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EstudaMath

Produtos notáveis

Identidades algébricas para desenvolver expressões com clareza

Produtos notáveis são multiplicações que aparecem com tanta frequência que possuem fórmulas próprias. Entender de onde elas vêm evita decorar no escuro.

O que são produtos notáveis?

São multiplicações algébricas que possuem um padrão conhecido. Em vez de usar a distributiva do zero toda vez, podemos reconhecer o padrão e desenvolver a expressão com segurança.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

A fórmula é um atalho, mas continua sendo uma multiplicação comum. Por isso, aprender a distributiva primeiro torna tudo mais claro.

De onde vêm as fórmulas

O quadrado de uma soma significa multiplicar a soma por ela mesma.

Passo a passo da dedução

  1. Escreva o quadrado como produto de dois fatores iguais.

    (a + b)² = (a + b)(a + b)

  2. Aplique a propriedade distributiva em todos os termos.

    (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b²

  3. Some os dois termos semelhantes ab.

    a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
Fórmula final
(a + b)² = a² + 2ab + b²

Os dois termos ab se juntam e formam o termo do meio: 2ab.

Quadrado da soma

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

É o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto dos termos, mais o quadrado do segundo.

Derivação passo a passo

1. Reescreva a potência: (a + b)2 = (a + b)(a + b)

2. Distribua cada termo: = a · a + a · b + b · a + b · b

3. Efetue os produtos: = a2 + ab + ab + b2

4. Reúna os termos semelhantes: = a2 + 2ab + b2

Exemplo

(x + 3)2 = (x + 3)(x + 3)

= x2 + 3x + 3x + 9

= x2 + 6x + 9

Quadrado da diferença

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

O termo central é negativo, mas o último termo é positivo porque resulta de (-b)(-b).

Derivação passo a passo

1. Reescreva a potência: (a - b)2 = (a - b)(a - b)

2. Aplique a distributiva: = a · a - a · b - b · a + b · b

3. Efetue os produtos: = a2 - ab - ab + b2

4. Reúna os termos semelhantes: = a2 - 2ab + b2

Exemplo

(2x - 5)2 = (2x - 5)(2x - 5)

= 4x2 - 10x - 10x + 25

= 4x2 - 20x + 25

Se algum termo já tiver sinal, mantenha-o entre parênteses. Por exemplo, (x - (-3))2 = (x + 3)2.

Produto da soma pela diferença

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Os termos mistos aparecem com sinais opostos e se anulam.

Derivação passo a passo

1. Distribua: (a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)

2. Desenvolva: = a2 - ab + ab - b2

3. Cancele -ab + ab: = a2 - b2

Exemplo

(3y + 4)(3y - 4) = 9y2 - 12y + 12y - 16

= 9y2 - 16

Reconheça: os dois parênteses têm os mesmos termos, mas sinais opostos entre eles.

Produto de binômios com termo comum

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Derivação passo a passo

1. Distribua o primeiro binômio: (x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)

2. Desenvolva: = x2 + bx + ax + ab

3. Reúna os termos em x: = x2 + (a + b)x + ab

Exemplos

(x + 3)(x + 5) = x2 + 5x + 3x + 15

= x2 + 8x + 15

(x - 4)(x + 2) = x2 + 2x - 4x - 8

= x2 - 2x - 8

Os números a e b podem ser positivos ou negativos.

Quadrado de um trinômio

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

O resultado contém o quadrado de cada termo e o dobro do produto de cada par diferente: (a,b), (a,c) e (b,c).

Derivação completa, passo a passo

1. Reescreva o quadrado como produto:
(a + b + c)2 = (a + b + c)(a + b + c)

2. Distribua a, b e c pelo segundo trinômio:
= a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c)

3. Desenvolva os nove produtos:
= a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac + bc + c2

4. Agrupe os termos iguais:
= a2 + b2 + c2 + (ab + ab) + (ac + ac) + (bc + bc)

5. Some cada par:
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Exemplo com termo negativo

1. (x + y - 3)2 = (x + y - 3)(x + y - 3)

2. = x2 + xy - 3x + xy + y2 - 3y - 3x - 3y + 9

3. = x2 + y2 + 9 + 2xy - 6x - 6y

Regra de sinais: considere o terceiro termo como c = -3. Assim, 2ac = -6x, 2bc = -6y e c2 = (-3)2 = 9.

Cubo da soma

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Os coeficientes são 1, 3, 3, 1. Eles aparecem ao multiplicar o quadrado da soma por mais um fator (a + b).

Derivação passo a passo

1. (a + b)3 = (a + b)2(a + b)

2. = (a2 + 2ab + b2)(a + b)

3. Distribua: = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3

4. Reúna os semelhantes: = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Exemplo

(x + 2)3 = x3 + 3x2 · 2 + 3x · 22 + 23

= x3 + 6x2 + 12x + 8

Cubo da diferença

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Os sinais seguem +, -, +, -. O termo 3ab2 é positivo porque b aparece ao quadrado.

Derivação passo a passo

1. (a - b)3 = (a - b)2(a - b)

2. = (a2 - 2ab + b2)(a - b)

3. Distribua: = a3 - a2b - 2a2b + 2ab2 + ab2 - b3

4. Reúna os semelhantes: = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Exemplo

(x - 2)3 = x3 - 3x2 · 2 + 3x · 22 - 23

= x3 - 6x2 + 12x - 8

Como reconhecer o padrão

ExpressãoPadrãoResultado
(m + n)2Quadrado da somam2 + 2mn + n2
(m - n)2Quadrado da diferençam2 - 2mn + n2
(m + n)(m - n)Soma pela diferençam2 - n2

O expoente 2 fora do parêntese é o sinal mais forte de que existe um quadrado da soma ou da diferença.

Produtos notáveis no sentido inverso

Fatorar é reconhecer uma expressão desenvolvida e escrevê-la novamente como produto. É o caminho inverso do desenvolvimento.

Diferença de quadrados

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

x2 - 49 = x2 - 72 = (x + 7)(x - 7)

16x2 - 25y2 = (4x + 5y)(4x - 5y)

Cuidado: a2 + b2 não é diferença de quadrados.

Trinômio quadrado perfeito

Às vezes, a expressão já está desenvolvida. Podemos reconhecer quando ela nasceu de um produto notável.

x2 + 10x + 25

x2 é o quadrado de x, e 25 é o quadrado de 5.

O termo do meio é 2 · x · 5 = 10x.

Logo: x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

Para reconhecer, confira os dois quadrados e depois verifique se o termo central é o dobro do produto das raízes.

Soma de cubos

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

Verificação passo a passo

1. Distribua: (a + b)(a2 - ab + b2)

= a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3

2. Cancele os termos opostos: = a3 + b3

Exemplo

x3 + 8 = x3 + 23

= (x + 2)(x2 - 2x + 4)

Diferença de cubos

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Verificação passo a passo

1. Distribua: (a - b)(a2 + ab + b2)

= a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3

2. Cancele os termos opostos: = a3 - b3

Exemplos

x3 - 27 = x3 - 33

= (x - 3)(x2 + 3x + 9)

8x3 - 125 = (2x)3 - 53

= (2x - 5)(4x2 + 10x + 25)

Identidades úteis em provas

(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

512 - 492 = (51 + 49)(51 - 49) = 100 · 2 = 200

(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

Aplicações

Produtos notáveis aceleram contas mentais, simplificam expressões e serão muito usados em fatoração, equações e funções.

992 = (100 - 1)2

= 1002 - 2 · 100 · 1 + 12

= 10 000 - 200 + 1 = 9 801

Fração algébrica

(x2 - 25) / (x - 5) = [(x - 5)(x + 5)] / (x - 5)

= x + 5, com x ≠ 5

Determinação de parâmetro

Em x2 + kx + 36, temos 36 = 62.

O termo central deve ser ±2 · x · 6 = ±12x.

Logo, k = 12 ou k = -12.

Restrição: em frações algébricas, a condição x ≠ 5 permanece depois da simplificação.

Como cai em prova

Em provas, os produtos notáveis aparecem para desenvolver expressões, reconhecer trinômios quadrados perfeitos, simplificar frações algébricas e resolver equações.

Dica: antes de usar uma fórmula, compare cuidadosamente os termos e os sinais dos parênteses.

Pegadinhas de prova

  • (a + b)2 não é a2 + b2: o termo 2ab não pode desaparecer.
  • (a - b)2 termina com + b2, e não com - b2.
  • (a + b)(a - b) é diferença de quadrados, não quadrado da diferença.
  • Calcule o quadrado de todo o termo: (2x)2 = 4x2.

Método de resolução

  1. Identifique os dois termos e os sinais.
  2. Veja se há um quadrado de parêntese ou dois parênteses conjugados.
  3. Aplique a fórmula preservando o sinal do termo do meio.
  4. Confira o resultado usando a distributiva, se necessário.

Questões resolvidas

1. Quadrado da soma

Desenvolva (x + 4)2.

A) x2 + 16B) x2 + 8x + 16C) x2 + 4x + 16D) x2 - 8x + 16

(x + 4)2 = x2 + 2 · x · 4 + 16 = x2 + 8x + 16. Resposta: B.

2. Quadrado da diferença

Desenvolva (x - 6)2.

A) x2 - 36B) x2 - 12x - 36C) x2 - 12x + 36D) x2 + 12x + 36

(x - 6)2 = x2 - 12x + 36. Resposta: C.

3. Soma pela diferença

Calcule (5 + y)(5 - y).

A) 25 - y2B) 25 + y2C) 10 - y2D) 25 - 2y + y2

É uma soma pela diferença: 52 - y2 = 25 - y2. Resposta: A.

4. Reconhecimento

Escreva x2 - 14x + 49 como produto notável.

A) (x + 7)2B) (x - 7)2C) (x + 49)(x - 49)D) (x - 14)2

49 = 72 e -14x = -2 · x · 7. Portanto, é (x - 7)2. Resposta: B.

5. Produto com termo comum

Desenvolva (x - 3)(x + 7).

A) x2 + 4x - 21B) x2 + 10x - 21C) x2 - 4x - 21D) x2 + 4x + 21

x2 + (7 - 3)x - 21 = x2 + 4x - 21. Resposta: A.

6. Cubo da soma

Desenvolva (x + 2)3.

A) x3 + 8B) x3 + 6x2 + 12x + 8C) x3 + 4x2 + 4x + 8D) x3 + 6x + 8

Aplicando 1, 3, 3, 1: x3 + 6x2 + 12x + 8. Resposta: B.

7. Trinômio quadrado perfeito

Fatore 4x2 - 20x + 25.

A) (2x - 5)2B) (4x - 5)2C) (2x + 5)2D) (x - 5)2

4x2 = (2x)2, 25 = 52 e o termo central é negativo. Resposta: A.

8. Diferença de quadrados

Fatore 9x2 - 16.

A) (9x + 16)(9x - 16)B) (3x + 4)(3x - 4)C) (3x - 4)2D) (9x - 4)(x + 4)

(3x)2 - 42 = (3x + 4)(3x - 4). Resposta: B.

9. Identidade derivada

Calcule (3x + 2)2 - (3x - 2)2.

A) 12xB) 24xC) 9x2 - 4D) 36x2

Use 4ab, com a = 3x e b = 2: 4 · 3x · 2 = 24x. Resposta: B.

10. Parâmetro

Para quais valores de k a expressão x2 + kx + 16 é quadrado perfeito?

A) k = 4B) k = ±4C) k = 8D) k = ±8

16 = 42; o termo central deve ser ±8x. Resposta: D.

Exercícios para treinar

Fácil

1. Desenvolva (x + 2)2.

A) x2 + 4B) x2 + 4x + 4C) x2 + 2x + 4D) x2 - 4x + 4
Fácil

2. Qual é a fórmula de (a - b)2?

A) a2 - b2B) a2 + 2ab + b2C) a2 - 2ab + b2D) a2 - 2ab - b2
Fácil

3. Calcule (x + 4)(x - 4).

A) x2 - 16B) x2 + 16C) x2 - 8x + 16D) x2 + 8x + 16
Médio

4. Desenvolva (2x + 3)2.

A) 4x2 + 9B) 4x2 + 6x + 9C) 2x2 + 12x + 9D) 4x2 + 12x + 9
Médio

5. Fatore x2 + 14x + 49.

A) (x + 49)2B) (x + 7)2C) (x + 7)(x - 7)D) (x + 14)2
Médio

6. Calcule (5y - 2)(5y + 2).

A) 25y2 - 4B) 25y2 + 4C) 10y2 - 4D) 25y2 - 20y + 4
Médio

7. Desenvolva (x - 3)2.

A) x2 - 9B) x2 - 3x + 9C) x2 - 6x + 9D) x2 + 6x + 9
Difícil

8. O trinômio x2 + 6x + 9 é:

A) (x - 3)2B) (x + 3)2C) (x + 9)2D) (x + 3)(x - 3)
Difícil

9. Desenvolva (3a - 2b)2.

A) 9a2 - 4b2B) 9a2 + 12ab + 4b2C) 9a2 - 6ab + 4b2D) 9a2 - 12ab + 4b2
Difícil

10. Calcule (x + 1)2 - (x - 1)2.

A) 2xB) 4xC) 4D) 2x2 + 2
Difícil

11. Desenvolva (x + 3)(x - 5).

A) x2 - 2x - 15B) x2 + 2x - 15C) x2 - 8x + 15D) x2 + 8x - 15
Difícil

12. Desenvolva (x - 1)3.

A) x3 - 1B) x3 - 3x2 + 3x - 1C) x3 - 3x - 1D) x3 + 3x2 + 3x + 1
Difícil

13. Fatore 16x2 - 40x + 25.

A) (4x + 5)2B) (8x - 5)2C) (4x - 5)2D) (16x - 25)2
Difícil

14. Fatore 25a2 - 9b2.

A) (5a - 3b)2B) (5a + 3b)(5a - 3b)C) (25a + 9b)(a - b)D) (5a + 9b)(5a - b)
Difícil

15. Fatore x3 + 27.

A) (x + 3)(x2 - 3x + 9)B) (x + 3)(x2 + 3x + 9)C) (x - 3)(x2 + 3x + 9)D) (x + 27)(x2 - 1)
Difícil

16. Simplifique (x2 - 36) / (x - 6), com x ≠ 6.

A) x - 6B) x + 6C) x2 + 6D) 1
Difícil

17. Calcule 1003 · 997.

A) 999 991B) 999 009C) 1 000 009D) 999 999
Difícil

18. Qual não é trinômio quadrado perfeito?

A) x2 + 10x + 25B) 4x2 - 12x + 9C) x2 + 8x + 25D) 9x2 + 24x + 16

Gabarito comentado:

1-B: (x + 2)2 = x2 + 4x + 4. 2-C: no quadrado da diferença, apenas o termo do meio é negativo. 3-A: (x + 4)(x - 4) = x2 - 16.

4-D: (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9. 5-B: x2 + 14x + 49 = (x + 7)2. 6-A: soma pela diferença dá 25y2 - 4.

7-C: (x - 3)2 = x2 - 6x + 9. 8-B: é o quadrado da soma de x e 3. 9-D: o termo do meio é -2 · 3a · 2b = -12ab. 10-B: a diferença entre os quadrados é 4x. 11-A: termo comum: x2 + (-2)x - 15. 12-B: cubo da diferença dá x3 - 3x2 + 3x - 1. 13-C: (4x - 5)2. 14-B: diferença de quadrados. 15-A: soma de cubos. 16-B: fatora-se (x - 6)(x + 6), mantendo x ≠ 6. 17-A: (1000 + 3)(1000 - 3) = 999 991. 18-C: o termo central deveria ser 10x, não 8x.

Resumo final

  • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
  • (a + b)(a - b) = a2 - b2 e (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.
  • (a + b + c)2 reúne os quadrados e o dobro de cada produto.
  • (a + b)3 usa 1, 3, 3, 1; no cubo da diferença, os sinais alternam.
  • a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 e a2 - b2 = (a + b)(a - b).
  • a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2); a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2).
  • (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab.
  • Produtos notáveis servem para desenvolver e fatorar; confira sempre termo central, sinais, parênteses e expoentes.