Síntese de fórmulas e condições
| Sólido | Área lateral/total | Volume |
|---|---|---|
| Prisma reto | A_L=P_bh; A_T=A_L+2A_b | A_bh |
| Reto-retângulo | A_T=2(ab+ac+bc) | abc |
| Cubo | A_L=4a²; A_T=6a² | a³ |
| Pirâmide regular | A_L=P_bg/2; A_T=A_b+A_L | A_bh/3 |
| Cilindro reto | A_L=2πrh; A_T=A_L+2πr² | πr²h |
| Cone reto | A_L=πrg; A_T=πr(g+r) | πr²h/3 |
| Esfera | A=4πR² | 4πR³/3 |
P_b é perímetro da base, A_b sua área, h altura perpendicular, g apótema lateral ou geratriz conforme o sólido.
Troncos e fórmulas restritas
Para tronco de cone reto: A_L=π(R+r)g. Para tronco de pirâmide regular: A_L=(P₁+P₂)g/2. As bases devem ser paralelas e semelhantes, obtidas por corte paralelo.
Unidades lineares, quadradas e cúbicas
1 L=1000 mL. Se a conversão linear usa fator k, áreas usam k² e volumes k³. Entre mm³, cm³, dm³ e m³, cubique o fator linear.
Sólidos semelhantes e problemas inversos
Se a razão de volumes é 64, a razão linear é ∛64=4; a razão de áreas é 16. Não extraia raiz quadrada de razão volumétrica.
Princípio de Cavalieri
Dois sólidos têm o mesmo volume quando possuem a mesma altura e, em todos os níveis correspondentes, seções por planos paralelos às bases com áreas iguais.
As três hipóteses — mesma altura, níveis correspondentes e áreas seccionais iguais — precisam ser verificadas.
Sólidos compostos e vazados
Some volumes de partes sem sobreposição; subtraia cavidades; em interseções, evite contar a região comum duas vezes. Deslocamento de líquido corresponde ao volume submerso.
Densidade e massa
Compatibilize unidades: g/cm³ combina com cm³; kg/m³ combina com m³. Densidade do material usa o volume efetivamente ocupado, descontando vazios.
Recipientes, capacidade e espessura
Volume geométrico externo, capacidade interna, volume preenchido e volume vazio são diferentes. Se p% está preenchido, V_líquido=(p/100)V_interno.
Com espessura e, reduza duas vezes e nas dimensões limitadas por duas paredes; use medidas internas para capacidade.
Estratégias inversas e verificação
- declare variáveis e condições;
- calcule medidas intermediárias por geometria plana;
- escolha área lateral, total ou volume;
- converta unidades no final ou de modo consistente;
- verifique positividade, escala e plausibilidade.
Pegadinhas e condições de validade
- Área usa unidades quadradas; volume e capacidade usam cúbicas.
- A_L e A_T não são intercambiáveis; bases abertas mudam a área.
- Em semelhança, volume usa k³.
- Capacidade e densidade usam volume interno ou volume do material conforme o contexto.
Questões resolvidas passo a passo
1. Conversão cúbica
Converta 0,025 m³ para litros e cm³.
1 m³=1000 L, então 0,025 m³=25 L.
1 L=1000 cm³.
Logo 25 L=25 000 cm³.
2. Sólidos semelhantes
A razão de volumes é 125. Encontre razões linear e de áreas.
k=∛125=5.
Razão de áreas=k²=25.
A razão volumétrica confere: 5³=125.
3. Peça composta
Cilindro r=3,h=10 contém cavidade cilíndrica coaxial r=1,h=10. Ache o volume do material.
Área anular=π(9−1)=8π.
Multiplique pela altura 10.
V_material=80π.
4. Densidade
Peça de volume 250 cm³ e densidade 7,8 g/cm³. Calcule a massa.
m=d·V.
m=7,8·250=1950 g.
Em quilogramas, m=1,95 kg.
Exercícios
1. 1 dm³ equivale a:
2. Ao dobrar todas as medidas de um sólido, o volume multiplica por:
3. 0,025 m³ correspondem a:
4. Sólidos semelhantes têm razão de volumes 125. A razão de áreas é:
5. Peça de 250 cm³ e densidade 7,8 g/cm³ tem massa:
6. Cilindro r=3,h=10 com furo coaxial r=1 tem volume de material:
7. Reservatório interno de 200 L está 65% cheio. O volume vazio é:
8. Uma esfera R=3 é fundida em cilindro de raio 2 e altura h. Sem perdas, h vale:
Gabarito comentado:
1-D: A equivalência básica é 1 dm³=1 L.
2-D: Volumes usam k³=2³=8.
3-B: Multiplique por 1000.
4-C: k=5 e k²=25.
5-C: 1950 g=1,95 kg.
6-C: π(9−1)10=80π.
7-B: 35% de 200 L=70 L.
8-C: 36π=4πh, então h=9.
Resumo final
- Escolha fórmulas somente após conferir sólido reto, regular ou geral.
- Conversões: comprimentos k, áreas k² e volumes k³.
- Semelhança usa k, k² e k³; Cavalieri exige seções correspondentes iguais.
- Sólidos compostos usam soma, subtração e cuidado com sobreposição.
- Densidade, capacidade, espessura e porcentagem exigem unidades compatíveis.