Conceito central e forma por contagem
Ao saber que B ocorreu, o novo universo passa a ser o próprio evento B. O evento A é o interesse; B é a informação conhecida; A∩B reúne resultados que satisfazem ambos.
condição: P(B)>0
P(B) mede o novo universo. Em espaço finito equiprovável:
A contagem é feita dentro de B. Em geral, P(A|B)≠P(B|A). Exemplo: num baralho, P(rei|figura)=4/12=1/3, enquanto P(figura|rei)=4/4=1.
Regra do produto
Multiplicando a definição por P(B), obtemos:
=P(A)P(B|A)
Em eventos sucessivos, multiplica-se a probabilidade do primeiro pela probabilidade condicional do seguinte. Para três eventos, quando os condicionantes têm probabilidade positiva:
P(A)P(B|A)P(C|A∩B)
Árvores, com e sem reposição
- Cada ramo representa um resultado.
- Probabilidades no mesmo caminho são multiplicadas.
- Caminhos incompatíveis que chegam ao mesmo evento são somados.
- Os ramos que saem do mesmo nó devem somar 1.
Com reposição: a composição é restaurada e as probabilidades podem permanecer iguais; confirme que as demais condições também não mudam. Sem reposição: a composição muda e a próxima probabilidade deve ser atualizada.
Em uma urna com 2 vermelhas e 3 azuis, sem reposição, P(uma de cada)=P(VA)+P(AV)=(2/5)(3/4)+(3/5)(2/4)=3/5.
Independência e tabelas de contingência
Se P(B)>0, A e B são independentes quando conhecer B não altera A:
equivalentemente,
P(A∩B)=P(A)P(B)
Não presuma independência apenas por conveniência.
Tabela de frequências
Entre 100 estudantes, 80 foram aprovados; 50 estudaram e 40 estudaram e foram aprovados. Então P(estudou|aprovado)=40/80=1/2. O denominador é o total da coluna ou grupo condicionante, não o total geral.
Probabilidade total e Teorema de Bayes
Se B e Bᶜ são mutuamente exclusivos, cobrem todo o espaço e os condicionantes usados têm probabilidade positiva:
P(Bᶜ)P(A|Bᶜ)
Para uma partição Bᵢ, mutuamente exclusiva e exaustiva, P(A)=ΣP(Bᵢ)P(A|Bᵢ).
Bayes
condição: P(A)>0
Com B e Bᶜ, o denominador pode ser calculado pela probabilidade total. Bayes inverte a condição sem esquecer as probabilidades iniciais.
Testes e falso positivo
- sensibilidade: P(positivo|doente);
- falso positivo: P(positivo|não doente);
- probabilidade após positivo: P(doente|positivo), calculada por Bayes.
Essas três probabilidades não são intercambiáveis.
Questão dos dois filhos
Distinguindo mais velho e mais novo, suponha os pares ordenados MM, MF, FM e FF equiprováveis e a informação exata “pelo menos um é menino”, obtida sem viés adicional. O universo condicionado é {MM,MF,FM}; somente MM tem dois meninos. A probabilidade é 1/3. Outro mecanismo de informação pode mudar o modelo e a resposta.
Método e pegadinhas
- Identifique o evento depois da barra e confirme probabilidade positiva.
- Restrinja o universo ao condicionante e calcule A∩B.
- Atualize a composição sem reposição.
- Use árvore em vários ramos, total para reunir causas e Bayes para inverter a condição.
- Não troque P(A|B) por P(B|A) nem divida por P(A) na definição de P(A|B).
- Não presuma independência.
- Multiplique ao longo de um ramo e some ramos alternativos.
- Ramos de um mesmo nó devem somar 1.
- Não confunda falso positivo com chance de doença após positivo.
- Probabilidade total exige uma partição; Bayes exige as probabilidades iniciais.
Questões resolvidas
1. Dado condicionado
Dado par; probabilidade de ser maior que 3.
B={2,4,6}; A∩B={4,6}.
2/3.
2. Fórmula direta
P(A∩B)=0,18 e P(B)=0,30.
P(A|B)=0,18/0,30.
0,60.
3. Sem reposição
4 brancas e 3 pretas; P(segunda branca|primeira preta).
Restam 4 brancas em 6 bolas.
4/6=2/3.
4. Produto
Duas cartas são ases, sem reposição.
(4/52)(3/51).
1/221.
5. Árvore
2V e 3A; uma de cada, sem reposição.
VA e AV são ramos incompatíveis.
(2/5)(3/4)+(3/5)(2/4)=3/5.
6. Tabela
80 aprovados; 40 estudaram e foram aprovados.
Condicione aos 80 aprovados.
40/80=1/2.
7. Independência
P(A)=0,4, P(B)=0,5 e P(A∩B)=0,2.
0,4·0,5=0,2.
A e B são independentes.
8. Probabilidade total
M₁ produz 60% com 2% defeitos; M₂, 40% com 5%.
P(D)=0,6·0,02+0,4·0,05.
0,032.
9. Bayes com urnas
U₁ é escolhida com 0,4 e dá vermelho com 0,75; U₂ com 0,6 e dá vermelho com 0,25.
P(U₁|V)=0,4·0,75/(0,30+0,15).
2/3.
10. Teste
Prevalência 1%, sensibilidade 90%, falso positivo 5%.
P(D|+)=0,01·0,90/[0,009+0,99·0,05].
0,009/0,0585=2/13≈15,4%.
Exercícios
1. Para P(B)>0, P(A|B) é:
2. Dado que um dado mostrou número par, a chance de ser maior que 3 é:
3. P(A∩B)=0,12 e P(B)=0,30. P(A|B)=
4. Sabendo que uma carta é figura, a chance de ser rei é:
5. Urna com 3 vermelhas e 2 azuis: duas vermelhas sem reposição.
6. P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,2. Os eventos são:
7. M₁: 70% e 2% de defeitos; M₂: 30% e 6%. P(defeito)=
8. Dois filhos distinguíveis; pares equiprováveis; pelo menos um menino. Chance de dois meninos:
9. No exemplo das urnas da resolvida 9, dado vermelho, P(U₁|V)=
10. Prevalência 1%, sensibilidade 90% e falso positivo 5%. P(doente|positivo)=
Gabarito comentado:
1-A: o denominador é o condicionante B.
2-C: em {2,4,6}, dois resultados são maiores que 3.
3-B: 0,12/0,30=0,40.
4-D: 4 reis entre 12 figuras.
5-A: (3/5)(2/4)=3/10.
6-C: 0,4·0,5=0,2.
7-B: 0,7·0,02+0,3·0,06=0,032.
8-D: universo condicionado {MM,MF,FM}.
9-C: 0,30/(0,30+0,15)=2/3.
10-B: 0,009/(0,009+0,0495)=2/13.
Resumo final
- P(A|B)=P(A∩B)/P(B), com P(B)>0.
- P(A∩B)=P(B)P(A|B).
- Sem reposição, atualize a composição.
- Na árvore, multiplique no ramo e some ramos alternativos.
- Probabilidade total reúne causas; Bayes inverte a condição.
- Falso positivo não é P(doente|positivo).