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Fatoração

Transformando somas em produtos para simplificar e resolver

Fatorar é escrever uma expressão como multiplicação. É o caminho inverso da distributiva e dos produtos notáveis.

O que é fatorar?

Fatorar é transformar uma soma ou diferença em um produto equivalente.

6x + 12 = 6(x + 2)

Fatorar completamente é continuar o processo até que nenhum fator possa mais ser decomposto no conjunto numérico adotado.

2x3 - 8x = 2x(x2 - 4)

= 2x(x - 2)(x + 2)

O resultado intermediário 2x(x2 - 4) ainda não é completo, pois x2 - 4 é uma diferença de quadrados. Nesta aula, consideramos principalmente coeficientes inteiros, racionais ou reais: uma expressão pode ser irredutível em um conjunto e fatorável em outro.

Fator comum em evidência

Calcule o MDC dos coeficientes, selecione as letras presentes em todos os termos e use o menor expoente de cada letra comum.

18a3b2 - 24a2b5 = 6a2b2(3a - 4b3)

O 6 é o MDC de 18 e 24; a2 é a menor potência comum entre a3 e a2; b2 é a menor potência entre b2 e b5.

-x2 + 5x - 6 = -(x2 - 5x + 6) = -(x - 2)(x - 3)

Retirar o sinal negativo pode facilitar o reconhecimento dos padrões.

Fatoração por agrupamento

O agrupamento funciona quando os termos podem ser separados ou reorganizados em grupos que produzam um mesmo fator comum. A ordem original nem sempre vem pronta.

ax + bx + ay + by = ax + ay + bx + by

= a(x + y) + b(x + y)

= (a + b)(x + y)

Diferença de quadrados

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

Deve existir subtração, e os dois termos devem ser quadrados no conjunto adotado. O padrão pode aparecer depois da retirada de um fator comum.

6x2 - 24 = 6(x2 - 4) = 6(x - 2)(x + 2)

x4 - 16 = (x2 - 4)(x2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x2 + 4)

Nos reais, x2 + 4 não pode ser decomposto em fatores lineares reais. Uma soma de quadrados não usa esta fórmula.

Trinômio quadrado perfeito

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Os extremos devem ser quadrados perfeitos; o termo central deve ser exatamente duas vezes o produto de suas raízes; o sinal central determina o sinal no binômio.

x2 + 8x + 9 não é TQP: as raízes dos extremos são x e 3, mas 2 · x · 3 = 6x, e não 8x.

Trinômio do 2º grau

Em x2 + bx + c, procure números que somem b e multipliquem c. Para ax2 + bx + c, com a diferente de 1, decomponha o termo central.

2x2 + 7x + 3: a · c = 2 · 3 = 6; os números são 6 e 1.

2x2 + 7x + 3 = 2x2 + 6x + x + 3

= 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)

Soma e diferença de cubos

FormaFatoração
a3 + b3(a + b)(a2 - ab + b2)
a3 - b3(a - b)(a2 + ab + b2)

Observe os sinais: no segundo fator, o sinal do termo do meio é oposto ao do primeiro binômio.

Frações algébricas

Fatore numerador e denominador antes de simplificar. Fatores cancelam, não parcelas soltas.

(x2 - 1)/(x2 - x) = [(x - 1)(x + 1)]/[x(x - 1)]

= (x + 1)/x, com x ≠ 0 e x ≠ 1

As restrições são da expressão original e permanecem. Já (x + 3)/x não permite cancelar o x, pois x + 3 é uma soma.

Aplicação em equações

A propriedade do produto nulo afirma: AB = 0 se, e somente se, A = 0 ou B = 0.

(x - 2)(x - 3) = 0

x - 2 = 0 ou x - 3 = 0; portanto, x = 2 ou x = 3.

Ela só vale quando um produto é igual a zero. Em (x - 2)(x + 1) = 6, não se conclui diretamente que algum fator é zero.

Pegadinhas de prova

  • Não pare antes da fatoração completa; confira pela distributiva.
  • Não cancele parcelas de uma soma ou diferença e preserve as restrições originais.
  • Retire fatores negativos corretamente.
  • (a + b)2 não é a2 + b2; confira se o termo central é ±2ab.
  • Não use diferença de quadrados em uma soma; atenção aos sinais das fórmulas de cubos.
  • Reorganize termos no agrupamento e indique o conjunto antes de afirmar que algo é irredutível.

Método de resolução

  1. Organize a expressão em ordem decrescente dos expoentes.
  2. Verifique fator comum numérico ou literal e se retirar um negativo ajuda.
  3. Observe a estrutura e procure produtos notáveis.
  4. Em trinômios, teste o quadrado perfeito; se necessário, use o trinômio geral.
  5. Com vários termos, tente agrupamento ou reorganização.
  6. Repita nos fatores encontrados e confira se está completa no conjunto adotado.
  7. Verifique pela distributiva; em frações, preserve restrições; em equações iguais a zero, use o produto nulo.

Questões resolvidas

1. Fator comum

Colocando o maior fator comum em evidência, qual é a fatoração completa de 15x2 + 10x?

A) 5x(3x + 2)B) 5(3x + 2)C) 15x(x + 10)D) 5x(3x + 10)

O maior fator comum é 5x. Resposta: A.

2. Diferença de quadrados

Fatore x2 - 64.

A) (x - 8)2B) (x + 8)(x - 8)C) (x - 64)(x + 1)D) x(x - 8)

x2 - 82 = (x + 8)(x - 8). Resposta: B.

3. Trinômio

Fatore x2 + 7x + 12.

A) (x + 3)(x + 4)B) (x + 6)(x + 2)C) (x - 3)(x - 4)D) (x + 12)(x + 1)

3 + 4 = 7 e 3 · 4 = 12. Resposta: A.

Exercícios para treinar

Fácil

1. Fatore completamente x2 + 4x.

A) x + 4B) x(x + 4)C) 4xD) x2
Fácil

2. Fatore 9x2 - 25.

A) (3x + 5)(3x - 5)B) (3x - 5)2C) (9x - 25)(x + 1)D) x(9x - 25)
Fácil

3. Fatore x2 + 6x + 9.

A) (x - 3)2B) (x + 9)(x + 1)C) (x + 3)2D) (x + 3)(x - 3)
Fácil

4. Fatore x2 - x - 6.

A) (x - 3)(x + 2)B) (x + 3)(x - 2)C) (x - 6)(x + 1)D) (x - 2)(x - 3)
Médio

5. Fatore -x2 + 5x - 6.

A) (x - 2)(x - 3)B) -(x - 2)(x - 3)C) -(x + 2)(x + 3)D) (x + 2)(x - 3)
Médio

6. Fatore por agrupamento ax + bx + ay + by.

A) (a + b)(x - y)B) ab(x + y)C) (a + b)(x + y)D) (a + x)(b + y)
Médio

7. Fatore 2x2 + 7x + 3.

A) (2x + 3)(x + 1)B) (2x + 1)(x + 3)C) (x + 1)(x + 3)D) (2x - 1)(x - 3)
Médio

8. Simplifique (x2 - 1)/(x2 - x).

A) (x + 1)/x, com x ≠ 0 e x ≠ 1B) (x + 1)/x, com x ≠ 0C) x + 1, com x ≠ 1D) (x - 1)/x, com x ≠ 0 e x ≠ 1
Médio

9. Resolva (x - 2)(x - 3) = 0.

A) x = -2 ou x = -3B) x = 1 ou x = 6C) x = 2 ou x = 3D) x = 0 ou x = 6
Difícil

10. Fatore completamente 3x3 - 12x.

A) 3x(x2 - 4)B) 3x(x - 2)(x + 2)C) 3(x - 2)(x + 2)D) x(3x - 12)
Difícil

11. Fatore completamente x4 - 5x2 + 4.

A) (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)B) (x2 - 1)(x2 - 4)C) (x - 4)(x - 1)D) (x2 + 1)(x2 + 4)
Difícil

12. Fatore completamente 2x3 + 4x2 - 18x - 36.

A) 2(x + 2)(x2 - 9)B) (x + 2)(2x2 - 18)C) 2(x + 2)(x - 3)(x + 3)D) 2x(x + 2)(x - 3)
Difícil

13. Qual fatoração está incorreta?

A) x2 - 9 = (x - 3)(x + 3)B) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2C) x2 + 9 = (x + 3)(x - 3)D) x3 - 8 = (x - 2)(x2 + 2x + 4)
Difícil

14. Em 6x2 - 24, qual método deve vir primeiro?

A) Colocar 6 em evidência e depois usar diferença de quadradosB) Usar soma de cubosC) Cancelar o 6D) Aplicar produto nulo
Difícil

15. A expressão x2 + 4, nos reais, é:

A) diferença de quadradosB) (x + 2)2C) irredutível em fatores lineares reaisD) (x - 2)(x + 2)

Gabarito comentado:

1-B fator comum; 2-A diferença de quadrados; 3-C TQP; 4-A soma -1 e produto -6; 5-B retire -1; 6-C reorganize e agrupe; 7-B decomponha 7x; 8-A preserve as duas restrições; 9-C produto nulo; 10-B fator comum e diferença de quadrados.

11-A complete a fatoração; 12-C agrupamento e diferença de quadrados; 13-C ao desenvolver resulta x2 - 9; 14-A primeiro fator comum; 15-C não há fatoração em fatores lineares reais.

Resumo final

  • Fatoração é o caminho inverso da distributiva: transforme somas e diferenças em produtos.
  • Comece pelo fator comum e prossiga até a fatoração completa no conjunto numérico adotado.
  • Reconheça diferenças de quadrados, trinômios quadrados perfeitos, cubos, trinômios por agrupamento e reorganização de termos.
  • Em frações algébricas, cancele somente fatores e preserve todas as restrições originais.
  • Em uma equação já fatorada e igual a zero, use a propriedade do produto nulo.