Conceito de média aritmética
A média aritmética distribui igualmente a soma total entre as observações. Ela representa um centro algébrico, mas pode não coincidir com nenhum valor observado: a média de 6 e 9 é 7,5.
Seu significado depende do contexto. Em notas, medições e preços, pode resumir o nível geral; em dados muito assimétricos, pode ser pouco representativa.
Fórmula e condições
Os dados devem representar uma variável quantitativa e estar em unidades comparáveis. Códigos numéricos de categorias, como 1 para azul e 2 para verde, não se tornam mensuráveis apenas porque usam números.
Para uma lista não vazia, a média sempre fica entre os extremos. Resultado fora desse intervalo indica erro de cálculo, denominador ou interpretação.
Média como ponto de equilíbrio
Os desvios negativos e positivos em relação à média se compensam. Nos dados 2, 4 e 9, x̄=5; os desvios −3, −1 e +4 somam zero.
Soma total e valor desconhecido
Recupere primeiro a soma para tratar valor desconhecido, entrada, saída, correção de registro ou média desejada. Se 8 valores têm média 12, sua soma é 96. Retirar um valor 10 deixa soma 86 e quantidade 7.
Na correção de um registro, subtraia o valor errado e acrescente o correto sem alterar n. Na entrada ou saída, atualize também a quantidade.
Propriedades das transformações
média(ax)=a·x̄
média(ax+b)=a·x̄+b
Somar b desloca todos os dados e a média por b. Multiplicar por a também multiplica a média, inclusive quando a<0. Se x̄=6 e y=−2x+5, então ȳ=−12+5=−7.
Essas propriedades valem porque soma e divisão são operações lineares; não valem do mesmo modo para transformações como x² ou 1/x.
Média conjunta de grupos
Para vários grupos, some todos os produtos njx̄j e divida pela soma dos tamanhos. A expressão (x̄1+x̄2)/2 só funciona quando os grupos têm o mesmo tamanho.
Média em tabelas de frequências
A frequência fi representa quantas vezes o valor xi se repete.
| Nota xi | Frequência fi | Produto fixi |
|---|---|---|
| 4 | 2 | 8 |
| 6 | 3 | 18 |
| 8 | 5 | 40 |
| Total | 10 | 66 |
Logo, x̄=66/10=6,6.
Sensibilidade a valores extremos
Nos dados 10, 11, 12, 13, a média é 11,5. Ao acrescentar 100, ela sobe para 29,2. Um único extremo alterou fortemente o resumo.
A mediana é menos sensível a outliers. Em distribuições de renda, preços ou tempos com forte assimetria, comparar média e mediana ajuda a entender o centro sem repetir toda a teoria da mediana.
Quando a média é adequada
A média é especialmente informativa para dados quantitativos com distribuição aproximadamente simétrica e sem extremos dominantes, ou quando o total repartido igualmente tem sentido.
Não calcule média de categorias nominais codificadas, misture unidades diferentes nem use média de taxas sem considerar seus denominadores. Sempre informe população, período e unidade.
Pegadinhas
- Dividir pela quantidade errada após entrada ou saída.
- Fazer média simples das médias de grupos com tamanhos diferentes.
- Esquecer de corrigir a soma ao substituir registros.
- Confundir média de percentuais com percentual do total.
- Aceitar média fora do intervalo entre mínimo e máximo.
- Supor que a média precisa ser um valor observado.
Questões resolvidas
1. Equilíbrio
Calcule a média de 2, 4 e 9 e confira a soma dos desvios.
x̄=15/3=5. Desvios: −3, −1 e 4.
Resposta: média 5 e soma dos desvios 0.
2. Dado retirado
Seis valores têm média 14. Retira-se o valor 9. Qual a nova média?
Soma inicial 84; nova soma 75 e n=5.
Resposta: 75/5=15.
3. Transformação negativa
Um conjunto tem média 7 e y=−3x+4.
ȳ=−3·7+4.
Resposta: −17.
4. Turmas diferentes
Uma turma de 25 alunos tem média 6,4 e outra de 15 tem média 8,0.
Somam-se 25·6,4=160 e 15·8=120; total 280 em 40 alunos.
Resposta: média conjunta 7,0.
5. Frequência e outlier
Valores 5, 7 e 20 têm frequências 3, 4 e 1.
Soma ponderada 15+28+20=63; N=8.
Resposta: x̄=7,875; o valor 20 eleva a média.
Exercícios e resumo
1. A média de 5, 7 e 12 é:
2. Para quaisquer dados quantitativos, a soma dos desvios em relação à média é:
3. Cinco valores têm média 12; quatro deles são 8, 10, 14 e 16. O quinto é:
4. Todos os dados estão entre 12 e 20. Qual média é impossível?
5. Os valores 2, 5 e 8 têm frequências 1, 2 e 1. A média é:
6. Grupos de 24 e 16 pessoas têm médias 7,5 e 9,5. A média conjunta é:
7. Dez atletas têm média 72 kg. Um de 68 kg sai e entram dois de 75 kg e 77 kg. A nova média é, aproximadamente:
8. A média registrada de 30 valores é 40. Um 12 foi anotado como 21, um 50 como 35 e um 44 como 40. A média correta é:
Gabarito comentado:
1-B: (5+7+12)/3=24/3=8.
2-C: os desvios negativos e positivos em relação a x̄ se equilibram.
3-A: a soma deve ser 5·12=60; os conhecidos somam 48, logo falta 12.
4-D: a média de lista não vazia fica entre mínimo e máximo.
5-B: (1·2+2·5+1·8)/4=20/4=5.
6-C: (24·7,5+16·9,5)/40=332/40=8,3.
7-B: a nova soma é 720−68+75+77=804 para 11 atletas; 804/11≈73,1.
8-D: soma registrada 1 200; corrigida: 1 200−9+15+4=1 210; 1 210/30≈40,33.
Resumo final
- x̄=Σxi/n e Σxi=n·x̄.
- A média é ponto de equilíbrio e fica entre os extremos.
- Transformações lineares transformam a média da mesma forma.
- Médias conjuntas devem ponderar os tamanhos dos grupos.
- Outliers podem deslocar fortemente a média.