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Grandezas proporcionais

Reconhecendo como duas quantidades variam juntas

Grandezas proporcionais mantêm uma relação constante, direta ou inversa.

O que são grandezas proporcionais?

Uma grandeza é uma propriedade que pode ser medida ou contada, como quantidade, preço, tempo, número de objetos, massa, comprimento ou produção.

Duas grandezas são proporcionais quando seus valores correspondentes obedecem a uma relação constante. Os dois casos principais são a proporcionalidade direta e a inversa.

O simples fato de duas grandezas aumentarem ou diminuírem não prova proporcionalidade. É necessário verificar a constante.

Grandezas diretamente proporcionais

y = kx    e    y/x = k

k é a constante de proporcionalidade. Se x é multiplicado ou dividido por um fator m, y sofre a mesma alteração.

y1/x1 = y2/x2 = k

O teste por produtos cruzados é equivalente: x1y2 = x2y1. Para (8,12) e (14,21), 8 · 21 = 14 · 12 = 168.

3 cadernos custam R$ 18,00: k = 18 reais/3 cadernos = 6 reais por caderno.

Logo, P = 6q. A unidade de k depende das grandezas comparadas.

A relação só é direta se as condições forem mantidas: preço unitário fixo, sem taxa fixa, desconto progressivo ou mudança do produto.

Em y = kx, x = 0 implica y = 0. O par (0,0) pode pertencer à relação, embora y/x não possa ser calculado nesse par.

Grandezas inversamente proporcionais

y = k/x    e    xy = k, com x ≠ 0

Se x é multiplicado por m, y é dividido por m. Todos os pares devem manter x1y1 = x2y2 = k.

Se xy = 24, ao passar x de 2 para 4, y passa de 12 para 6.

2 · 12 = 4 · 6 = 24.

Em situações práticas, devem permanecer constantes a tarefa total, o rendimento individual, as condições de execução, a jornada considerada e a capacidade dos participantes.

Quando não há proporcionalidade

Nos pares (1,3), (2,5) e (3,7), as grandezas crescem juntas, mas 3/1, 5/2 e 7/3 são diferentes. Não há proporcionalidade direta.

Nos pares (2,12), (3,9) e (4,7), uma cresce e a outra diminui, mas os produtos são 24, 27 e 28. Não há proporcionalidade inversa.

Se uma loja cobra R$ 10,00 fixos mais R$ 2,00 por produto, 5 produtos custam R$ 20,00 e 10 custam R$ 30,00. A quantidade dobra, mas o custo não; a taxa fixa elimina a proporcionalidade direta.

Leitura e preenchimento de tabelas

  1. Identifique valores da mesma situação e organize os pares (x,y).
  2. Quando x ≠ 0, teste y/x em todos os pares.
  3. Se a razão não for constante, teste xy.
  4. Se nenhuma constante existir, descarte a proporcionalidade.
  5. Para uma incógnita, determine k, calcule o valor e verifique-o na tabela.
xy diretay inversa
37,516
41012
6158

Na coluna direta, y/x = 2,5; na inversa, xy = 48.

Divisão diretamente proporcional

Dividir T diretamente em a:b:c significa distribuir o total usando os próprios pesos.

P1 = T · a/(a+b+c),   P2 = T · b/(a+b+c),   P3 = T · c/(a+b+c)

Divida 600 em 2:3:5. Soma dos pesos: 10; cada unidade vale 600/10 = 60.

Partes: 120, 180 e 300.

Verificação: 120 + 180 + 300 = 600 e 120:180:300 = 2:3:5.

Divisão inversamente proporcional

Para dividir inversamente a a:b:c, divida diretamente pelos inversos 1/a:1/b:1/c. O menor peso original recebe a maior parte.

500 inversamente a 2 e 3: 1/2:1/3. Multiplicando por 6, obtemos 3:2.

Partes: 500 · 3/5 = 300 e 500 · 2/5 = 200.

Verificação: 300 + 200 = 500.

660 inversamente a 2, 3 e 6: 1/2:1/3:1/6 = 3:2:1.

Partes: 330, 220 e 110; a soma retorna 660.

Pegadinhas

  • Crescer junto ou em sentidos opostos não prova proporcionalidade.
  • Todos os pares devem produzir a mesma constante; testar apenas um é insuficiente.
  • Não misture valores de linhas diferentes.
  • Taxa fixa elimina proporcionalidade direta.
  • Na direta, y/x = k; na inversa, xy = k e x ≠ 0.
  • (0,0) pode pertencer à direta, mas y/x é indefinido nesse par.
  • Na divisão direta, use os pesos; na inversa, use seus inversos.
  • Na inversa, o menor peso original recebe a maior parte.
  • Confira a razão das partes e se sua soma retorna ao total.

Método

  1. Identifique as grandezas, os pares correspondentes e as condições do contexto.
  2. Teste y/x, com x ≠ 0; se constante, a relação é direta.
  3. Se não for direta, teste xy; se constante, é inversa.
  4. Se nenhum teste for constante, não há proporcionalidade.
  5. Determine k e escreva y = kx ou y = k/x.
  6. Use produtos cruzados quando conveniente, calcule a incógnita e verifique k.
  7. Na divisão direta, some os pesos.
  8. Na inversa, substitua os pesos por seus inversos.
  9. Calcule todas as partes, confira o total e avalie o contexto.

Questões resolvidas

1. Tabela direta

Pares (4,10), (6,15), (10,y). Temos 10/4 = 15/6 = 2,5; logo k = 2,5 e y = 2,5 · 10 = 25.

Verificação: 25/10 = 2,5.

2. Tabela inversa

Pares (3,16), (4,12), (6,y). Os produtos conhecidos valem 48; logo k = 48 e y = 48/6 = 8.

Verificação: 6 · 8 = 48.

3. Não proporcional

Em (2,12), (3,9), (4,7), as razões mudam e os produtos são 24, 27 e 28.

Conclusão: nem direta nem inversa.

4. Produtos cruzados

Para (8,12) e (14,21): 8 · 21 = 168 e 14 · 12 = 168.

Os pares são diretamente proporcionais; k = 12/8 = 21/14 = 1,5.

5. Valor direto desconhecido

Se y = 18 quando x = 6, k = 18/6 = 3. Para x = 10, y = 3 · 10 = 30.

Verificação: 30/10 = 3.

6. Valor inverso desconhecido

Se xy = 48 e x = 6, y = 48/6 = 8.

Verificação: 6 · 8 = 48.

7. Divisão direta

840 em 2:3:7. Soma = 12; unidade = 840/12 = 70. Partes: 140, 210 e 490.

Verificação: soma 840 e razão 2:3:7.

8. Divisão inversa

600 inversamente a 2 e 4: 1/2:1/4 = 2:1. Partes: 400 e 200.

O peso original 2, menor, recebe a maior parte; soma = 600.

9. Taxa fixa e zero

R$ 15,00 fixos mais R$ 4,00 por item não produz razão constante. Já em y = 5x, x = 0 implica y = 0, embora 0/0 seja indefinido.

A fórmula e os demais pares confirmam a proporcionalidade direta no segundo caso.

Exercícios

Fácil

1. Na relação y = 4x, a constante k vale:

A) 1/4B) 4C) xD) y
Fácil

2. Qual conjunto representa proporcionalidade direta?

A) (2,6), (3,9), (5,15)B) (2,12), (3,8), (4,6)C) (1,3), (2,5), (3,7)D) (2,5), (4,9), (6,13)
Fácil

3. Qual conjunto representa proporcionalidade inversa?

A) (2,4), (3,6), (4,8)B) (2,12), (3,8), (4,6)C) (2,12), (3,9), (4,7)D) (1,2), (2,4), (3,7)
Fácil

4. Os pares (1,3), (2,5) e (3,7) representam uma relação:

A) diretamente proporcionalB) inversamente proporcionalC) direta e inversaD) não proporcional
Fácil

5. Se y é diretamente proporcional a x, com k = 3, quanto vale y para x = 8?

A) 11B) 16C) 24D) 32
Fácil

6. Em uma relação inversa, se x dobra, y deve:

A) dobrarB) ser dividido por 2C) permanecer igualD) ser somado a 2
Médio

7. Na tabela direta (4,10), (6,15), (10,y), o valor de y é:

A) 20B) 24C) 25D) 30
Médio

8. Na tabela inversa (3,16), (4,12), (6,y), o valor de y é:

A) 6B) 8C) 10D) 12
Médio

9. Os pares (0,5; 1,5), (1; 3) e (2; 6) têm:

A) proporcionalidade direta com k = 3B) proporcionalidade inversa com k = 3C) proporcionalidade direta com k = 2D) nenhuma proporcionalidade
Médio

10. Os pares (8,12) e (14,21) são diretamente proporcionais porque:

A) 8 + 21 = 14 + 12B) 8 · 21 = 14 · 12 = 168C) 12/8 = 14/21D) 8 · 12 = 14 · 21
Médio

11. Três cadernos custam R$ 18,00, com preço unitário fixo. A unidade de k é:

A) cadernos por realB) apenas reaisC) reais por cadernoD) sem unidade
Médio

12. Na relação y = 5x, quando x = 0:

A) y = 5 e y/x = 5B) y = 0, mas y/x não pode ser calculado nesse parC) y = 0 e y/x = 0D) a relação deixa de ser proporcional
Difícil

13. Ao dividir 840 diretamente na razão 2:3:7, a maior parte é:

A) 140B) 210C) 420D) 490
Difícil

14. Ao dividir 600 inversamente a 2 e 4, as partes correspondentes a 2 e 4 são, respectivamente:

A) 400 e 200B) 200 e 400C) 300 e 300D) 450 e 150
Difícil

15. Ao dividir 660 inversamente a 2, 3 e 6, as partes correspondentes são:

A) 110, 220 e 330B) 220, 110 e 330C) 330, 220 e 110D) 300, 240 e 120
Difícil

16. Uma empresa cobra R$ 15,00 de taxa fixa mais R$ 4,00 por item. O custo total é diretamente proporcional à quantidade?

A) Sim, porque o custo aumentaB) Sim, porque o valor por item é R$ 4,00C) Não, porque a taxa fixa impede razão constanteD) Não, porque valores monetários nunca são proporcionais
Difícil

17. Dobrar o número de trabalhadores reduz o tempo à metade somente quando:

A) a tarefa também dobraB) cada trabalhador tem rendimento diferenteC) tarefa, rendimento e condições permanecem constantesD) a jornada é reduzida pela metade
Difícil

18. Os pares (0,0), (2,10) e (4,20) pertencem a y = 5x. A conclusão correta é:

A) não há proporcionalidade por causa do zeroB) há proporcionalidade inversaC) há proporcionalidade direta; no par (0,0), y/x é indefinidoD) o par (0,0) deve ser substituído por (0,5)

Gabarito comentado:

1-B: em y = 4x, k = 4. 2-A: 6/2 = 9/3 = 15/5 = 3. 3-B: 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6 = 24. 4-D: nem as razões nem os produtos são constantes. 5-C: y = 3 · 8 = 24. 6-B: na inversa, dobrar x divide y por 2.

7-C: k = 10/4 = 15/6 = 2,5; y = 2,5 · 10 = 25. 8-B: k = 3 · 16 = 4 · 12 = 48; y = 48/6 = 8. 9-A: 1,5/0,5 = 3/1 = 6/2 = 3. 10-B: 8 · 21 = 14 · 12 = 168. 11-C: k = 18 reais/3 cadernos = 6 reais por caderno. 12-B: y = 0, mas y/x seria 0/0.

13-D: 2+3+7 = 12; 840 · 7/12 = 490. 14-A: 1/2:1/4 = 2:1; as partes são 400 e 200 e somam 600. 15-C: 1/2:1/3:1/6 = 3:2:1; as partes são 330, 220 e 110. 16-C: a taxa fixa impede que custo/quantidade permaneça constante. 17-C: a inversão exige mesma tarefa, rendimento e condições. 18-C: y = 5x inclui (0,0); a razão nesse par é indefinida, mas os demais pares e a fórmula confirmam a relação.

Resumo final

  • Direta: y = kx e y/x = k.
  • Inversa: y = k/x e xy = k, com x ≠ 0.
  • k é a constante de proporcionalidade e pode possuir unidade.
  • Crescer ou diminuir não prova proporcionalidade; todos os pares devem manter a constante.
  • Produtos cruzados podem confirmar a proporcionalidade direta.
  • Taxa fixa elimina a proporcionalidade direta.
  • Divisão direta usa os próprios pesos; inversa usa seus inversos.
  • A soma das partes deve retornar ao total, e todo resultado deve ser verificado.