Permutação simples
Todos os n elementos distintos são utilizados e a ordem altera o resultado; n é inteiro não negativo.
0!=1 e P₀=1
Pelo PFC, há n opções para a primeira posição, n−1 para a segunda e assim até uma. A ordenação vazia é única e mantém coerentes as fórmulas combinatórias.
Qual método usar?
| Situação | Método |
|---|---|
| Todos distintos, ordenar | Permutação simples |
| Escolher parte e ordenar | Arranjo |
| Escolher parte sem ordenar | Combinação |
| Todos, com repetições | Permutação com repetição |
| Círculo com rotações equivalentes | Permutação circular |
A palavra “ordenar” não basta: confirme que todos são usados e distintos.
Elementos juntos e separados
Dois elementos específicos juntos entre n distintos formam um bloco: (n−1)!·2!. Um grupo de r específicos, livre internamente, produz (n−r+1)!·r!. Isso supõe que todos do grupo fiquem consecutivos.
O complementar vale quando “juntos” e “não juntos” dividem todas as permutações. Com dois blocos, conte cada ordem interna e verifique se há sobreposição.
Posições fixas e extremidades
Elementos fixados são retirados da permutação dos restantes. Uma pessoa em posição determinada deixa (n−1)! ordens; duas em posições determinadas deixam (n−2)!.
Duas pessoas nas extremidades: escolha suas ordens nas pontas e permute o meio. Pessoa proibida nas pontas: escolha primeiro uma posição interna ou use total menos os casos nas extremidades.
Ordem relativa
A antes de B antes de C: n!/3!
Isso funciona porque todas as ordens relativas são igualmente possíveis. “A antes de B” não exige posições consecutivas; “imediatamente antes” cria um bloco de ordem interna fixa.
Alternância
Com dois grupos de mesmo tamanho m, há duas escolhas de grupo inicial e m! ordens em cada grupo: 2(m!)². Se os tamanhos diferem em uma unidade, o grupo maior ocupa as duas extremidades; ordene cada grupo nos lugares reservados.
O mesmo raciocínio vale para pares e ímpares ou outras categorias distintas.
Anagramas e disposição circular
n! vale diretamente apenas se todas as letras forem distintas. Com repetição, use a fórmula da página seguinte. Começo com vogal ou fim com consoante: escolha a posição restrita e permute o restante. Letras juntas usam bloco; letras separadas usam complementar; ordem relativa usa simetria.
Em fila, rotações diferentes contam. Em mesa redonda, rotações equivalentes podem ser a mesma disposição, portanto não se usa simplesmente n!.
Roteiro de resolução
- Confirme que todos são usados.
- Confirme que são distintos.
- Identifique posições fixas.
- Crie blocos necessários.
- Conte ordens internas.
- Analise extremidades.
- Considere complementar.
- Verifique alternância.
- Verifique ordem relativa.
- Evite contagem dupla.
Pegadinhas
- Usar n! com repetidos ou quando só parte é escolhida.
- Esquecer ordens internas de bloco.
- Tratar bloco como ordem interna fixa sem o enunciado dizer isso.
- Confundir “antes” com “imediatamente antes”.
- Usar complementar sem definir o total.
- Esquecer as duas formas de iniciar alternância equilibrada.
- Usar permutação linear em círculo.
- Contar duas vezes disposições com dois blocos.
- Permutar novamente elementos já fixados.
Questões resolvidas
1. Direta
6 livros distintos em uma prateleira.
6!=720.
2. Posição fixa
7 pessoas, Ana na primeira posição.
Permutam-se as outras seis: 6!=720.
3. Duas juntas
6 pessoas, A e B juntas.
Bloco mais quatro pessoas: 5!·2=240.
4. Não juntas
As mesmas seis, com A e B separadas.
6!−5!·2=720−240=480.
5. Ordem relativa
7 pessoas, A antes de B.
Metade das filas: 7!/2=2 520.
6. Extremidades
6 pessoas, A e B ocupam as pontas.
2 ordens nas pontas e 4! no meio: 2·4!=48.
7. Alternância
4 homens e 4 mulheres alternados.
Duas escolhas de grupo inicial: 2·4!·4!=1 152.
8. Dois blocos
Entre 8 pessoas, A-B e C-D devem formar pares consecutivos.
Os dois blocos e quatro pessoas formam 6 objetos; ordens internas 2·2.
Resposta: 6!·4=2 880.
Exercícios
1. Cinco livros distintos em fila:
2. Sete pessoas em fila, Ana fixada na primeira posição:
3. Seis pessoas em fila, A e B nas extremidades:
4. Permutações de 1,2,3,4,5 com 1 e 2 juntos:
5. Filas de 6 pessoas em que A e B não ficam juntas:
6. Filas de 7 pessoas em que A aparece antes de B:
7. Filas alternadas de 4 homens e 4 mulheres:
8. Anagramas de SOLAR que terminam com R:
9. Sete pessoas em fila: A e B juntas e C proibida nas extremidades:
10. Entre 8 pessoas, A-B e C-D devem formar blocos, mas os dois blocos não podem ficar consecutivos:
Gabarito comentado:
1-D: 5!=120.
2-A: Ana fixa; 6!=720.
3-B: 2 ordens nas pontas e 4! no meio: 48.
4-C: bloco com 2 ordens internas: 4!·2=48.
5-D: 6!−5!·2=480.
6-B: 7!/2=2 520.
7-A: 2·4!·4!=1 152.
8-C: R fixado no fim; 4!=24.
9-D: bloco AB gera 6 objetos e 2 ordens internas. Total 6!·2; com C numa extremidade: 2·5!·2. Diferença: 960.
10-B: com dois blocos, total 6!·4=2 880. Blocos juntos: 5!·2·4=960. Diferença: 1 920.
Resumo final
- Permutação simples usa todos os elementos distintos: Pₙ=n!.
- Posições fixas saem da permutação restante.
- Blocos exigem ordens externas e internas.
- Complementar, alternância e ordem relativa resolvem restrições clássicas.