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Circunferência

Arcos, ângulos e potência de ponto

Integre relações angulares e métricas em problemas de circunferência.

Elementos e posições

Circunferência é a linha a distância R do centro O; círculo ou disco inclui o interior. Diâmetro=2R. Corda une pontos da circunferência; secante corta em dois pontos; tangente toca em um. Pontos podem ser interiores, pertencentes ou exteriores conforme PO<R, PO=R ou PO>R.

Corda, secante, raio e tangente A corda AB tem extremidades na circunferência. A secante corta a curva duas vezes. O raio OT é perpendicular à tangente no ponto T. AB OT secantetangente raio OTcorda AB
Figura esquemática, sem escala: A e B pertencem à circunferência, e OT é perpendicular à tangente em T.
Três configurações de potência de ponto O primeiro painel mostra cordas que se cruzam em P. O segundo mostra duas secantes partindo de P. O terceiro mostra uma secante e a tangente PT, perpendicular ao raio no ponto T. cordas internas AB CDP PA·PB = PC·PD duas secantes PAB CD PA·PB = PC·PD tangente e secante PAB TO PT² = PA·PB
Figuras esquemáticas, sem escala: os pontos nomeados fixam a ordem dos segmentos, e PT é realmente tangente no ponto T.

Comprimento, arco e área

C=2πR
A=πR²
Larco=α/360°·2πR

O setor correspondente será aprofundado na aula de áreas.

Ângulos na circunferência

  • central: igual ao arco;
  • inscrito e tangente-corda: metade do arco;
  • duas cordas internas: metade da soma dos arcos;
  • ângulo externo por secantes/tangentes: metade da diferença dos arcos.

Cordas e tangentes

Cordas congruentes determinam arcos congruentes; cordas equidistantes do centro são congruentes, e reciprocamente. A perpendicular do centro à corda a divide ao meio. O raio é perpendicular à tangente; tangentes do mesmo ponto exterior são congruentes.

Potência de ponto

interior: PA·PB=PC·PD
duas secantes: externa₁·inteira₁=externa₂·inteira₂
tangente-secante: t²=externa·inteira

“Secante inteira” inclui a parte externa e a interna.

Pegadinhas

  • Confundir circunferência com disco.
  • Igualar ângulo inscrito ao arco inteiro.
  • Usar apenas a parte interna numa secante externa.
  • Somar arcos no ângulo externo.
  • Concluir tangência sem perpendicularidade ou distância ao centro.

Questões resolvidas

1. Ângulos

Duas cordas internas formam ângulo com arcos 80° e 44°.

Ângulo=(80°+44°)/2=62°.

2. Secantes

De P exterior, primeira externa 3 e inteira 12; segunda externa 4 e inteira x.

3·12=4x.

x=9.

3. Tangente-secante

Externa 5 e parte interna 15.

Inteira=20.

t²=5·20=100, t=10.

Exercícios

Fácil

1. Ângulo inscrito que subtende arco 140° mede:

A) 35°B) 70°C) 140°D) 280°
Médio

2. R=6 e α=60°. Comprimento do arco:

A) πB) 2πC) 3πD) 6π
Médio

3. No diagrama, OT chega ao ponto de tangência T. O ângulo entre OT e a tangente é:

A) 45°B) 60°C) 90°D) 180°
Difícil

4. Cordas internas têm segmentos 3 e 8; a outra, 4 e x. x=

A) 4B) 6C) 8D) 12
Difícil

5. Um ângulo externo intercepta arcos de 170° e 70°. Ele mede:

A) 40°B) 50°C) 100°D) 120°

Gabarito comentado:

1-B: É metade do arco.

2-B: 60/360·12π=2π.

3-C: Raio e tangente são perpendiculares.

4-B: 3·8=4x, x=6.

5-B: Metade da diferença: (170−70)/2=50°.

Resumo final

  • Circunferência é linha; círculo inclui interior.
  • Central mede o arco; inscrito mede a metade.
  • Ângulos internos somam arcos; externos usam diferença.
  • Cordas e tangentes têm teoremas diretos e recíprocos.
  • Potência distingue segmento externo e secante inteira.