Elementos, classificação e altura
Um prisma possui duas bases poligonais paralelas e congruentes. As demais faces são paralelogramos; suas interseções formam arestas das bases e arestas laterais.
No prisma reto, as arestas laterais são perpendiculares às bases e medem a altura h. No oblíquo, a aresta lateral não coincide, em geral, com h. Prisma regular é o prisma reto cuja base é um polígono regular.
Contagem e nomenclatura
O nome vem da base: triangular, quadrangular, pentagonal etc. Para base n-gonal:
Há 2n vértices nas bases, 2n arestas das bases mais n laterais, e n faces laterais mais duas bases.
Área da base antes do sólido
A_b é a área de uma base e P_b é seu perímetro. Calcule A_b com geometria plana: triângulo, retângulo, hexágono regular ou decomposição.
Em base regular de lado ℓ e apótema ap, A_b=P_b·ap/2. Não confunda apótema da base com altura do prisma.
Áreas do prisma reto
Para prisma reto, cada face lateral é um retângulo com altura h. Somando suas larguras, obtém-se P_b:
A_L é a área lateral e A_T inclui as duas bases. A fórmula A_L=P_bh não deve ser transferida automaticamente ao prisma oblíquo, cujas faces laterais não têm altura h.
Volume e Princípio de Cavalieri
Para prismas retos ou oblíquos:
h é a distância perpendicular entre os planos das bases. Pelo Princípio de Cavalieri, prismas com áreas de base iguais, mesma altura e seções paralelas às bases de mesma área têm volumes iguais, mesmo que um seja oblíquo.
Diagonais e Pitágoras em prismas retos
Uma diagonal de face permanece numa face; a diagonal espacial liga vértices que não pertencem a uma mesma face. Em prismas retos, escolha uma seção retangular ou um triângulo perpendicular e aplique Pitágoras sucessivamente.
A fórmula √(a²+b²+c²) é específica do paralelepípedo reto-retângulo. Num prisma qualquer, primeiro descubra a diagonal adequada da base.
Planificação do prisma reto
A planificação lateral contém n retângulos de altura h, cujas larguras são os lados da base, além de duas bases congruentes. Ela permite distinguir embalagem fechada, sem tampa ou aberta em faces indicadas.
Seções, capacidade e sólidos vazados
Uma seção paralela às bases é congruente à base. Seções perpendiculares dependem da direção do corte; uma seção diagonal deve ser identificada numa configuração específica.
Capacidade usa o volume interno. Em uma peça vazada de altura uniforme, subtraia áreas de seção antes de multiplicar por h: V_material=(A_externa−A_interna)h. Converta 1 dm³=1 L e 1 cm³=1 mL.
Pegadinhas e condições de validade
- Aresta lateral só é igual à altura no prisma reto.
- A_L=P_bh é fórmula do prisma reto; o volume A_bh vale também no oblíquo com h perpendicular.
- Área total de embalagem fechada possui duas bases; caixa sem tampa não.
- Não use diagonal de paralelepípedo em prisma cuja base não seja retangular.
Questões resolvidas passo a passo
1. Prisma triangular
Base triangular retângula com catetos 6 e 8, hipotenusa 10, e altura do prisma 12. Calcule A_T e V.
A_b=6·8/2=24 e P_b=6+8+10=24.
A_L=P_bh=24·12=288.
A_T=288+2·24=336 e V=24·12=288.
2. Prisma hexagonal regular
Lado da base 2 e h=10. Calcule o volume.
Um hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros.
A_b=6·(2²√3/4)=6√3.
V=A_bh=60√3.
3. Tanque e capacidade
Um tanque prismático reto tem base 80 cm×50 cm e altura interna 60 cm. Qual a capacidade?
V=80·50·60=240 000 cm³.
Como 1 000 cm³=1 L, divida por 1 000.
Capacidade=240 L.
4. Peça vazada
Um tubo prismático tem seção externa 8×6, interna 6×4 e comprimento 10.
Área externa=48 e interna=24.
Área de material na seção=48−24=24.
V_material=24·10=240 unidades cúbicas.
Exercícios
1. Um prisma pentagonal possui quantos vértices?
2. Num prisma reto com P_b=12 e h=5, a área lateral é:
3. Um prisma hexagonal regular tem lado da base 2 e h=10. Seu volume é:
4. Um prisma oblíquo tem A_b=20 e altura perpendicular 7. Seu volume é:
5. Um reservatório interno mede 8 dm×5 dm×6 dm. Sua capacidade é:
6. Uma peça prismática de comprimento 10 tem seção externa 8×6 e vazado interno 6×4. O volume de material é:
7. Num prisma reto de base quadrada de lado 6 e altura 8, a diagonal espacial mede:
8. Uma cobertura em forma de prisma oblíquo tem área da base 20 m². A aresta lateral mede 10 m e forma 30° com o plano da base. O volume é:
Gabarito comentado:
1-C: V=2n=10.
2-C: A_L=P_bh=12·5=60.
3-C: A_b=6√3 e V=60√3.
4-C: V=A_bh=20·7=140, também no oblíquo.
5-C: V=240 dm³=240 L.
6-B: (48−24)·10=240.
7-B: D²=6²+6²+8²=136, então D=2√34.
8-A: A altura perpendicular é 10·sen30°=5; então V=A_bh=20·5=100 m³.
Resumo final
- Altura é a distância perpendicular entre as bases.
- No reto, aresta lateral=h; no oblíquo, em geral não.
- Para prisma reto: A_L=P_bh e A_T=A_L+2A_b.
- Para qualquer prisma: V=A_bh.
- Seções paralelas às bases são congruentes; vazados usam diferença de áreas de seção.