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Produtos notáveis

Identidades algébricas para desenvolver expressões com clareza

Produtos notáveis são multiplicações que aparecem com tanta frequência que possuem fórmulas próprias. Entender de onde elas vêm evita decorar no escuro.

O que são produtos notáveis?

São multiplicações algébricas que possuem um padrão conhecido. Em vez de usar a distributiva do zero toda vez, podemos reconhecer o padrão e desenvolver a expressão com segurança.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

A fórmula é um atalho, mas continua sendo uma multiplicação comum. Por isso, aprender a distributiva primeiro torna tudo mais claro.

De onde vêm as fórmulas

O quadrado de uma soma significa multiplicar a soma por ela mesma.

(a + b)2 = (a + b)(a + b)

= a2 + ab + ab + b2

= a2 + 2ab + b2

Os dois termos ab se juntam e formam o termo do meio: 2ab.

Quadrado da soma

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

É o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto dos termos, mais o quadrado do segundo.

(x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32

(x + 3)2 = x2 + 6x + 9

Quadrado da diferença

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Na expansão formal, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2: o termo central é -2ab e os termos quadráticos são a2 e b2. Se a ou b já tiverem sinal, use parênteses. Exemplo: (x - (-3))2 = (x + 3)2.

(2x - 5)2 = (2x)2 - 2 · 2x · 5 + 52

(2x - 5)2 = 4x2 - 20x + 25

Produto da soma pela diferença

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Os termos do meio se anulam. O resultado é a diferença dos quadrados.

(3y + 4)(3y - 4) = (3y)2 - 42

(3y + 4)(3y - 4) = 9y2 - 16

Reconheça: os dois parênteses têm os mesmos termos, mas sinais opostos entre eles.

Produto de binômios com termo comum

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

(x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab

= x2 + (a + b)x + ab

(x + 3)(x + 5) = x2 + 8x + 15

(x - 4)(x + 2) = x2 + (-4 + 2)x + (-4) · 2

= x2 - 2x - 8

Os números a e b podem ser positivos ou negativos.

Quadrado de um trinômio

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

O resultado tem o quadrado de cada termo e o dobro do produto de cada par de termos diferentes.

(x + y + 2)2 = x2 + y2 + 4 + 2xy + 4x + 4y

(x + y - 3)2 = x2 + y2 + 9 + 2xy - 6x - 6y

Os sinais de cada produto devem ser respeitados.

Cubo da soma

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Os coeficientes são 1, 3, 3, 1. O expoente de a diminui de 3 até 0, enquanto o de b aumenta de 0 até 3.

(x + 2)3 = x3 + 3x2 · 2 + 3x · 22 + 23

= x3 + 6x2 + 12x + 8

Cubo da diferença

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Os sinais seguem a sequência +, -, +, -.

(x - 2)3 = x3 - 6x2 + 12x - 8

Não use x3 - 6x2 - 12x - 8: o terceiro termo é positivo.

Como reconhecer o padrão

ExpressãoPadrãoResultado
(m + n)2Quadrado da somam2 + 2mn + n2
(m - n)2Quadrado da diferençam2 - 2mn + n2
(m + n)(m - n)Soma pela diferençam2 - n2

O expoente 2 fora do parêntese é o sinal mais forte de que existe um quadrado da soma ou da diferença.

Produtos notáveis no sentido inverso

Fatorar é reconhecer uma expressão desenvolvida e escrevê-la novamente como produto. É o caminho inverso do desenvolvimento.

Diferença de quadrados

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

x2 - 49 = x2 - 72 = (x + 7)(x - 7)

16x2 - 25y2 = (4x + 5y)(4x - 5y)

Cuidado: a2 + b2 não é diferença de quadrados.

Trinômio quadrado perfeito

Às vezes, a expressão já está desenvolvida. Podemos reconhecer quando ela nasceu de um produto notável.

x2 + 10x + 25

x2 é o quadrado de x, e 25 é o quadrado de 5.

O termo do meio é 2 · x · 5 = 10x.

Logo: x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

Para reconhecer, confira os dois quadrados e depois verifique se o termo central é o dobro do produto das raízes.

Soma de cubos

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

x3 + 8 = (x + 2)(x2 - 2x + 4)

Diferença de cubos

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

x3 - 27 = (x - 3)(x2 + 3x + 9)

8x3 - 125 = (2x - 5)(4x2 + 10x + 25)

Identidades úteis em provas

(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

512 - 492 = (51 + 49)(51 - 49) = 100 · 2 = 200

(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

Aplicações

Produtos notáveis aceleram contas mentais, simplificam expressões e serão muito usados em fatoração, equações e funções.

992 = (100 - 1)2

= 1002 - 2 · 100 · 1 + 12

= 10 000 - 200 + 1 = 9 801

Fração algébrica

(x2 - 25) / (x - 5) = [(x - 5)(x + 5)] / (x - 5)

= x + 5, com x ≠ 5

Determinação de parâmetro

Em x2 + kx + 36, temos 36 = 62.

O termo central deve ser ±2 · x · 6 = ±12x.

Logo, k = 12 ou k = -12.

Restrição: em frações algébricas, a condição x ≠ 5 permanece depois da simplificação.

Como cai em prova

Em provas, os produtos notáveis aparecem para desenvolver expressões, reconhecer trinômios quadrados perfeitos, simplificar frações algébricas e resolver equações.

Dica: antes de usar uma fórmula, compare cuidadosamente os termos e os sinais dos parênteses.

Pegadinhas de prova

  • (a + b)2 não é a2 + b2: o termo 2ab não pode desaparecer.
  • (a - b)2 termina com + b2, e não com - b2.
  • (a + b)(a - b) é diferença de quadrados, não quadrado da diferença.
  • Calcule o quadrado de todo o termo: (2x)2 = 4x2.

Método de resolução

  1. Identifique os dois termos e os sinais.
  2. Veja se há um quadrado de parêntese ou dois parênteses conjugados.
  3. Aplique a fórmula preservando o sinal do termo do meio.
  4. Confira o resultado usando a distributiva, se necessário.

Questões resolvidas

1. Quadrado da soma

Desenvolva (x + 4)2.

A) x2 + 16B) x2 + 8x + 16C) x2 + 4x + 16D) x2 - 8x + 16

(x + 4)2 = x2 + 2 · x · 4 + 16 = x2 + 8x + 16. Resposta: B.

2. Quadrado da diferença

Desenvolva (x - 6)2.

A) x2 - 36B) x2 - 12x - 36C) x2 - 12x + 36D) x2 + 12x + 36

(x - 6)2 = x2 - 12x + 36. Resposta: C.

3. Soma pela diferença

Calcule (5 + y)(5 - y).

A) 25 - y2B) 25 + y2C) 10 - y2D) 25 - 2y + y2

É uma soma pela diferença: 52 - y2 = 25 - y2. Resposta: A.

4. Reconhecimento

Escreva x2 - 14x + 49 como produto notável.

A) (x + 7)2B) (x - 7)2C) (x + 49)(x - 49)D) (x - 14)2

49 = 72 e -14x = -2 · x · 7. Portanto, é (x - 7)2. Resposta: B.

5. Produto com termo comum

Desenvolva (x - 3)(x + 7).

A) x2 + 4x - 21B) x2 + 10x - 21C) x2 - 4x - 21D) x2 + 4x + 21

x2 + (7 - 3)x - 21 = x2 + 4x - 21. Resposta: A.

6. Cubo da soma

Desenvolva (x + 2)3.

A) x3 + 8B) x3 + 6x2 + 12x + 8C) x3 + 4x2 + 4x + 8D) x3 + 6x + 8

Aplicando 1, 3, 3, 1: x3 + 6x2 + 12x + 8. Resposta: B.

7. Trinômio quadrado perfeito

Fatore 4x2 - 20x + 25.

A) (2x - 5)2B) (4x - 5)2C) (2x + 5)2D) (x - 5)2

4x2 = (2x)2, 25 = 52 e o termo central é negativo. Resposta: A.

8. Diferença de quadrados

Fatore 9x2 - 16.

A) (9x + 16)(9x - 16)B) (3x + 4)(3x - 4)C) (3x - 4)2D) (9x - 4)(x + 4)

(3x)2 - 42 = (3x + 4)(3x - 4). Resposta: B.

9. Identidade derivada

Calcule (3x + 2)2 - (3x - 2)2.

A) 12xB) 24xC) 9x2 - 4D) 36x2

Use 4ab, com a = 3x e b = 2: 4 · 3x · 2 = 24x. Resposta: B.

10. Parâmetro

Para quais valores de k a expressão x2 + kx + 16 é quadrado perfeito?

A) k = 4B) k = ±4C) k = 8D) k = ±8

16 = 42; o termo central deve ser ±8x. Resposta: D.

Exercícios para treinar

Fácil

1. Desenvolva (x + 2)2.

A) x2 + 4B) x2 + 4x + 4C) x2 + 2x + 4D) x2 - 4x + 4
Fácil

2. Qual é a fórmula de (a - b)2?

A) a2 - b2B) a2 + 2ab + b2C) a2 - 2ab + b2D) a2 - 2ab - b2
Fácil

3. Calcule (x + 4)(x - 4).

A) x2 - 16B) x2 + 16C) x2 - 8x + 16D) x2 + 8x + 16
Médio

4. Desenvolva (2x + 3)2.

A) 4x2 + 9B) 4x2 + 6x + 9C) 2x2 + 12x + 9D) 4x2 + 12x + 9
Médio

5. Fatore x2 + 14x + 49.

A) (x + 49)2B) (x + 7)2C) (x + 7)(x - 7)D) (x + 14)2
Médio

6. Calcule (5y - 2)(5y + 2).

A) 25y2 - 4B) 25y2 + 4C) 10y2 - 4D) 25y2 - 20y + 4
Médio

7. Desenvolva (x - 3)2.

A) x2 - 9B) x2 - 3x + 9C) x2 - 6x + 9D) x2 + 6x + 9
Difícil

8. O trinômio x2 + 6x + 9 é:

A) (x - 3)2B) (x + 3)2C) (x + 9)2D) (x + 3)(x - 3)
Difícil

9. Desenvolva (3a - 2b)2.

A) 9a2 - 4b2B) 9a2 + 12ab + 4b2C) 9a2 - 6ab + 4b2D) 9a2 - 12ab + 4b2
Difícil

10. Calcule (x + 1)2 - (x - 1)2.

A) 2xB) 4xC) 4D) 2x2 + 2
Difícil

11. Desenvolva (x + 3)(x - 5).

A) x2 - 2x - 15B) x2 + 2x - 15C) x2 - 8x + 15D) x2 + 8x - 15
Difícil

12. Desenvolva (x - 1)3.

A) x3 - 1B) x3 - 3x2 + 3x - 1C) x3 - 3x - 1D) x3 + 3x2 + 3x + 1
Difícil

13. Fatore 16x2 - 40x + 25.

A) (4x + 5)2B) (8x - 5)2C) (4x - 5)2D) (16x - 25)2
Difícil

14. Fatore 25a2 - 9b2.

A) (5a - 3b)2B) (5a + 3b)(5a - 3b)C) (25a + 9b)(a - b)D) (5a + 9b)(5a - b)
Difícil

15. Fatore x3 + 27.

A) (x + 3)(x2 - 3x + 9)B) (x + 3)(x2 + 3x + 9)C) (x - 3)(x2 + 3x + 9)D) (x + 27)(x2 - 1)
Difícil

16. Simplifique (x2 - 36) / (x - 6), com x ≠ 6.

A) x - 6B) x + 6C) x2 + 6D) 1
Difícil

17. Calcule 1003 · 997.

A) 999 991B) 999 009C) 1 000 009D) 999 999
Difícil

18. Qual não é trinômio quadrado perfeito?

A) x2 + 10x + 25B) 4x2 - 12x + 9C) x2 + 8x + 25D) 9x2 + 24x + 16

Gabarito comentado:

1-B: (x + 2)2 = x2 + 4x + 4. 2-C: no quadrado da diferença, apenas o termo do meio é negativo. 3-A: (x + 4)(x - 4) = x2 - 16.

4-D: (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9. 5-B: x2 + 14x + 49 = (x + 7)2. 6-A: soma pela diferença dá 25y2 - 4.

7-C: (x - 3)2 = x2 - 6x + 9. 8-B: é o quadrado da soma de x e 3. 9-D: o termo do meio é -2 · 3a · 2b = -12ab. 10-B: a diferença entre os quadrados é 4x. 11-A: termo comum: x2 + (-2)x - 15. 12-B: cubo da diferença dá x3 - 3x2 + 3x - 1. 13-C: (4x - 5)2. 14-B: diferença de quadrados. 15-A: soma de cubos. 16-B: fatora-se (x - 6)(x + 6), mantendo x ≠ 6. 17-A: (1000 + 3)(1000 - 3) = 999 991. 18-C: o termo central deveria ser 10x, não 8x.

Resumo final

  • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
  • (a + b)(a - b) = a2 - b2 e (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.
  • (a + b + c)2 reúne os quadrados e o dobro de cada produto.
  • (a + b)3 usa 1, 3, 3, 1; no cubo da diferença, os sinais alternam.
  • a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 e a2 - b2 = (a + b)(a - b).
  • a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2); a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2).
  • (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab.
  • Produtos notáveis servem para desenvolver e fatorar; confira sempre termo central, sinais, parênteses e expoentes.