Vértices, arestas e faces
Em um poliedro, indicamos por V o número de vértices, por A o número de arestas e por F o número de faces. Nesta aula, A significa arestas, e não área.
Essa é a relação de Euler para poliedros convexos. As contagens são números inteiros e, nesse contexto, satisfazem V ≥ 4, A ≥ 6 e F ≥ 4. O tetraedro atinge os três mínimos.
Característica de Euler. A expressão χ = V − A + F é chamada característica de Euler. Para a superfície de um poliedro convexo, χ = 2.
Quando a fórmula vale?
A forma V − A + F = 2 vale para a superfície fechada e conexa de um poliedro convexo: não há furos, cada aresta pertence a exatamente duas faces e é possível percorrer toda a superfície sem saltar para outra componente.
A convexidade é uma condição suficiente, mas não necessária. Um poliedro não convexo cuja superfície possa ser deformada continuamente em uma esfera, sem rasgar nem colar, também tem χ = 2.
Superfície aberta
Retirar uma face do cubo mantém V = 8 e A = 12, mas deixa F = 5. Assim, χ = 8 − 12 + 5 = 1.
Duas componentes
Dois tetraedros separados somam V = 8, A = 12 e F = 8. Logo, χ = 4, duas vezes o valor de cada componente.
Um furo
Uma superfície fechada com forma de toro tem χ = 0. Em geral, para uma superfície orientável, fechada e conexa com g furos, χ = 2 − 2g.
Uma demonstração por grafo planar
Escolha uma face do poliedro convexo e projete as demais sobre um plano, como em um diagrama de Schlegel. A face escolhida torna-se a região externa. O resultado é um grafo planar conexo com os mesmos V e A e com F regiões, contando a externa.
- Enquanto houver um ciclo, retire uma aresta desse ciclo. O grafo continua conexo.
- Cada aresta retirada une duas regiões; portanto A e F diminuem em 1. A quantidade V − A + F não muda.
- Quando não restam ciclos, obtemos uma árvore conexa. Toda árvore com V vértices tem A = V − 1 e o plano fica com uma única região, F = 1.
- Na árvore, V − A + F = V − (V − 1) + 1 = 2. Como as retiradas preservaram a expressão, o grafo inicial e o poliedro também satisfazem Euler.
Verificações em famílias conhecidas
Tetraedro
V = 4, A = 6 e F = 4: 4 − 6 + 4 = 2.
Cubo
V = 8, A = 12 e F = 6: 8 − 12 + 6 = 2.
Prisma n-gonal
V = 2n, A = 3n e F = n + 2: 2n − 3n + n + 2 = 2.
Pirâmide n-gonal
V = n + 1, A = 2n e F = n + 1: n + 1 − 2n + n + 1 = 2.
Como isolar a variável desconhecida
Partindo de V − A + F = 2, mantenha os sinais sob controle:
| Incógnita | Forma isolada | Leitura |
|---|---|---|
| V | V = 2 + A − F | Some 2 e A; subtraia F. |
| A | A = V + F − 2 | A soma V + F perde 2. |
| F | F = 2 − V + A | Some 2 e A; subtraia V. |
Dupla contagem pelas faces
Se fk é o número de faces com k lados, a soma dos lados de todas as faces conta cada aresta duas vezes, uma em cada face incidente. Portanto:
Se todas as faces são p-gonais, então pF = 2A. O fator 2 é indispensável: uma aresta fechada da superfície separa duas faces.
Exemplo. Com 6 faces triangulares e 5 quadrangulares, 2A = 3·6 + 4·5 = 38; logo, A = 19. Como F = 11, Euler fornece V = 10.
Dupla contagem pelos vértices
O grau de um vértice é a quantidade de arestas que chegam a ele. Se vj é o número de vértices de grau j, cada aresta contribui com dois extremos:
Se todos os vértices têm o mesmo grau q, então qV = 2A. Essa é a versão do lema do aperto de mãos aplicada ao esqueleto do poliedro.
Exemplo. Se há 10 vértices, todos de grau 4, então 4·10 = 2A e A = 20. Por Euler, F = 2 − 10 + 20 = 12.
Consequências de paridade
Como 2A é par, as somas de incidências são pares. Termos de índice par não alteram a paridade; por isso:
- a quantidade total de faces com número ímpar de lados é par;
- a quantidade total de vértices de grau ímpar é par.
Assim, não pode existir um poliedro fechado com exatamente 5 faces triangulares e 2 quadrangulares: a quantidade de faces de lados ímpares seria 5, que é ímpar.
Desigualdades fundamentais
Cada face tem pelo menos três lados e cada vértice tem grau pelo menos três. Logo:
Há igualdade na primeira exatamente quando todas as faces são triangulares; há igualdade na segunda exatamente quando todos os vértices têm grau 3.
Usando F = 2 − V + A em 3F ≤ 2A:
De modo dual, usando V = 2 + A − F em 3V ≤ 2A:
Essas condições são necessárias, não suficientes: satisfazê-las não constrói automaticamente um poliedro.
Três famílias especiais
| Hipótese | Incidência | Consequências com Euler |
|---|---|---|
| Todas as faces triangulares | 3F = 2A | A = 3V − 6 e F = 2V − 4 |
| Todas as faces quadrangulares | 4F = 2A | V = F + 2, F = V − 2 e A = 2V − 4 |
| Todos os vértices de grau 3 | 3V = 2A | A = 3F − 6 e V = 2F − 4 |
Observe a dualidade: trocar vértices por faces transforma a família triangular na família trivalente.
Faces mistas: relações surpreendentes
Triângulos e quadriláteros, com grau 3
Se há t faces triangulares e q quadrangulares e todo vértice tem grau 3, então F = t + q, 2A = 3t + 4q e 3V = 2A. Substituindo em Euler:
Se F = 5, também temos t + q = 5. O sistema dá t = 2 e q = 3. Essas contagens são compatíveis com o prisma triangular; as equações, isoladamente, não demonstram unicidade geométrica.
Pentágonos e hexágonos, com grau 3
Se há p pentágonos e h hexágonos, 2A = 5p + 6h e 3V = 2A. Com F = p + h, Euler produz:
O número de hexágonos pode variar, mas qualquer poliedro desse tipo precisa ter exatamente 12 faces pentagonais. É o princípio combinatório por trás de fulerenos e da bola de futebol clássica.
Poliedros regulares e os cinco casos possíveis
Suponha que todas as faces sejam p-gonais e que q faces se encontrem em cada vértice. Das incidências, pF = 2A e qV = 2A. Substituindo em Euler e definindo Δ = 2p + 2q − pq:
Para V, A e F serem positivos, Δ > 0, o que equivale a:
Como p, q ≥ 3, sobram apenas cinco pares.
| {p, q} | Poliedro | V | A | F |
|---|---|---|---|---|
| {3, 3} | Tetraedro | 4 | 6 | 4 |
| {4, 3} | Cubo | 8 | 12 | 6 |
| {3, 4} | Octaedro | 6 | 12 | 8 |
| {5, 3} | Dodecaedro | 20 | 30 | 12 |
| {3, 5} | Icosaedro | 12 | 30 | 20 |
Cubo: p = 4, q = 3
Δ = 8 + 6 − 12 = 2. Assim, A = 12, V = 8 e F = 6.
Icosaedro: p = 3, q = 5
Δ = 6 + 10 − 15 = 1. Assim, A = 30, V = 12 e F = 20.
Compatibilidade não é existência
A relação de Euler funciona como um teste necessário, mas não descreve sozinha como faces e arestas se encaixam.
- V = 7, A = 12, F = 7: satisfaz 7 − 12 + 7 = 2; a lista é numericamente compatível, mas Euler, sozinha, não prova existência nem determina os tipos de face.
- V = 8, A = 12, F = 7: produz 8 − 12 + 7 = 3; portanto é incompatível com uma superfície poliédrica fechada do tipo esférico.
Depois de Euler, ainda podem ser necessários testes de paridade, graus, incidências e uma construção combinatória ou geométrica.
Estratégia de resolução
- Confirme o escopo: superfície fechada, conexa e sem furos; em provas escolares, procure a hipótese de convexidade.
- Defina V, A e F e conte todas as faces, inclusive bases.
- Traduza faces: Σkfk = 2A.
- Traduza graus: Σjvj = 2A.
- Aplique V − A + F = 2.
- Verifique integralidade, positividade, paridade e desigualdades.
- Interprete com cuidado: compatibilidade numérica não equivale a existência ou unicidade.
Erros que derrubam pontos
- Confundir A de arestas com área.
- Contar somente faces laterais e esquecer as bases.
- Escrever Σkfk = A ou Σjvj = A, esquecendo que cada aresta é contada duas vezes.
- Aplicar χ = 2 a um sólido aberto, desconexo ou com furos.
- Trocar sinais ao isolar A: o correto é A = V + F − 2.
- Concluir existência, formato ou unicidade apenas porque V − A + F = 2.
- Arredondar uma contagem fracionária; se V, A ou F não é inteiro, as hipóteses são incompatíveis.
Exemplos resolvidos passo a passo
1. Descoberta de F
Um poliedro convexo tem V = 12 e A = 18. Determine F.
12 − 18 + F = 2.
F = 8.
Verificação: 12 − 18 + 8 = 2.
2. Doze triângulos
As 12 faces de um poliedro convexo são triangulares. Determine A e V.
3F = 2A: 36 = 2A, então A = 18.
V − 18 + 12 = 2.
V = 8.
3. Faces mistas
Há 6 faces triangulares e 5 quadrangulares. Determine V e A.
F = 6 + 5 = 11.
2A = 3·6 + 4·5 = 38; A = 19.
V = 2 + 19 − 11 = 10.
4. Grau constante 4
Um poliedro convexo tem 10 vértices, todos de grau 4. Calcule A e F.
4V = 2A: 40 = 2A; A = 20.
F = 2 − V + A.
F = 2 − 10 + 20 = 12.
5. Estrutura trivalente
Todos os vértices têm grau 3 e F = 7. Determine V e A.
Da família trivalente, V = 2F − 4 = 10.
A = 3F − 6 = 15.
Confere: 10 − 15 + 7 = 2.
6. Oito quadriláteros
Todas as 8 faces de um poliedro convexo são quadrangulares. Determine V e A.
4F = 2A; portanto A = 16.
V = F + 2.
Logo, V = 10.
7. Triângulos e quadriláteros
Há 5 faces, apenas triangulares e quadrangulares, e todos os vértices têm grau 3.
Sejam t e q: t + q = 5.
Euler e as incidências dão 3t + 2q = 12.
Subtraindo 2(t + q) = 10: t = 2 e q = 3.
8. Pentágonos e hexágonos
Um poliedro trivalente tem 20 hexágonos e apenas faces pentagonais ou hexagonais. Quantos pentágonos possui?
Para essa família, Euler reduz as equações a p = 12.
Logo, há 12 pentágonos, independentemente de h = 20.
Então F = 32, A = 90 e V = 60.
9. Icosaedro pelas fórmulas
Faces triangulares e cinco faces em cada vértice: p = 3 e q = 5.
Δ = 2·3 + 2·5 − 3·5 = 1.
A = 2pq/Δ = 30.
V = 4p/Δ = 12 e F = 4q/Δ = 20.
10. Teste de impossibilidade
Pode uma superfície poliédrica fechada do tipo esférico ter V = 8, A = 12 e F = 7?
Calcule χ = 8 − 12 + 7.
Obtemos χ = 3, e não 2.
Portanto, as contagens são incompatíveis com as hipóteses.
Exercícios
1. Um poliedro convexo tem V = 12 e A = 18. O valor de F é:
2. Ao retirar uma face do cubo, sem alterar suas arestas e vértices, a característica de Euler passa a valer:
3. Um poliedro convexo com 12 faces triangulares tem, respectivamente, A e V iguais a:
4. Se há 10 vértices, todos de grau 4, então A e F valem:
5. Com 6 faces triangulares e 5 quadrangulares, os valores de A e V são:
6. Se todas as faces são triangulares e V = 10, então A e F são:
7. Se todas as 8 faces são quadrangulares, então A e V são:
8. Um poliedro convexo trivalente tem F = 7. Então A e V valem:
9. Uma superfície poliédrica fechada tem exatamente 5 faces triangulares e 2 quadrangulares. Isso é:
10. Um poliedro convexo trivalente possui apenas pentágonos e hexágonos. A quantidade de pentágonos é necessariamente:
11. Em um poliedro regular, p = 3 e q = 5. A sequência (V, A, F) é:
12. Sobre a lista V = 7, A = 12 e F = 7, a conclusão rigorosa é:
13. Um poliedro convexo tem grau 3 em todos os vértices e 5 faces, apenas triangulares ou quadrangulares. As quantidades (t, q) são:
14. Uma superfície orientável, fechada e conexa com um furo tem característica de Euler:
Gabarito comentado:
1-B: F = 2 − 12 + 18 = 8.
2-C: V = 8, A = 12 e F = 5 dão χ = 1.
3-A: 3·12 = 2A dá A = 18; Euler dá V = 8.
4-D: 4·10 = 2A dá A = 20; Euler dá F = 12.
5-B: 2A = 3·6 + 4·5 = 38, então A = 19; com F = 11, V = 10.
6-C: para faces triangulares, A = 3V − 6 = 24 e F = 2V − 4 = 16.
7-A: 4F = 2A dá A = 16; Euler dá V = 10.
8-D: na família trivalente, A = 3F − 6 = 15 e V = 2F − 4 = 10.
9-B: o número de faces com quantidade ímpar de lados precisa ser par.
10-C: a combinação de incidências com Euler elimina os hexágonos e fornece p = 12.
11-D: Δ = 1; logo V = 12, A = 30 e F = 20, contagens do icosaedro.
12-A: 7 − 12 + 7 = 2 é compatível, mas a equação não prova existência ou unicidade.
13-C: t + q = 5 e 3t + 2q = 12 resultam em t = 2 e q = 3.
14-B: χ = 2 − 2g; com g = 1, χ = 0.
Resumo final
- Para uma superfície poliédrica fechada, conexa e sem furos, V − A + F = 2.
- Nas faces, Σkfk = 2A; nos vértices, Σjvj = 2A.
- As contagens de faces de lados ímpares e de vértices de grau ímpar são pares.
- Valem 3F ≤ 2A, 3V ≤ 2A, A ≤ 3V − 6 e A ≤ 3F − 6.
- Faces triangulares, quadrangulares e vértices trivalentes geram fórmulas próprias.
- Para superfícies orientáveis de gênero g, χ = 2 − 2g.
- Euler testa compatibilidade; incidências e construção decidem mais sobre a existência.