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Congruência

Critérios e demonstrações

Reconheça dados suficientes para garantir igualdade de forma e tamanho.

Congruência e correspondência

Triângulos congruentes têm mesma forma e tamanho. △ABC≅△DEF significa A↔D, B↔E, C↔F; portanto AB↔DE, BC↔EF e AC↔DF. A ordem não é decorativa.

Triângulos congruentesDois triângulos congruentes ABC e DEF. Um traço marca AB e DE, dois traços marcam AC e DF, três traços marcam BC e EF, e marcas angulares indicam ângulos correspondentes.ABCDEF
Traços iguais nos lados e arcos iguais nos ângulos registram as correspondências A↔D, B↔E e C↔F. Figura ilustrativa, sem escala.

LLL, LAL e ALA

  • LLL: três pares de lados correspondentes;
  • LAL: dois lados e o ângulo compreendido;
  • ALA: dois ângulos e o lado compreendido entre eles.

LAAo e hipotenusa-cateto

LAAo significa lado–ângulo–ângulo oposto: são conhecidos dois ângulos e um lado oposto a um deles. HC exige dois triângulos retângulos com hipotenusas e um par de catetos correspondentes congruentes.

Dados insuficientes

AAA garante apenas semelhança. LLA, com ângulo não compreendido, não é critério geral: o caso ambíguo pode produzir dois triângulos distintos.

Estrutura de demonstração

  1. identifique os triângulos;
  2. liste dados e marcas;
  3. registre lado ou ângulo comum;
  4. aplique o critério;
  5. conclua elementos correspondentes.

Pegadinhas

  • Usar AAA como congruência.
  • Usar LAL com ângulo não compreendido.
  • Aplicar HC sem dois triângulos retângulos.
  • Ignorar lado comum numa prova.
  • Escrever correspondência incompatível com a ordem dos vértices.

Questões resolvidas

1. LAL

AB=DE, AC=DF e Â=D̂.

Os ângulos estão entre os lados informados.

△ABC≅△DEF por LAL; logo BC=EF.

2. LLL em isósceles

AB=AC, M é ponto médio de BC e AM é comum.

BM=CM.

△ABM≅△ACM por LLL; ∠BAM=∠MAC.

3. Insuficiência

Dois triângulos têm lados 5 e 8 e ângulo de 30° oposto ao lado 5.

Os dados são LLA.

Podem existir configurações distintas; congruência não está garantida.

Exercícios

Fácil

1. Qual não é critério geral de congruência?

A) LLLB) LALC) ALAD) AAA
Médio

2. Em LAL, o ângulo informado deve ser:

A) externoB) compreendido entre os ladosC) o maiorD) reto
Médio

3. No diagrama, △ABC≅△DEF na ordem indicada. BC corresponde a:

A) DEB) DFC) EFD) FE e DE
Difícil

4. HC pode ser aplicado quando:

A) há duas hipotenusas iguais em triângulos quaisquerB) ambos são retângulos e têm hipotenusa e um cateto correspondentes iguaisC) há três ângulos iguaisD) há dois lados quaisquer iguais
Difícil

5. Dois lados e um ângulo não compreendido são iguais em dois triângulos. Conclusão correta:

A) congruentes por LALB) congruentes por LLAC) dados podem ser insuficientesD) congruentes por AAA

Gabarito comentado:

1-D: AAA fixa forma, não tamanho.

2-B: Sem essa posição pode ocorrer ambiguidade.

3-C: B↔E e C↔F.

4-B: A hipótese de ângulo reto é indispensável.

5-C: LLA não é critério geral devido ao caso ambíguo.

Resumo final

  • A ordem dos vértices define correspondências.
  • LAL exige ângulo compreendido; ALA, lado compreendido.
  • LAAo explicita o lado oposto a um ângulo conhecido.
  • HC exige triângulos retângulos.
  • AAA e LLA não garantem congruência geral.