Divisibilidade e múltiplos
Para inteiros a e b, com a diferente de zero, dizemos que a divide b quando existe um inteiro k tal que b=ak. Escrevemos a|b. Nesse caso, a é divisor de b e b é múltiplo de a.
- Se a|b e a|c, então a|(mb+nc) para quaisquer m,n∈ℤ.
- Se a|b e b|c, então a|c.
- Todo inteiro não nulo divide zero; zero não é usado como divisor.
- Quando b=aq+r, com 0≤r<|a|, a divisão é exata exatamente quando r=0.
Critérios práticos de divisibilidade
| Divisor | Critério |
|---|---|
| 2 | O algarismo das unidades é par. |
| 3 | A soma dos algarismos é múltipla de 3. |
| 4 | O número formado pelos dois últimos algarismos é múltiplo de 4. |
| 5 | Termina em 0 ou 5. |
| 6 | É divisível simultaneamente por 2 e por 3. |
| 8 | O número formado pelos três últimos algarismos é múltiplo de 8. |
| 9 | A soma dos algarismos é múltipla de 9. |
| 10 | Termina em 0. |
| 11 | A diferença entre as somas alternadas dos algarismos é múltipla de 11, inclusive zero. |
Critérios podem ser combinados quando os divisores são coprimos. Por exemplo, ser divisível por 12 equivale a ser divisível por 3 e por 4.
Números primos e Teorema Fundamental da Aritmética
Um primo é um inteiro positivo maior que 1 com exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. O número 1 não é primo nem composto. Para testar se N>1 é primo, basta procurar divisores primos até √N.
O Teorema Fundamental da Aritmética garante que essa fatoração é única, salvo a ordem dos fatores. Ela transforma problemas de divisibilidade em comparação de expoentes.
756=2²·3³·7. Todo divisor positivo de 756 tem a forma 2ᵃ3ᵇ7ᶜ, com 0≤a≤2, 0≤b≤3 e 0≤c≤1.
Quantidade e soma de divisores positivos
Na fatoração de N, o expoente de cada primo pode ser escolhido independentemente. Por isso:
Um inteiro positivo é quadrado perfeito exatamente quando todos os expoentes de sua fatoração são pares; equivalentemente, possui quantidade ímpar de divisores positivos.
Máximo divisor comum e algoritmo de Euclides
O MDC de inteiros não simultaneamente nulos é o maior divisor positivo comum. Pela fatoração, tomam-se os menores expoentes dos primos comuns. Para números grandes, use o algoritmo de Euclides:
Repetimos as divisões até o resto zero; o último resto não nulo é o MDC. Além disso, existem inteiros x e y tais que mdc(a,b)=ax+by: é a identidade de Bézout.
mdc(662,414): 662=414+248; 414=248+166; 248=166+82; 166=2·82+2; 82=41·2.
Logo, mdc(662,414)=2 e, voltando as igualdades, 2=8·414−5·662.
Mínimo múltiplo comum
O MMC positivo de inteiros não nulos é o menor múltiplo positivo comum. Na fatoração, tomam-se os maiores expoentes de todos os primos presentes.
Use MDC em repartições máximas e simplificações; use MMC em coincidências periódicas, denominadores comuns e menor quantidade compatível com vários ciclos.
Equações diofantinas lineares
A equação ax+by=c, com coeficientes inteiros, possui solução inteira exatamente quando mdc(a,b)|c. Se (x₀,y₀) é uma solução e d=mdc(a,b), todas as soluções são:
Restrições do problema, como x≥0 e y≥0, devem ser aplicadas depois de obter a família inteira.
Como reconhecer o modelo
- Maior tamanho que reparte exatamente: MDC.
- Primeira coincidência de ciclos: MMC.
- Número de escolhas de divisores: expoentes da fatoração.
- Combinação inteira de duas quantidades: Bézout ou equação diofantina.
Antes de calcular, traduza palavras como “maior”, “menor”, “simultaneamente”, “sem sobras” e “quantidade de divisores”. Elas determinam o método.
Pegadinhas de prova
- 1 não é primo; 2 é o único primo par.
- Critério de 6 exige divisibilidade por 2 e por 3.
- No MDC usam-se expoentes mínimos; no MMC, máximos.
- A relação mdc·mmc=|ab| é para dois inteiros não nulos.
- Uma diofantina pode ter soluções inteiras, mas nenhuma solução não negativa.
Questões resolvidas passo a passo
1. Critérios combinados
Determine por quais números entre 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 11 o número 3465 é divisível.
É ímpar, então não é divisível por 2 nem 6. Termina em 5, então é divisível por 5.
A soma 3+4+6+5=18 mostra divisibilidade por 3 e 9. Os dois últimos algarismos formam 65, não múltiplo de 4.
Para 11: (5+4)−(6+3)=0. Logo, é divisível por 3, 5, 9 e 11.
2. Quantidade de divisores
Quantos divisores positivos possui 756?
756=2²·3³·7.
τ(756)=(2+1)(3+1)(1+1)=3·4·2=24.
3. Euclides e Bézout
Calcule mdc(662,414) e escreva-o como combinação linear.
As divisões sucessivas produzem último resto não nulo igual a 2.
Retrocedendo: 2=166−2·82=3·166−2·248=3·414−5·248=8·414−5·662.
Portanto, mdc=2.
4. Coincidência de ciclos
Três sinais se repetem a cada 18, 24 e 30 minutos. Depois de quanto tempo voltarão a coincidir?
18=2·3², 24=2³·3 e 30=2·3·5.
MMC=2³·3²·5=360 minutos=6 horas.
5. Diofantina
Resolva 18x+30y=6 nos inteiros.
Como mdc(18,30)=6 divide 6, existem soluções. Dividindo por 6: 3x+5y=1.
Uma solução é x₀=2, y₀=−1.
Todas: x=2+5t e y=−1−3t, t∈ℤ.
Exercícios
1. Qual número é divisível por 9?
2. Qual número é primo?
3. Quanto vale mdc(252,198)?
4. Quanto vale mmc(18,24)?
5. Quantos divisores positivos possui 360?
6. O menor inteiro positivo divisível por 8 e por 12 e que deixa resto 5 na divisão por 7 é:
7. Qual equação não possui solução inteira?
8. O menor inteiro positivo com exatamente 15 divisores e que é quadrado perfeito é:
Gabarito comentado:
1-C: 2+3+4=9, portanto 234 é divisível por 9.
2-B: 97 não possui divisor primo até √97; 91=7·13, 111=3·37 e 121=11².
3-D: o algoritmo de Euclides fornece mdc(252,198)=18.
4-A: 18=2·3² e 24=2³·3; o MMC é 2³·3²=72.
5-C: 360=2³·3²·5 e τ=4·3·2=24.
6-B: múltiplos comuns são múltiplos de 24; 96 é o primeiro que satisfaz 96≡5 (mod 7).
7-D: mdc(18,30)=6 não divide 7; nas demais, o MDC divide o termo independente.
8-A: 144=2⁴·3² tem (4+1)(2+1)=15 divisores e é quadrado; as outras opções não satisfazem ambas as condições.
Resumo final
- Divisibilidade significa resto zero e pode ser tratada por critérios ou fatoração.
- A fatoração em primos é única e controla divisores, MDC e MMC.
- Euclides calcula MDC com eficiência; Bézout produz combinações lineares.
- Use MDC em partilhas máximas e MMC em coincidências mínimas.
- ax+by=c tem solução inteira exatamente quando mdc(a,b) divide c.