Não dizer qual objeto está inscrito ou circunscrito.
- Trocar circunferência por círculo.
- Esquecer que todos os vértices devem pertencer à mesma circunferência.
- Esquecer que todos os lados devem tangenciar a mesma circunferência.
- Usar triângulo degenerado nas fórmulas.
- Confundir incentro com circuncentro.
- Afirmar que O está sempre dentro do triângulo.
- Afirmar que os quatro centros coincidem em qualquer isósceles.
- Usar A=pr com perímetro em vez de semiperímetro.
- Usar A=abc/(4R) com área nula.
- Esquecer que R=c/2 usa a hipotenusa.
- Aplicar o critério cíclico sem convexidade.
- Aplicar Ptolomeu a quadrilátero arbitrário.
- Aplicar Brahmagupta sem ciclicidade.
- Dizer que Pitot é apenas necessário: a recíproca vale no convexo.
- Concluir que todo cíclico é tangencial, ou vice-versa.
- Misturar graus e radianos.
Questões resolvidas passo a passo
1. Triângulo 6–8–10
R=10/2=5.
A=6·8/2=24 e p=12.
r=24/12=2.
2. A=60 e p=15
A=pr ⇒ 60=15r.
r=4.
3. Triângulo 13–14–15
p=21 e, por Heron, A=√(8·7·6·21)=84.
r=84/21=4.
R=13·14·15/(4·84)=455/56.
4. Cíclico
3x+8+5x−4=180.
x=22.
Ângulos 74° e 106°.
5. Pitot
Lados 5, 7, 8 e x.
5+8=7+x.
x=6. No caso convexo, a igualdade também é suficiente.
6. Área tangencial
Lados 5, 7, 8, 6 e r=3.
p=13.
A=pr=39.
7. Hexágono regular
R=5.
ℓ=5, r=5√3/2 e P=30.
A=75√3/2.
8. Quadrado de lado 10
r=10/2=5.
Diagonal=10√2.
R=5√2.
9. Ptolomeu no retângulo 6 por 8
As diagonais medem 10.
10·10=6·6+8·8=100.
Exercícios
1. Um polígono está inscrito quando:
2. O encontro das bissetrizes internas é o:
3. O centro equidistante dos vértices é o:
4. No triângulo retângulo, O está:
5. A=60 e p=15. O inraio é:
6. No triângulo 6–8–10, (r,R) é:
7. No equilátero de lado 6, (r,R) é:
8. Um convexo tem ângulos opostos 112° e 68°. Ele é:
9. Um convexo tangencial tem lados 5, 7, 8, x. x vale:
10. No triângulo 13–14–15 de área 84, R é:
11. Num quadrado de lado 10, (r,R) é:
12. Hexágono regular com R=5 tem lado:
13. No retângulo 6 por 8, Ptolomeu dá:
14. Ângulo central 24°. Quantos lados?
15. Tangencial com lados 5,7,8,6 e r=3. Área:
Gabarito comentado:
1-B: todos os vértices precisam estar na circunferência.
2-C: I é a interseção das bissetrizes e equidista dos lados.
3-A: O é a interseção das mediatrizes e equidista dos vértices.
4-D: no retângulo, O é o ponto médio da hipotenusa.
5-B: r=A/p=60/15=4.
6-C: r=2 e R=5.
7-A: r=√3 e R=2√3.
8-D: 112°+68°=180°; pela recíproca do critério, é cíclico.
9-B: por Pitot, 5+8=7+x, então x=6; a recíproca vale no convexo.
10-C: R=13·14·15/(4·84)=455/56.
11-A: r=5 e R é metade da diagonal 10√2.
12-D: no hexágono regular, ℓ=R.
13-B: as diagonais valem 10 e 100=36+64.
14-C: n=360°/24°=15.
15-A: p=13 e A=pr=39.
Resumo final
- Polígono inscrito: vértices na circunferência; circunscrito: lados tangentes à mesma circunferência.
- Todo triângulo não degenerado tem incentro e circuncentro únicos.
- Incentro: bissetrizes e distância r aos lados. Circuncentro: mediatrizes e distância R aos vértices.
- A=pr e A=abc/(4R).
- No retângulo, R=c/2 e r=(a+b−c)/2; no equilátero, R=2r.
- Convexo cíclico ⇔ ângulos opostos suplementares.
- Convexo tangencial ⇔ a+c=b+d: Pitot e recíproca.
- Ptolomeu e Brahmagupta exigem ciclicidade.
- No regular, R²=r²+(ℓ/2)² e A=Pr/2.
Revise também Áreas de figuras planas e Lugares geométricos.