Razão: comparação entre quantidades
Razão é uma comparação por divisão: a:b ou a/b. Em a:b, a é o antecedente e b é o consequente, com b ≠ 0.
0:5 = 0 é válida, mas 5:0 não está definida. Quando as quantidades comparadas são da mesma natureza, elas devem estar expressas na mesma unidade antes do cálculo da razão.
2 m : 50 cm = 200 cm : 50 cm = 4:1
Se há 2 cadernos azuis e 3 vermelhos, azuis:vermelhos = 2:3; vermelhos:azuis = 3:2.
Respeite exatamente a ordem solicitada no enunciado.
Razões equivalentes e fração parte-todo
Podemos multiplicar ou dividir os dois termos de uma razão pelo mesmo número não nulo: a:b = ka:kb, com k ≠ 0.
12:18 = 6:9 = 2:3. A forma irredutível é obtida pelo MDC.
Em uma turma com 2 meninos e 3 meninas, meninos:meninas = 2:3; a fração da turma formada por meninos é 2/(2 + 3) = 2/5.
Razão parte-parte e fração parte-total respondem a perguntas diferentes.
Proporção, extremos e meios
Proporção é uma igualdade entre duas razões. Em a/b = c/d, a e d são os extremos; b e c são os meios, com b ≠ 0 e d ≠ 0.
4/6 = 10/15: 4 · 15 = 60 e 6 · 10 = 60.
Logo, a proporção é verdadeira.
Monte as correspondências corretamente antes de usar produtos cruzados.
Propriedades úteis
Partindo de a/b = c/d, com todos os novos denominadores diferentes de zero:
| Operação | Forma |
|---|---|
| Invertendo | b/a = d/c |
| Alternando | a/c = b/d |
| Compondo | (a + b)/b = (c + d)/d |
| Decompondo | (a - b)/b = (c - d)/d |
Exemplo: de 2/3 = 4/6, invertendo obtemos 3/2 = 6/4. Use estas formas apenas quando as condições forem válidas.
Grandezas diretamente e inversamente proporcionais
Diretas: ao multiplicar uma grandeza por um fator, a outra também é multiplicada pelo mesmo fator. A razão correspondente permanece constante.
| Cadernos | Preço |
|---|---|
| 2 | R$ 10 |
| 4 | R$ 20 |
| 6 | R$ 30 |
10/2 = 20/4 = 30/6 = 5. Aumentar junto não basta: a razão precisa ser constante.
Inversas: ao multiplicar uma por um fator, a outra é dividida pelo mesmo fator; o produto permanece constante.
2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6 = 24.
Aumentar uma e diminuir outra não prova proporcionalidade inversa: o produto deve ser constante.
Escalas
As duas medidas devem estar na mesma unidade. Em 1:100, 1 cm no desenho representa 100 cm na realidade; 3 cm representam 3 · 100 = 300 cm = 3 m.
- Redução: 1:n, com n > 1.
- Natural: 1:1.
- Ampliação: n:1, com n > 1; em 5:1, 5 cm no desenho representam 1 cm real.
Escala 1:100 não significa automaticamente 1 cm para 100 m: verifique as unidades.
Divisão proporcional
Para dividir T na razão a:b:c, use os pesos: T·a/(a+b+c), T·b/(a+b+c) e T·c/(a+b+c).
Direta: divida 600 na razão 2:3:5. Pesos: 2 + 3 + 5 = 10.
600·2/10 = 120; 600·3/10 = 180; 600·5/10 = 300.
Verificação: 120 + 180 + 300 = 600. Os pesos não são os valores finais.
Inversa: divida 500 inversamente a 2 e 3. Usamos os inversos: 1/2:1/3.
Multiplicando ambos por 6: 3:2. Pesos: 3 + 2 = 5.
500·3/5 = 300 e 500·2/5 = 200; 300 + 200 = 500.
Diretamente a 2 e 3 usa 2:3; inversamente usa uma razão equivalente a 1/2:1/3, isto é, 3:2. Na divisão inversa, o menor número de referência recebe a maior parte.
Quarta e média proporcional
Quarta proporcional. Em a/b = c/x, x é a quarta proporcional.
2/3 = 8/x; 2x = 3·8 = 24; x = 12.
Verificação: 2/3 = 8/12 = 2/3.
Média proporcional. Na proporção contínua a/x = x/b, temos x2 = ab. Para a, b > 0, a média positiva é x = √(ab).
Entre 4 e 9: x = √(4·9) = √36 = 6.
Verificação: 4/6 = 6/9 = 2/3.
Pegadinhas de prova
- Respeite a ordem solicitada na razão.
- O antecedente pode ser zero; consequente e denominadores, não.
- Não confunda razão parte-parte com fração parte-total.
- Simplifique ou multiplique os dois termos pelo mesmo número não nulo.
- Converta medidas da mesma natureza para a mesma unidade.
- Grandezas que aumentam juntas não são necessariamente diretas: a razão deve ser constante.
- Grandezas em sentidos opostos não são necessariamente inversas: o produto deve ser constante.
- Não inverta somente uma razão; monte correspondências antes do produto cruzado.
- Em escalas, diferencie desenho e realidade: 1:100 não significa automaticamente 1 cm para 100 m.
- Em divisões, diferencie direta e inversa e confira se as partes somam o total.
- Peça forma irredutível quando houver razões equivalentes.
Método de resolução
- Leia exatamente a ordem solicitada e identifique as quantidades.
- Decida se a pergunta trata de parte-parte ou parte-total; identifique antecedente e consequente.
- Confira consequente e denominadores diferentes de zero.
- Converta medidas da mesma natureza para a mesma unidade.
- Escreva e simplifique a razão dividindo os dois termos pelo mesmo fator.
- Em proporções, monte correspondências antes de usar a propriedade fundamental.
- Em relações diretas procure razão constante; em inversas, produto constante.
- Em escalas, diferencie desenho e realidade.
- Em divisões, identifique direta ou inversa, some os pesos e confira o total.
- Verifique o resultado na razão ou proporção original e avalie se é coerente.
Questões resolvidas
1. Simplifique a razão 15:25.
2. Em 4/7 = x/21, encontre x.
1: B, pois 15:25 = 3:5. 2: B, pois 4 · 21 = 7x e x = 12.
Exercícios para treinar
1. A razão entre 12 e 18, na forma irredutível, é:
2. Em uma proporção, 3/5 = x/20. O valor de x é:
3. Uma receita usa 2 xícaras de farinha para 5 porções. Para 15 porções, serão necessárias:
4. Em uma escala 1:100, 3 cm no desenho representam:
5. Em uma turma, a razão meninos:meninas é 3:4. Se há 28 alunos, quantos são meninos?
6. Qual igualdade é uma proporção verdadeira?
7. Se 4 cadernos custam R$ 28,00, 7 cadernos custam:
8. A razão 15:5 vale:
Gabarito comentado:
1-B: divida 12 e 18 por 6. 2-B: 3 · 20 = 5x. 3-C: triplique a quantidade. 4-A: 300 cm = 3 m.
5-B: 3 + 4 = 7 partes; cada parte vale 4. 6-A: os produtos cruzados são iguais. 7-C: cada caderno custa R$ 7,00. 8-B: 15/5 = 3.
Resumo final
- Razão é comparação por divisão: antecedente:consequente, com consequente diferente de zero.
- Ordem, unidade e forma irredutível importam; parte-parte não é parte-total.
- Proporção é igualdade entre razões: o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
- Direta tem razão constante; inversa tem produto constante.
- Escalas, divisões direta/inversa, quarta e média proporcional exigem verificação final.