Percentis, quartis e posição relativa
O percentil Pk é um valor de referência associado à proporção k/100 da distribuição ordenada. Em linguagem informal, aproximadamente k% dos dados ficam em ou abaixo de Pk, mas empates podem fazer a proporção observada ser maior.
Os quartis são percentis especiais:
Não interprete P₈₀ como 80% do valor máximo. Ele descreve posição no conjunto, não uma porcentagem aplicada à escala dos valores. Decis, quintis e outros quantis seguem a mesma ideia de ordenação.
Convenção de posição e interpolação adotada
Existem várias convenções legítimas para quantis em amostras finitas. Nesta página, para dados brutos ordenados x(1)≤⋯≤x(n), adotamos a interpolação linear conhecida como tipo 7:
Se p é inteiro j, então Pk=x(j). Se p=j+d, com j inteiro e 0<d<1, então
Essa regra dá P₀=x(1) e P₁₀₀=x(n). Um edital, software ou enunciado pode usar “mediana das metades” ou outra posição; nesse caso, siga a convenção indicada. Não misture métodos dentro do mesmo problema.
Percentis em dados agrupados
Se só conhecemos classes e frequências, localizamos a classe cuja acumulada alcança kN/100. Sob a hipótese de distribuição uniforme dentro dessa classe, estimamos:
L é o limite inferior, h a amplitude, Fant a frequência acumulada anterior e fclasse a frequência da classe do percentil. O resultado é aproximado porque o agrupamento não informa as posições internas reais.
Se kN/100 coincide com uma fronteira acumulada, a estimativa pode cair no limite entre classes. Mantenha a convenção dos intervalos e não invente precisão maior que a disponível.
Amplitude interquartil
Nesta página usamos consistentemente a sigla AIQ para amplitude interquartil:
A AIQ mede a largura dos 50% centrais e é resistente a extremos. Ela é não negativa e vale zero quando Q₁=Q₃, situação possível em dados com muitas repetições.
Comparar AIQs só é direto quando as escalas são compatíveis. Somar b a todos os dados não altera a AIQ; multiplicar por a multiplica a AIQ por |a|, pois amplitudes não têm sinal.
Boxplot e critério de Tukey
O boxplot representa Q₁, mediana e Q₃ por uma caixa. No modelo de Tukey, calculam-se as cercas:
cerca superior=Q₃+1,5·AIQ
Valores além das cercas são candidatos a atípicos, não erros automáticos. Os bigodes vão até o menor e o maior valor observados que ainda estejam dentro das cercas; eles não precisam terminar nas próprias cercas. Pontos externos são desenhados individualmente.
Pegadinhas e condições
- Ordene os dados e declare a convenção de quantil.
- Não misture interpolação tipo 7 com “mediana das metades” no mesmo cálculo.
- AIQ=Q₃−Q₁; use a mesma sigla e definição em todo o problema.
- As cercas de Tukey não são os bigodes; os bigodes terminam em valores observados admissíveis.
- Um ponto além da cerca merece investigação, mas não deve ser apagado automaticamente.
Questões resolvidas
1. Quartis pela convenção adotada
Para 2, 4, 6, 8 e 10, calcule Q₁, Q₂, Q₃ e AIQ.
n=5. As posições são 1+4·0,25=2; 1+4·0,50=3; 1+4·0,75=4.
Logo Q₁=4, Q₂=6 e Q₃=8.
Resposta: AIQ=8−4=4.
2. Percentil interpolado
Calcule P₃₀ de 10, 20, 30, 40, 50 e 60.
p=1+(6−1)·0,30=2,5.
Interpola-se entre x(2)=20 e x(3)=30.
Resposta: P₃₀=20+0,5(30−20)=25.
3. Cercas de Tukey
Uma distribuição tem Q₁=10 e Q₃=18. Calcule as cercas e avalie o valor 35.
AIQ=18−10=8.
Cerca inferior=10−1,5·8=−2; superior=18+12=30.
Resposta: 35 está acima de 30 e é candidato a valor atípico.
4. Bigodes e ponto atípico
Use a convenção adotada nos dados 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 20.
Q₁: posição 2,75, então Q₁=2,75. Q₃: posição 6,25, então Q₃=6,25.
AIQ=3,5; cercas −2,5 e 11,5.
Resposta: 20 é candidato a atípico; os bigodes terminam em 1 e 7.
5. Percentil agrupado
Classes [0,10), [10,20), [20,30) têm frequências 5, 15 e 10. Estime P₆₀.
N=30 e a posição agrupada é 0,60·30=18.
A posição está na segunda classe: L=10, h=10, Fant=5 e f=15.
P₆₀≈10+10(18−5)/15.
Resposta: P₆₀≈18,67.
Exercícios
1. O segundo quartil Q₂ corresponde à:
2. Se Q₁=12 e Q₃=28, a AIQ é:
3. Pela convenção tipo 7, Q₁ de 2, 4, 8, 10 e 12 é:
4. Pela convenção adotada, P₄₀ de 0, 10, 20, 30, 40 e 50 é:
5. Se Q₁=10 e Q₃=18, a cerca superior de Tukey é:
6. Pela convenção tipo 7, P₆₀ de 1, 2, 4, 8 e 16 é:
7. No boxplot de Tukey de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 20, usando a convenção adotada:
8. Classes [0,10), [10,20) e [20,30) têm frequências 4, 8 e 8. Pela interpolação agrupada, P₇₅ é:
Gabarito comentado:
1-B. Q₂=P₅₀ é a mediana.
2-C. AIQ=Q₃−Q₁=28−12=16.
3-A. p=1+4·0,25=2, então Q₁=x(2)=4.
4-D. p=1+5·0,40=3, logo P₄₀=x(3)=20.
5-B. AIQ=8 e cerca superior=18+1,5·8=30.
6-C. p=1+4·0,60=3,4; P₆₀=4+0,4(8−4)=5,6.
7-D. Q₁=2,75, Q₃=6,25 e a cerca superior é 11,5; o maior observado admissível é 7, enquanto 20 fica fora.
8-A. N=20, alvo=15; P₇₅≈20+10(15−12)/8=23,75.
Resumo final
- Nesta página, Pk usa p=1+(n−1)k/100 e interpolação linear.
- Q₁=P₂₅, Q₂=P₅₀ e Q₃=P₇₅.
- AIQ=Q₃−Q₁ mede a amplitude dos 50% centrais.
- Cercas de Tukey são Q₁−1,5AIQ e Q₃+1,5AIQ.
- Bigodes terminam em observações dentro das cercas; pontos externos são candidatos a atípicos.