Definição formal, círculo e elementos
Dado um ponto O do plano e um número real R>0, a circunferência de centro O e raio R é 𝒞(O,R)={P no plano : |OP|=R}. O símbolo OP representa o segmento; |OP|, seu comprimento.
A circunferência é uma curva fechada. O círculo, ou disco fechado, é a região {P : |OP|≤R}; seu interior satisfaz |OP|<R, e o exterior, |OP|>R. A curva possui comprimento, enquanto a área πR² pertence ao círculo delimitado por ela.
Segmento do centro a um ponto da circunferência; sua medida é R.
Segmento com extremidades na circunferência.
Corda que passa pelo centro. Se d é sua medida, d=2R.
Parte da circunferência entre dois pontos. As extremidades de um diâmetro determinam semicircunferências.
Reta com exatamente dois pontos comuns à circunferência.
Reta com exatamente um ponto comum, chamado ponto de tangência.
Todo diâmetro é corda, mas nem toda corda é diâmetro. O diâmetro é a maior corda: a distância entre dois pontos da circunferência não supera 2R, pela desigualdade triangular.
Posições relativas de pontos e retas
Para um ponto P, compare |OP| com R. Para uma reta s, use a distância d do centro à reta, medida pelo segmento perpendicular.
P é interior.
P pertence à circunferência.
P é exterior.
s é exterior: nenhum ponto comum.
s é tangente: um ponto comum.
s é secante: dois pontos comuns.
Comprimento da circunferência e área do círculo
π é a razão constante entre o comprimento e o diâmetro. Use unidades lineares.
É a medida da região delimitada. Use unidades quadradas.
R=5 cm: Lcirc=2π·5=10π cm, valor exato.
Com π≈3,14, Lcirc≈31,4 cm. O símbolo ≈ indica aproximação.
R=6 cm: A=π·6²=36π cm².
Não troque 2πR por πR²: uma expressão mede comprimento; a outra, área.
Arcos, comprimento de arco e setor circular
O arco geométrico é parte da curva. Sua medida angular pode ser escrita m(⌢AB)=α°, enquanto ℓ representa seu comprimento. Dois pontos não diametralmente opostos determinam um arco menor e um maior; por isso, “arco AB” pode exigir contexto.
Se α é o valor numérico da medida em graus, 0≤α≤360, então ℓ=(α/360)·2πR.
Se θ está em radianos, ℓ=Rθ. Radiano é adimensional; não insira graus nessa fórmula.
Asetor=(α/360)·πR².
Asetor=R²θ/2.
R=6 cm e α=60°: ℓ=(60/360)·12π=2π cm.
Asetor=(60/360)·36π=6π cm².
Raio e comprimento de arco usam a mesma unidade. Os resultados exatos vêm antes de qualquer aproximação.
Ângulos central, inscrito e tangente-corda
O vértice é O e os lados são semirretas OA e OB. Numericamente, m(∠AOB)=m(⌢AB).
O vértice está na circunferência; seus lados contêm cordas. O arco interceptado não contém o vértice, e m(ângulo)=½·m(arco).
O vértice é o ponto de tangência; um lado está na tangente e o outro contém uma corda. Sua medida é metade do arco interceptado.
Ângulo e arco não são o mesmo objeto. O teorema compara suas medidas angulares.
Ângulos inscritos que interceptam o mesmo arco possuem a mesma medida. Se o arco interceptado é uma semicircunferência de 180°, o ângulo mede 90°: é o Teorema de Tales na circunferência. A conclusão exige que o lado subtendido seja um diâmetro.
Exemplo: se o arco interceptado mede 140°, o ângulo inscrito mede 140°/2=70°.
Ângulos formados no interior e no exterior
Duas cordas AB e CD cruzam-se em P no interior. A medida de ∠APC é metade da soma do arco AC, interceptado pelo ângulo, com o arco BD, interceptado pelo oposto pelo vértice:
Se o vértice P é exterior, em qualquer configuração de duas secantes, secante-tangente ou duas tangentes, a medida é metade da diferença não negativa entre o arco maior e o menor:
Arcos 80° e 44°: (80+44)/2=62°.
Arcos 170° e 70°: (170−70)/2=50°.
Se x é o arco menor, o maior mede 360°−x; então ½[(360−x)−x]=180°−x.
No interior, somam-se os dois arcos opostos específicos; no exterior, subtrai-se o menor do maior.
| Tipo | Vértice | Fórmula e arcos |
|---|---|---|
| Central | Centro | Mesma medida angular do arco interceptado. |
| Inscrito | Circunferência | Metade do arco que não contém o vértice. |
| Tangente-corda | Ponto de tangência | Metade do arco interceptado pelo ângulo escolhido. |
| Cordas internas | Interior | Metade da soma do arco do ângulo e do arco do oposto pelo vértice. |
| Secantes/tangentes | Exterior | Metade da diferença: arco maior menos arco menor. |
Quadrilátero inscritível
Em todo quadrilátero inscrito, os ângulos opostos são suplementares: A+C=180° e B+D=180°. Reciprocamente, se um quadrilátero convexo possui um par de ângulos opostos suplementares, então é inscritível.
A soma surge porque cada par de ângulos inscritos intercepta, ao todo, arcos cuja soma é 360°; tomar a metade produz 180°. Exemplo: se um ângulo mede 72°, seu oposto mede 108°.
Propriedades e comprimento das cordas
Na mesma circunferência, ou em circunferências congruentes, cordas congruentes determinam arcos menores congruentes e reciprocamente. Elas também estão à mesma distância do centro, e cordas equidistantes são congruentes.
A perpendicular traçada do centro a uma corda divide-a ao meio. Reciprocamente, a reta que passa pelo centro e pelo ponto médio de uma corda não diametral é perpendicular à corda.
Se uma corda está a distância d do centro de uma circunferência de raio R, com 0≤d≤R, a perpendicular cria dois triângulos retângulos congruentes. A metade da corda mede √(R²−d²), logo:
R=13 cm e d=5 cm: meia corda=√(13²−5²)=√144=12 cm.
A corda completa mede 24 cm.
Tangentes e segmentos tangentes
O raio até o ponto de tangência é perpendicular à tangente.
Se T pertence à circunferência e uma reta por T é perpendicular a OT, então ela é tangente em T.
A hipótese T∈𝒞(O,R) é indispensável. Perpendicularidade aparente num desenho não basta.
De P exterior, sejam PA e PB tangentes. Os triângulos OAP e OBP são retângulos, OA=OB por serem raios e OP é comum. Pela congruência hipotenusa-cateto, |PA|=|PB|.
Potência de um ponto
Em relação à circunferência de centro O e raio R, Pot(P)=|PO|²−R². Ela é positiva para P exterior, nula sobre a circunferência e negativa para P interior.
Para P exterior, produtos de comprimentos positivos coincidem com Pot(P). Para P interior, o produto das partes das cordas é R²−|PO|², o oposto da potência algébrica. Isso evita misturar comprimentos positivos com segmentos orientados.
| Configuração | Relação com comprimentos positivos | Leitura |
|---|---|---|
| Cordas internas | |PA|·|PB|=|PC|·|PD| | P divide as duas cordas em quatro partes. |
| Duas secantes externas | |PA|·|PB|=|PC|·|PD| | P–A–B e P–C–D; PA e PC são externas, PB e PD são inteiras. |
| Tangente e secante | |PT|²=|PA|·|PB| | P–A–B e PB é a secante inteira. |
| Duas tangentes | |PA|=|PB| | É igualdade de comprimentos, não produto de potência. |
Por que aparecem produtos?
Se AB e CD cruzam-se em P, ΔPAC∼ΔPDB: os ângulos em P são opostos pelo vértice, e ∠PAC e ∠PDB interceptam o mesmo arco CB. Assim, PA/PD=PC/PB e PA·PB=PC·PD.
Na ordem P–A–B e P–C–D, ΔPAD∼ΔPCB: compartilham o ângulo em P e os outros ângulos vêm do mesmo arco. Logo PA/PC=PD/PB e PA·PB=PC·PD.
Os triângulos PTA e PBT são semelhantes pelo ângulo comum em P e pelo teorema tangente-corda. Então PT/PB=PA/PT, de onde PT²=PA·PB.
3·8=4x, então x=6.
Externa 3 e inteira 12; externa 4 e inteira x: 3·12=4x, x=9.
Externa 5 e interna 15 dão inteira 20; PT²=5·20 e PT=10.
|PO|=13 e R=5: Pot(P)=169−25=144; a tangente mede √144=12.
Erros frequentes
- Curva e regiãoCircunferência não é o disco; área pertence ao círculo.
- ArcoMedida angular em graus não é comprimento linear.
- Radianosℓ=Rθ exige θ em radianos.
- Objetos e medidasÂngulo não “é” arco; suas medidas podem coincidir.
- NotaçãoUse ∠AOB ou AÔB, não ∠AÔB.
- InscritoUse metade do arco que não contém o vértice.
- FatorNão esqueça 1/2 nas fórmulas angulares derivadas.
- InteriorSomam-se dois arcos específicos; não se subtraem.
- ExteriorSubtrai-se arco menor do maior; não se somam.
- Secante inteiraEla inclui a parte externa e a interna.
- TangênciaA aparência não substitui perpendicularidade e T∈𝒞.
- RecíprocaPerpendicular por ponto fora da circunferência não garante tangência.
- Potência interiorO produto positivo é o oposto da potência algébrica negativa.
- ComprimentoRaiz negativa não é medida geométrica.
- QuadriláteroNem todo quadrilátero é inscritível; use o critério dos opostos.
Questões resolvidas
1. Comprimento e área
Dados: R=5 cm.
Configuração: comprimento da curva e área do disco.
Lcirc=2πR=10π cm; A=πR²=25π cm².
Conclusão: 10π cm e 25π cm² são valores exatos; as unidades são diferentes.
2. Comprimento de arco
Dados: R=6 cm e α=60°.
Hipótese: α está em graus, portanto usa-se a fração α/360.
ℓ=(60/360)·2π·6=2π cm.
Conclusão: o arco mede exatamente 2π cm.
3. Ângulo inscrito
O arco interceptado mede 140°.
Configuração: vértice na circunferência; o arco não contém o vértice.
m(ângulo)=140°/2=70°.
Conclusão: o ângulo inscrito mede 70°.
4. Cordas internas
Os arcos opostos específicos medem 80° e 44°.
Configuração: vértice no interior.
m(ângulo)=(80°+44°)/2=62°.
Conclusão: o ângulo mede 62°.
5. Ângulo externo
Os arcos maior e menor medem 170° e 70°.
Configuração: vértice no exterior.
m(ângulo)=(170°−70°)/2=50°.
Conclusão: o ângulo externo mede 50°.
6. Comprimento de corda
Dados: R=13 cm e d=5 cm.
A perpendicular do centro divide a corda ao meio.
Meia corda=√(13²−5²)=12 cm; corda=24 cm.
Conclusão: a corda mede 24 cm.
7. Cordas que se cruzam
Dados: partes 3 cm e 8 cm; na outra corda, 4 cm e x.
Pelo produto das partes: 3·8=4x.
x=24/4=6 cm.
Conclusão: o quarto segmento mede 6 cm.
8. Duas secantes
Primeira: externa 3 cm e inteira 12 cm. Segunda: externa 4 cm e inteira x.
Ordem: os fatores externos usam os pontos próximos; os outros são as secantes inteiras.
3·12=4x, portanto x=9 cm.
Conclusão: a segunda secante inteira mede 9 cm.
9. Tangente e secante
Parte externa 5 cm e parte interna 15 cm.
A secante inteira mede 5+15=20 cm.
PT²=5·20=100; como PT>0, PT=10 cm.
Conclusão: o segmento tangente mede 10 cm.
10. Quadrilátero e potência
Um quadrilátero inscrito possui ângulo de 72°. Em outro problema, |PO|=13 cm e R=5 cm.
Ângulo oposto=180°−72°=108°.
Pot(P)=13²−5²=144 cm²; uma tangente desde P mede √144=12 cm.
Conclusão: 108°, potência 144 cm² e tangente 12 cm.
Exercícios
1. A circunferência 𝒞(O,R) é o conjunto dos pontos P tais que:
2. Se R=5 cm e |OP|=7 cm, P é:
3. Uma reta está a distância d=R do centro. Ela é:
4. Se R=5 cm, o comprimento exato da circunferência é:
5. A área do círculo de raio 6 cm é:
6. Se R=6 cm e um arco mede 60°, seu comprimento exato é:
7. Para R=6 cm e setor de 60°, a área do setor é:
8. Um ângulo central intercepta arco de 110°. Sua medida é:
9. Um ângulo inscrito intercepta arco de 140°. Ele mede:
10. Duas cordas cruzam-se no interior. O ângulo mede 62° e um dos arcos opostos mede 44°. O outro arco mede:
11. Um ângulo exterior mede 50° e o arco menor mede 70°. O arco maior mede:
12. Num quadrilátero inscrito, ângulos opostos medem (2x+12)° e 4x°. Determine x.
13. Uma corda está a 5 cm do centro de uma circunferência de raio 13 cm. Seu comprimento é:
14. De P partem duas secantes. A primeira tem parte externa 3 cm e comprimento inteiro 12 cm; a segunda tem parte externa 4 cm. Seu comprimento inteiro é:
15. Um ponto P satisfaz |PO|=13 cm numa circunferência de raio 5 cm. O comprimento de uma tangente traçada de P é:
Gabarito comentado:
1-B: pela definição de lugar geométrico, P pertence à circunferência exatamente quando |OP|=R; ≤R descreve o disco.
2-C: 7>5, então |OP|>R e P é exterior.
3-A: d=R implica um único ponto comum; a distância é perpendicular à reta, portanto ela é tangente.
4-D: Lcirc=2πR=10π cm. A unidade é linear; 25π cm² seria a área.
5-B: A=πR²=π·6²=36π cm², unidade quadrada.
6-C: ℓ=(60/360)·2π·6=2π cm, valor exato.
7-A: Asetor=(60/360)·π·6²=6π cm².
8-D: a medida do ângulo central é numericamente igual à medida angular de seu arco: 110°.
9-B: o vértice está na circunferência, então o ângulo inscrito mede metade do arco: 140°/2=70°.
10-C: 62=(44+x)/2; logo 124=44+x e x=80°. No interior, somam-se os dois arcos específicos.
11-D: 50=(M−70)/2; portanto M−70=100 e M=170°. No exterior, usa-se a diferença.
12-B: ângulos opostos de quadrilátero inscrito são suplementares: 2x+12+4x=180, 6x=168 e x=28.
13-C: a perpendicular do centro bissecta a corda: meia corda=√(13²−5²)=12 cm; a corda mede 24 cm.
14-A: externa·inteira é constante: 3·12=4x, então x=9 cm. Não se usa apenas a parte interna.
15-D: Pot(P)=13²−5²=144 cm² e PT²=Pot(P); como comprimento é positivo, PT=12 cm.
Resumo final
𝒞(O,R)={P:|OP|=R}; o disco satisfaz |OP|≤R.
Raio R, diâmetro 2R, cordas, arcos, secantes e tangentes.
d>R exterior; d=R tangente; d<R secante.
Lcirc=2πR e área do círculo A=πR².
Medida angular não é comprimento; ℓ=(α/360)2πR ou ℓ=Rθ.
Central: arco; inscrito e tangente-corda: metade; interno: meia soma; externo: meia diferença.
A perpendicular do centro bissecta a corda; comprimento=2√(R²−d²).
OT é perpendicular à tangente em T; tangentes do mesmo ponto são congruentes.
Pot(P)=|PO|²−R²; produtos usam partes e secantes inteiras conforme a configuração.
Teoremas dependem da posição do vértice, dos arcos corretos e da ordem declarada dos pontos.