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Ângulos

Medida, relações e bissetriz

Domine relações angulares que sustentam paralelismo, polígonos e circunferências.

Definição e classificação completa

Ângulo é a figura formada por duas semirretas de mesma origem, acompanhada da abertura ou rotação considerada entre elas. Uma mesma dupla de semirretas pode determinar a abertura menor ou a abertura reflexa, conforme o contexto. Cada medida pertence a uma única faixa:

Nuloα = 0°sem abertura
Agudo0° < α < 90°menor que um reto
Retoα = 90°um quarto de volta
Obtuso90° < α < 180°maior que um reto
Rasoα = 180°meia-volta
Reflexo180° < α < 360°também chamado côncavo
Completoα = 360°uma volta inteira

Graus, minutos, segundos e radianos

O sistema sexagesimal subdivide o grau; radianos medem o arco em função do raio.

1° = 60′1′ = 60″graus × π/180 = radrad × 180°/π = graus
Conversão decimal: multiplique a parte decimal por 60 para obter minutos; repita com a parte decimal dos minutos para obter segundos.

Relações entre ângulos

As relações dependem da soma e da posição dos ângulos:

Complementaresα + β = 90°
Suplementaresα + β = 180°
Replementaresα + β = 360°
Par linearadjacentes e suplementares
Ângulos complementares, suplementares e adjacentes O primeiro painel divide um ângulo reto em alfa e beta. O segundo divide um ângulo raso em alfa e beta. O terceiro mostra dois ângulos adjacentes com lado comum e interiores sem sobreposição. ComplementaresSuplementaresAdjacentes αβα + β = 90° αβα + β = 180° αβlado comum
Figuras esquemáticas, sem escala: os arcos identificam as parcelas e, no último caso, os interiores são disjuntos.

Opostos pelo vértice

Quando duas retas se cruzam, ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Dois pares lineares com o mesmo ângulo adjacente permitem uma demonstração por subtração de 180°.

Ângulos opostos pelo vérticeDuas retas concorrentes formam pares verticais congruentes.ααββ
Os pares α e α, β e β são opostos pelo vértice e possuem medidas iguais. Figura esquemática, sem escala.

Bissetriz

A bissetriz divide um ângulo em duas medidas iguais. Essa propriedade deve ser informada ou marcada: a aparência isolada do desenho não é uma prova.

Bissetriz de um ânguloUma semirreta divide um ângulo em duas parcelas iguais.Oααbissetriz
A semirreta tracejada é a bissetriz porque as duas parcelas estão marcadas com α. Figura esquemática, sem escala.

Pegadinhas

  • Confundir ângulo raso com completo.
  • Sobrepor extremos das classificações.
  • Chamar consecutivos de adjacentes sem verificar sobreposição interior.
  • Misturar graus e radianos numa equação.
  • Mencionar ângulo nulo sem admitir α=0° na classificação.

Questões resolvidas

1. Sistema sexagesimal

Converta 38,625° para graus, minutos e segundos.

0,625·60=37,5 minutos.

0,5·60=30 segundos.

38,625°=38°37′30″.

2. Opostos pelo vértice

Medidas 4x+7 e 6x−25.

4x+7=6x−25.

x=16 e cada ângulo mede 71°.

3. Bissetriz

Partes 3x−4 e x+18.

3x−4=x+18, x=11.

Cada parte mede 29°; o ângulo total mede 58°.

Exercícios

Fácil

1. Um ângulo de 240° é:

A) obtusoB) rasoC) reflexoD) completo
Médio

2. Opostos pelo vértice medem 5x−8 e 3x+28. x=

A) 12B) 16C) 18D) 20
Médio

3. No diagrama, a semirreta tracejada é bissetriz e cada parte mede 32°. O ângulo total é:

A) 32°B) 64°C) 90°D) 128°
Difícil

4. Dois suplementares estão na razão 2:7. O menor mede:

A) 20°B) 40°C) 70°D) 140°
Difícil

5. O complemento de α é metade de seu suplemento. α=

A) 0°B) 30°C) 45°D) 60°

Gabarito comentado:

1-C: Está estritamente entre 180° e 360°.

2-C: 5x−8=3x+28, então x=18.

3-B: A bissetriz produz duas partes iguais: 2·32°.

4-B: Nove partes valem 180°; cada parte 20°, menor 40°.

5-A: 90−α=(180−α)/2 dá α=0°, classificado na teoria como ângulo nulo.

Resumo final

  • As classificações incluem nulo, reflexo e completo.
  • 1°=60′ e π rad=180°.
  • Adjacência exige interiores disjuntos.
  • Opostos pelo vértice são congruentes.
  • Bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais.