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Conjuntos numéricos

Classificação, reta real e intervalos

Conjuntos numéricos são base para equações, inequações, funções, domínio, radiciação, logaritmos e leitura de gráficos. Em prova, aparecem em classificação de números, operações com intervalos, reta real e comparação entre racionais e irracionais.

O que são conjuntos numéricos?

Conjuntos numéricos são grupos usados para organizar os números de acordo com suas características.

Alguns números servem para contar, como 1, 2 e 3. Outros incluem negativos, como -1 e -5. Também existem números que podem ser escritos como fração, números que não podem ser escritos como fração e o conjunto maior dos números reais.

Nesta aula, você vai aprender a reconhecer cada tipo de número e escolher o menor conjunto possível em questões de prova.

Números naturais — N

Os naturais são usados para contagem. Eles aparecem quando contamos objetos, pessoas, posições ou quantidades inteiras sem parte decimal.

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
  • Exemplos: 0, 1, 8, 25.
  • Alguns autores usam N = {1, 2, 3, ...}.
  • N* representa os naturais positivos: N* = {1, 2, 3, 4, ...}.

Observação de prova: confira se o enunciado considera o zero como natural. Essa convenção pode mudar a alternativa correta.

Números inteiros — Z

Os inteiros incluem números negativos, o zero e números positivos. Eles não têm parte decimal.

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Exemplos

-7, -1, 0, 5 e 12 são inteiros.

Contraexemplos

2,5 e 0,75 não são inteiros, pois têm parte decimal.

Todo natural é inteiro, mas nem todo inteiro é natural. Por exemplo, -6 é inteiro, mas não é natural.

Racionais — Q

Um número racional é todo número que pode ser escrito como fração entre dois inteiros, com denominador diferente de zero.

Q = {a/b | a, b ∈ Z e b ≠ 0}

O símbolo | pode ser lido como “tal que”. Então essa expressão significa: Q é o conjunto dos números que podem ser escritos como a/b, tal que a e b são inteiros e b não é zero.

NúmeroPor que é racional?
33 = 3/1. Todo inteiro é racional porque pode ser escrito sobre 1.
-5-5 = -5/1.
0,750,75 = 75/100 = 3/4. Decimal finito é racional.
0,333...É dízima periódica: 0,333... = 1/3.
1,222...É dízima periódica; pode ser escrita como fração.

Decimais racionais

Não basta olhar se o número tem vírgula. O tipo de decimal é o que decide.

  1. Decimal finito: termina. Exemplos: 0,5; 2,75; -3,2. É racional.
  2. Decimal infinito periódico: não termina, mas repete um padrão. Exemplos: 0,333...; 1,272727... É racional.
  3. Decimal infinito não periódico: não termina e não repete padrão. Exemplo: 1,4142135... Pode ser irracional.

Nem todo decimal infinito é irracional. Se tiver período, é racional.

Números irracionais — I

Irracionais não podem ser escritos como fração de inteiros. Sua forma decimal é infinita e não periódica.

Exemplos

√2, √3, √5, π e e.

Cuidado

Raiz exata não é irracional: √9 = 3 e √16 = 4.

√2 e √7 são irracionais porque não têm raiz exata e não podem ser escritos como fração de inteiros.

Números reais — R

Os reais são formados pelos racionais e pelos irracionais. Todo racional é real e todo irracional também é real.

R = Q ∪ I

Os reais juntam racionais e irracionais.

Q ∩ I = ∅

Nenhum número é racional e irracional ao mesmo tempo.

A reta real representa os números reais. Já √(-1) não pertence aos reais; isso aparece depois no estudo de números complexos.

Como os conjuntos se encaixam

Depois de conhecer cada conjunto separadamente, fica mais fácil entender a relação geral entre eles.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
  • Todo natural é inteiro.
  • Todo inteiro é racional.
  • Todo racional é real.
  • Os irracionais também são reais, mas não são racionais.
  • R = Q ∪ I.
  • Q ∩ I = ∅.

Tabela comparativa

NúmeroNZQIR
5simsimsimnãosim
-3nãosimsimnãosim
0sim*simsimnãosim
2/7nãonãosimnãosim
0,25nãonãosimnãosim
0,333...nãonãosimnãosim
√2nãonãonãosimsim
√9simsimsimnãosim
πnãonãonãosimsim
-√4nãosimsimnãosim

*Dependendo da convenção adotada para N.

Menor conjunto possível

Muitas questões pedem o menor conjunto ao qual um número pertence. Isso não significa listar todos os conjuntos possíveis; significa escolher o conjunto mais específico onde aquele número já cabe.

  1. 7 pertence a N, Z, Q e R; menor conjunto: N.
  2. -4 pertence a Z, Q e R; menor conjunto: Z.
  3. 3/5 pertence a Q e R; menor conjunto: Q.
  4. √2 pertence a I e R; menor conjunto: I.
  5. √25 = 5; menor conjunto: N.

Reta real

Na reta real, quanto mais à direita, maior o número; quanto mais à esquerda, menor. O zero separa negativos e positivos, mas frações, decimais e irracionais também ocupam posições na reta.

-3-2-101234 π
  • -3 < -1
  • 0 < 0,5
  • √2 fica entre 1 e 2.
  • π fica entre 3 e 4.

Intervalos reais

Intervalos representam pedaços da reta real. Parênteses não inclui a ponta; colchetes inclui. Infinito nunca usa colchete.

  • Parênteses significa que a ponta não entra.
  • Colchetes significa que a ponta entra.
  • Bolinha aberta na reta significa que o número não está incluído.
  • Bolinha fechada na reta significa que o número está incluído.
  • Infinito nunca recebe colchete, porque não é um número alcançável.
TipoNotaçãoSignificado
Aberto(a, b)a < x < b
Fechado[a, b]a ≤ x ≤ b
Aberto à esquerda(a, b]a < x ≤ b
Fechado à esquerda[a, b)a ≤ x < b
Infinito(-∞, a) ou [a, +∞)Infinito sempre com parênteses.

Representação e operações com intervalos

Transforme desigualdades em intervalos e depois compare as regiões comuns ou reunidas.

  1. x > 2 → (2, +∞), não [2, +∞)
  2. x ≥ 2 → [2, +∞), não (2, +∞)
  3. x < -1 → (-∞, -1), não (-∞, -1]
  4. x ≤ -1 → (-∞, -1], não (-∞, -1)
  5. -1 < x < 4 → (-1, 4)
  6. -1 ≤ x ≤ 4 → [-1, 4]
  7. Se A=[1,5] e B=[3,8], então A∩B=[3,5] e A∪B=[1,8].

Como cai em prova

Em concursos militares, vestibulares e ENEM, conjuntos numéricos costumam aparecer em seis formas principais:

  1. Menor conjunto possível: a questão pede o conjunto mais específico ao qual o número pertence.
  2. Racionais x irracionais: a prova mistura frações, decimais, raízes e constantes como π.
  3. Raízes exatas e não exatas: √9 é racional, mas √2 é irracional.
  4. Decimais: decimal finito e dízima periódica são racionais; decimal infinito não periódico é irracional.
  5. Intervalos reais: aparecem em inequações, domínio de funções e representação na reta.
  6. Domínio de expressões: em funções, raízes e denominadores impõem restrições aos valores de x.

A maior pegadinha é classificar o número antes de simplificar. Por exemplo, √49 parece raiz, mas vale 7.

Pegadinhas de prova

  • Achar que todo decimal infinito é irracional.
  • Esquecer que dízima periódica é racional.
  • Achar que toda raiz é irracional.
  • Esquecer que √9 = 3.
  • Confundir N, Z e Q.
  • Dizer que número negativo é natural.
  • Usar colchete com infinito.
  • Errar intervalo aberto e fechado.

Como resolver questões de classificação

  1. Simplifique o número primeiro.
  2. Verifique se há raiz exata.
  3. Veja se é inteiro.
  4. Veja se pode virar fração.
  5. Se for decimal infinito não periódico, é irracional.
  6. Escolha o menor conjunto possível.

Questões resolvidas

1. Menor conjunto

Qual é o menor conjunto de √25?

A) NB) ZC) QD) I

√25 = 5. Menor conjunto: N. Resposta: A.

2. Dízima periódica

0,777... pertence a qual conjunto menor?

A) NB) ZC) QD) I

Dízima periódica é racional. Resposta: C.

3. Raiz exata e não exata

Classifique √16 e √10.

A) ambos irracionaisB) ambos naturaisC) √16 racional e √10 irracionalD) ambos inteiros negativos

√16=4; √10 não é exata. Resposta: C.

4. Tabela de classificação

Qual alternativa contém apenas racionais?

A) 2, 0,25, -7B) √2, π, 1C) √3, 0,5, 8D) π, e, √5

2, 0,25 e -7 podem virar fração. Resposta: A.

5. Intervalo real

A desigualdade x ≥ -2 é representada por:

A) (-2,+∞)B) [-2,+∞)C) (-∞,-2]D) [-2,2]

Inclui -2 e vai para a direita. Resposta: B.

6. União e interseção

Se A=[1,6] e B=(4,9), então A∩B é:

A) [1,9)B) (4,6]C) [4,6]D) (1,9)

Parte comum: maior que 4 e até 6. Resposta: B.

Exercícios para treinar

Fácil

1. O menor conjunto de 12 é:

A) NB) ZC) QD) I
Fácil

2. -6 pertence ao menor conjunto:

A) NB) ZC) ID) nenhum
Fácil

3. 0,4 é:

A) irracionalB) racionalC) não realD) natural
Fácil

4. √49 pertence ao menor conjunto:

A) NB) IC) não realD) apenas R
Médio

5. Todo número inteiro é:

A) naturalB) irracionalC) racionalD) não real
Médio

6. O intervalo x < 3 é:

A) (-∞,3)B) (-∞,3]C) [3,+∞)D) (3,+∞)
Médio

7. Se A=[0,4] e B=[2,6], A∩B é:

A) [0,6]B) [2,4]C) (2,4)D) [0,2]
Médio

8. Qual é irracional?

A) 0,25B) -8C) √12D) 9/2
Difícil

9. A união de [1,3] e (3,7] é:

A) [1,7]B) [1,7)C) (1,7]D) [1,3]
Difícil

10. Qual alternativa é falsa?

A) Q∩I=∅B) R=Q∪IC) Todo racional é realD) Todo real é racional

Gabarito comentado:

1-A: 12 é natural, então N é o menor conjunto possível. 2-B: -6 é inteiro, mas não é natural. 3-B: 0,4 = 4/10 = 2/5, então é racional.

4-A: √49 = 7, então o menor conjunto é N. 5-C: todo inteiro pode ser escrito sobre 1, então é racional. 6-A: x < 3 representa todos os reais menores que 3, sem incluir o 3.

7-B: a parte comum entre [0,4] e [2,6] é [2,4]. 8-C: √12 não é raiz exata e é irracional. 9-A: embora (3,7] não inclua o 3, o intervalo [1,3] inclui o 3; por isso a união é [1,7]. 10-D: nem todo real é racional, pois existem irracionais como √2 e π.

Resumo final

  • Naturais são usados para contagem.
  • Inteiros incluem negativos, zero e positivos.
  • Racionais podem ser escritos como fração de inteiros.
  • Irracionais não podem ser escritos como fração de inteiros.
  • Reais são formados por racionais e irracionais.
  • N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
  • R = Q ∪ I.
  • Q ∩ I = ∅.
  • Decimal finito é racional.
  • Dízima periódica é racional.
  • Decimal infinito não periódico é irracional.
  • Raiz quadrada de número inteiro que não é quadrado perfeito é irracional.
  • √9 = 3 e √16 = 4 são racionais; √2, √3, √5 e √7 são irracionais.
  • Parênteses exclui; colchetes inclui.
  • Infinito sempre usa parênteses.