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Escalas

Representando medidas reais em mapas, plantas e desenhos

Escala compara a medida no desenho com a medida real, sempre usando unidades compatíveis.

O que é escala?

E = d/D: medida no desenho dividida pela medida real. As duas devem estar na mesma unidade e a escala não possui unidade.

Elementos e fórmulas

Em uma escala, E representa a escala, d a medida no desenho, mapa, planta ou modelo, e D a medida real. Antes do cálculo, d e D precisam estar na mesma unidade.

E = d/D
d = E · D
D = d/E

Em uma escala de redução 1:n, temos E = 1/n. Assim:

D = n · d

d = D/n

Depois que as unidades de d e D são igualadas, elas se cancelam. A interpretação pode dizer “1 cm representa 250 cm”, mas a escala final é escrita apenas como 1:250, sem unidade.

Unidades e conversões

EquivalênciaConversão
1 km1.000 m = 100.000 cm
1 m100 cm = 1.000 mm
1 cm10 mm

Não calcule diretamente 4 cm/8 m. Primeiro converta 8 m = 800 cm; depois:

E = 4/800 = 1/200

Escala: 1:200

A conversão deve ocorrer antes da simplificação da razão.

Escala numérica

1:100 significa 1 unidade no desenho para 100 unidades reais da mesma natureza.

Escala gráfica

A escala gráfica usa uma barra graduada. Cada segmento abaixo representa 1 km:

0 km    1 km    2 km    3 km
|----------|----------|----------|

Uma distância que ocupa dois segmentos completos representa 2 km; três segmentos representam 3 km. A barra deve ser medida junto ao mapa. Quando mapa e barra são redimensionados juntos, a relação visual continua válida, enquanto uma escala numérica impressa precisa ser recalculada.

Tipos de escala

1:n é redução; 1:1 é natural; n:1 é ampliação.

Medida real

Em 1:50, 6 cm representam D=6·50=300 cm=3 m.

Medida no desenho

12 m=1200 cm. Em 1:50, d=1200/50=24 cm.

Encontrando a escala

16 cm para 8 m=800 cm: E=16/800=1/50, logo 1:50.

Mudança de escala

Ampliar 1:200 ao dobro produz 1:100; reduzir 1:50.000 à metade produz 1:100.000.

Áreas e volumes

Se as dimensões lineares são multiplicadas por um fator k, os comprimentos usam k, as áreas usam k2 e os volumes usam k3. Em escala 1:n, ao passar do desenho para a realidade, k = n.

Ar = n2Ad   e   Vr = n3Vd
Ad/Ar = E2   e   Vd/Vr = E3

Área: 8 cm2 no desenho em 1:50 correspondem a 8 · 502 = 20.000 cm2 reais.

Volume: uma miniatura 1:4 com 30 cm3 corresponde a 30 · 43 = 1.920 cm3 reais.

Não aplique o fator linear diretamente a áreas ou volumes.

Pegadinhas

  • Escala é d/D, não D/d.
  • Desenho e realidade devem estar na mesma unidade antes da simplificação.
  • A razão final não possui unidade: não escreva 1:50 cm.
  • 1:50 é redução; 50:1 é ampliação.
  • Na redução, a medida real é maior; na ampliação, a desenhada é maior.
  • 1:100 indica unidades da mesma natureza, não automaticamente 1 cm para 100 m.
  • Entre escalas 1:n, menor denominador significa maior escala e mais detalhe.
  • Ampliar o desenho diminui o denominador; reduzi-lo aumenta o denominador.
  • Escala numérica e gráfica são representações diferentes.
  • Áreas usam k2; volumes usam k3.
  • Converta a resposta para a unidade pedida e confira o sentido do resultado.

Método

  1. Identifique o que o problema fornece e o que deve ser encontrado.
  2. Determine E, d e D.
  3. Converta desenho e realidade para a mesma unidade.
  4. Use E = d/D.
  5. Para encontrar o desenho, use d = E · D.
  6. Para encontrar a realidade, use D = d/E.
  7. Em 1:n, multiplique por n para encontrar a realidade.
  8. Em 1:n, divida por n para encontrar o desenho.
  9. Simplifique a razão da escala.
  10. Converta o resultado para a unidade solicitada.
  11. Verifique se se trata de redução, natural ou ampliação.
  12. Em mudança de escala, observe o fator linear de reprodução.
  13. Em áreas, use o quadrado do fator.
  14. Em volumes, use o cubo do fator.
  15. Substitua o resultado na relação original para conferir.

Questões resolvidas

1. Interpretação

Enunciado: interprete 1:200.

Dados: E = 1/200. Uma unidade no desenho representa 200 unidades reais da mesma natureza. É uma redução e a escala não possui unidade.

Verificação: d/D = 1/200.

2. Medida real

Em 1:50, uma parede mede d = 6 cm na planta.

D = d/E = 6/(1/50) = 6 · 50 = 300 cm = 3 m.

Verificação: 6/300 = 1/50. Resposta: 3 m.

3. Medida no desenho

Uma parede real mede D = 15 m = 1.500 cm e será desenhada em 1:100.

d = E · D = (1/100) · 1.500 = 15 cm.

Verificação: 15 · 100 = 1.500 cm.

4. Encontrando a escala

Uma parede de D = 8 m = 800 cm foi representada por d = 16 cm.

E = d/D = 16/800 = 1/50.

Resposta: 1:50, sem unidade. Verificação: 16 · 50 = 800 cm.

5. Ampliação

Um componente real mede D = 4 mm e será desenhado em 10:1, isto é, E = 10.

d = E · D = 10 · 4 = 40 mm.

Verificação: 40/4 = 10/1.

6. Mudança de escala

Um desenho 1:400 é ampliado ao dobro nas dimensões lineares.

A medida desenhada dobra e D permanece igual: 2/400 = 1/200.

Nova escala: 1:200.

7. Escala gráfica

Cada segmento da barra representa 1 km. Uma medida ocupa dois segmentos completos.

2 segmentos · 1 km/segmento = 2 km.

Resposta: 2 km. A leitura acompanha a própria barra.

8. Área em escala

Em 1:20, uma região ocupa Ad = 4 cm2. O fator linear desenho-real é k = 20.

Ar = k2Ad = 202 · 4 = 1.600 cm2.

Verificação: Ad/Ar = 4/1.600 = 1/400 = E2.

9. Volume em escala

Uma miniatura 1:5 possui Vd = 8 cm3. O fator linear desenho-real é k = 5.

Vr = k3Vd = 53 · 8 = 1.000 cm3.

Verificação: 8/1.000 = 1/125 = E3.

Exercícios

Fácil

1. A escala 1:100 significa que:

A) 1 unidade real corresponde a 100 unidades no desenhoB) 1 unidade no desenho corresponde a 100 unidades reais da mesma naturezaC) o desenho é 100 vezes maior que a realidadeD) desenho e realidade possuem o mesmo tamanho
Fácil

2. 1:50 é escala de:

A) ampliaçãoB) naturalC) reduçãoD) sem escala
Fácil

3. 1:1 é:

A) ampliaçãoB) tamanho naturalC) reduçãoD) redução pela metade
Fácil

4. 10:1, quanto ao tamanho, é:

A) reduçãoB) naturalC) ampliaçãoD) impossível
Fácil

5. Em 1:50, 4 cm representam:

A) 20 cmB) 50 cmC) 2 mD) 20 m
Fácil

6. 6 m em 1:100 ocupam:

A) 0,6 cmB) 6 cmC) 60 cmD) 600 cm
Médio

7. 10 cm representam 5 km. Escala:

A) 1:5.000B) 1:50.000C) 1:500.000D) 1:50
Médio

8. Escala gráfica com 3 segmentos de 1 km: dois segmentos valem:

A) 1 kmB) 2 kmC) 3 kmD) 6 km
Médio

9. 16 cm representam 8 m. Escala:

A) 1:5B) 1:50C) 1:500D) 50:1
Médio

10. Em 5:1, 4 mm reais aparecem com:

A) 0,8 mmB) 4 mmC) 20 mmD) 40 mm
Médio

11. 1:200 ampliada ao dobro vira:

A) 1:400B) 1:200C) 1:100D) 1:150
Médio

12. Mais detalhe para mesma região:

A) 1:100.000B) 1:25.000C) iguaisD) 1:250.000
Difícil

13. Área 8 cm² em 1:50:

A) 400 cm²B) 20.000 cm²C) 2.500 cm²D) 400.000 cm²
Difícil

14. Volume 30 cm³ em miniatura 1:4:

A) 120 cm³B) 480 cm³C) 1.920 cm³D) 7.680 cm³
Difícil

15. 1:80.000 ampliada ao dobro:

A) 1:160.000B) 1:40.000C) 1:80.000D) 1:20.000
Difícil

16. Mapa 1:50.000 reduzido à metade:

A) 1:25.000B) 1:50.000C) 1:100.000D) 1:75.000
Difícil

17. Uma região ocupa 6 cm² em uma planta na escala 1:200. Qual é a área real?

A) 2,4 m²B) 24 m²C) 240 m²D) 2.400 m²
Difícil

18. Um objeto real possui volume de 2.000 cm³. Uma miniatura é construída na escala 1:5. Qual é o volume da miniatura?

A) 8 cm³B) 10 cm³C) 16 cm³D) 80 cm³

Gabarito comentado:

1-B: uma unidade no desenho representa 100 unidades reais da mesma natureza. 2-C: em 1:50, a representação é menor que a realidade; portanto, é uma redução. 3-B: em 1:1, a medida desenhada é igual à medida real; portanto, a escala é natural. 4-C: em 10:1, o desenho possui dez vezes a medida real; portanto, é uma ampliação. 5-C: 4 · 50 = 200 cm = 2 m. 6-B: 6 m = 600 cm e 600/100 = 6 cm.

7-B: 5 km = 500.000 cm; E = 10/500.000 = 1/50.000. 8-B: cada segmento vale 1 km, então dois segmentos representam 2 km. 9-B: 8 m = 800 cm; E = 16/800 = 1/50. 10-C: na ampliação 5:1, 5 · 4 mm = 20 mm. 11-C: ao ampliar o desenho ao dobro, a razão passa de 1/200 para 2/200, que se simplifica para 1/100. 12-B: entre escalas 1:n, o menor denominador corresponde à maior escala e ao maior detalhamento.

13-B: áreas usam o quadrado do fator linear; 8 · 50² = 20.000 cm². 14-C: volumes usam o cubo do fator linear; 30 · 4³ = 1.920 cm³. 15-B: ao ampliar o mapa ao dobro, 2/80.000 = 1/40.000. Portanto, a nova escala é 1:40.000. 16-C: reduzir o mapa à metade reduz pela metade as medidas desenhadas. O denominador dobra: 1:50.000 passa para 1:100.000. 17-B: áreas usam o quadrado do fator linear. 6 · 200² = 240.000 cm² = 24 m². 18-C: volumes usam o cubo do fator linear. 2.000 ÷ 5³ = 2.000 ÷ 125 = 16 cm³.

Resumo final

  • Escala é a razão E = d/D entre desenho e realidade.
  • d representa a medida desenhada; D, a medida real.
  • d e D precisam estar na mesma unidade, e a escala final não possui unidade.
  • A escala pode ser numérica ou gráfica.
  • 1:n indica redução; 1:1, tamanho natural; n:1, ampliação.
  • Podemos calcular E, d ou D pelas fórmulas equivalentes.
  • Ampliar ou reduzir uma representação altera sua escala numérica.
  • Áreas usam k2; volumes usam k3.
  • Entre escalas 1:n, menor denominador significa maior escala e mais detalhe.
  • Converta para a unidade solicitada e confira a resposta na relação original.