Princípio multiplicativo
Se um procedimento ocorre em etapas sucessivas e, para cada possibilidade anterior, conhecemos as opções da etapa seguinte, o total de resultados completos é obtido multiplicando as quantidades ao longo de cada caso.
A aplicação direta exige que cada nᵢ represente corretamente as escolhas disponíveis naquele ponto do procedimento.
As escolhas podem depender das anteriores
O PFC não exige independência probabilística. Em um código sem repetição, há n opções na primeira posição, n−1 na segunda e n−2 na terceira: n(n−1)(n−2). A segunda escolha depende da primeira, mas as etapas continuam sucessivas.
Se o número de opções muda conforme o ramo, separe casos, multiplique dentro de cada caso e some os totais incompatíveis.
Princípio aditivo
Somamos quando um resultado é obtido por casos alternativos mutuamente exclusivos. Multiplicamos etapas sucessivas. Se os casos se sobrepõem, a soma direta conta a interseção mais de uma vez e precisa ser corrigida.
Aplicações
Roupas, cardápios, rotas, códigos, placas, respostas de provas e números são formados por etapas. Funções de um conjunto com m elementos para outro com n elementos: cada elemento do domínio escolhe uma de n imagens, produzindo nᵐ funções.
Restrições de paridade ou divisibilidade costumam ser tratadas pela última posição; “pelo menos um símbolo” frequentemente é mais curto pelo complementar.
Senha, código e número
- Senha ou código pode começar com zero.
- Número não pode começar com zero.
- Com repetição, a quantidade pode permanecer constante.
- Sem repetição, retire o símbolo usado das opções seguintes.
- Em números pares ou divisíveis por 5, tratar o final primeiro pode simplificar.
Diagrama de árvore
Cada nível representa uma etapa e cada ramo uma escolha. Um caminho completo representa um resultado; multiplicam-se as quantidades ao longo do caminho. Ramos finais incompatíveis são somados.
Entrada: A ou B → depois 1, 2 ou 3. Há 2·3=6 folhas.
Contagem pelo complementar
É útil para “pelo menos um”, símbolo obrigatório e proibição de repetição ou consecutividade, desde que desejado e indesejado dividam o total sem sobreposição.
Roteiro de resolução
- Defina um resultado final.
- Divida-o em etapas.
- Conte a primeira etapa.
- Atualize opções após restrições.
- Verifique repetição.
- Trate primeira e última posições.
- Separe casos quando as opções mudarem.
- Multiplique dentro de cada caso.
- Some casos incompatíveis.
- Controle sobreposições.
- Confira omissões e contagens duplicadas.
Pegadinhas
- Somar etapas sucessivas ou multiplicar casos alternativos.
- Manter a mesma quantidade após uma escolha sem repetição.
- Permitir zero inicial em número ou proibi-lo em senha.
- Não atualizar opções após fixar um elemento.
- Somar casos sobrepostos ou contar resultado duas vezes.
- Esquecer restrição na última posição.
- Confundir princípio multiplicativo com independência probabilística.
- Aplicar arranjo ou permutação antes de identificar as etapas.
Questões resolvidas
1. Vestuário
3 camisas, 2 calças e 2 pares de tênis.
Uma escolha de cada tipo: 3·2·2=12.
2. Código com repetição
Quatro algarismos, inclusive zero.
Cada posição tem 10 opções: 10⁴=10 000.
3. Código sem repetição
Três posições com os símbolos 0,1,2,3,4.
Como é código, zero pode iniciar: 5·4·3=60.
4. Número com zero
Três algarismos distintos usando 0,1,2,3,4,5.
Primeiro: 5 opções não nulas; depois 5 e 4.
Resposta: 5·5·4=100.
5. Número par
Quatro algarismos distintos com 0,1,2,3,4,5.
Final 0: 5·4·3=60. Final 2 ou 4: 2·4·4·3=96.
Resposta: 156.
6. Rotas coerentes
Há 4 caminhos de A a B e 3 de B a C. Além disso, 2 caminhos diretos ligam A a C sem passar por B.
Via B: 4·3=12. As rotas diretas são alternativas.
Resposta: 12+2=14.
7. Pelo menos um símbolo
Senhas de 4 algarismos com repetição contendo pelo menos um 5.
Total 10⁴; sem 5: 9⁴.
Resposta: 10 000−6 561=3 439.
8. Divisibilidade por 5
Números de três algarismos distintos com 0 a 6, divisíveis por 5.
Final 0: 6·5=30. Final 5: 5·5=25.
Resposta: 55.
Exercícios
1. Há 3 pães, 4 recheios e 2 bebidas. Pedidos com um de cada:
2. Cinco rotas de ônibus ou três de trem ligam duas cidades. Total:
3. Códigos de 3 algarismos distintos com 0,1,2,3,4,5:
4. Números de três algarismos distintos com 0,1,2,3,4,5:
5. Respostas possíveis em prova de 8 questões, cada uma com 4 alternativas:
6. Há 4 caminhos de A a B, 3 de B a C e 2 diretos de A a C. Quantas rotas A–C?
7. Senhas de 4 algarismos, com repetição, contendo pelo menos um 5:
8. Funções de um conjunto com 3 elementos para outro com 4:
9. Números pares de quatro algarismos distintos com 0,1,2,3,4,5:
10. Senha de 4 caracteres escolhidos sem repetição entre 4 letras e 4 algarismos, começando por letra e contendo ao menos um algarismo:
Gabarito comentado:
1-C: 3·4·2=24.
2-A: são alternativas incompatíveis: 5+3=8.
3-D: código aceita zero inicial: 6·5·4=120.
4-B: 5·5·4=100.
5-C: 4⁸=65 536.
6-B: 4·3+2=14; não há passagem obrigatória por B.
7-A: 10⁴−9⁴=3 439.
8-D: cada um dos 3 elementos escolhe uma de 4 imagens: 4³=64.
9-C: final 0 produz 60; final 2 ou 4 produz 96; total 156.
10-B: escolha a letra inicial de 4 modos. Para as outras posições, P₇,₃=210, menos as 3!=6 ordens só com as letras restantes: 4(210−6)=816.
Resumo final
- Etapas sucessivas são multiplicadas; casos alternativos incompatíveis são somados.
- As escolhas podem depender das anteriores.
- Senha aceita zero inicial; número não.
- Quando mais curto, conte o total e retire o indesejado.