Combinação simples
Entre n elementos distintos, escolhem-se p sem repetição e sem considerar a ordem. n,p são inteiros não negativos e 0≤p≤n.
Cₙ,ₚ e o coeficiente binomial “n escolhe p” são notações equivalentes.
Derivação e relação com arranjos
No arranjo, cada grupo aparece p! vezes, uma para cada ordem. Dividir por p! deixa cada grupo contado uma vez.
Casos particulares e simetria
Cₙ,ₚ=Cₙ,ₙ₋ₚ
Escolher ninguém ou todos tem uma possibilidade; escolher um ou excluir um tem n. Escolher p para entrar equivale a escolher n−p para ficar de fora.
Relação de Pascal
Cₙ,ₚ=(n/p)Cₙ₋₁,ₚ₋₁
Fixe um elemento: grupos sem ele são Cₙ₋₁,ₚ; grupos com ele exigem escolher p−1 dos restantes. Os casos são incompatíveis e por isso se somam.
Método e restrições
- Identifique o total n.
- Identifique quantos serão escolhidos.
- Confirme que a ordem não altera o grupo.
- Confirme que não há repetição.
- Traduza exatamente, pelo menos e no máximo.
- Fixe obrigatórios e retire proibidos.
- Multiplique escolhas independentes dentro de cada caso.
- Some casos incompatíveis.
- Verifique se há sobreposição.
- Use o complementar quando contar o que não serve for mais curto.
Duas pessoas juntas: fixe ambas e escolha as restantes. Duas que não podem ficar juntas: subtraia os grupos que contêm ambas. Para “pelo menos uma” de uma categoria, o complementar costuma ser total menos nenhuma.
Comissões e grupos
Composição exata multiplica escolhas por categorias: escolher 2 de 5 mulheres e 2 de 6 homens dá C₅,₂·C₆,₂.
“Pelo menos” costuma exigir soma de composições ou complementar. Duas pessoas incompatíveis: conte todas as comissões e subtraia as que contêm ambas.
Subconjuntos, diagonais e pares
- Subconjuntos com p elementos: Cₙ,ₚ; total de subconjuntos: ΣCₙ,ₚ=2ⁿ.
- Diagonais de n-gono: Cₙ,₂−n=n(n−3)/2.
- Segmentos por n pontos: Cₙ,₂.
- Retas por n pontos: Cₙ,₂ somente se não houver três colineares.
- Apertos de mão ou partidas: cada par é contado uma vez.
Combinação simples não permite repetição; com repetição, esta fórmula não se aplica.
Pegadinhas
- Contar a mesma comissão em ordens diferentes.
- Usar combinação quando há cargos ou ignorar que a repetição foi permitida.
- Confundir “pelo menos”, “no máximo” e “exatamente”, esquecendo casos extremos.
- Esquecer elementos obrigatórios ou contar casos sobrepostos.
- Contar lados como diagonais ou usar Cₙ,₂ para retas sem verificar colinearidade.
- Multiplicar casos incompatíveis em vez de somá-los.
Questões resolvidas
1. Comissão simples
Escolher 3 entre 10.
C₁₀,₃=120.
2. Composição exata
2 mulheres entre 5 e 2 homens entre 6.
C₅,₂·C₆,₂=10·15=150.
3. Pelo menos duas
Grupo de 4 entre 4 mulheres e 6 homens.
2M:6·15=90; 3M:4·6=24; 4M:1. Total 115.
4. Pessoa obrigatória
Comissão de 4 entre 9, contendo Ana.
Fixe Ana e escolha 3 dos outros 8: C₈,₃=56.
5. Pessoas incompatíveis
Comissão de 3 entre 8; Ana e Beto não podem ficar juntos.
C₈,₃−C₆,₁=56−6=50.
6. Diagonais
Quantas diagonais tem um dodecágono?
C₁₂,₂−12=66−12=54.
7. Pelo complementar
Comissão de 4 entre 9 pessoas, contendo pelo menos uma entre Ana e Beto.
Total menos comissões sem ambos: C₉,₄−C₇,₄=126−35=91.
Exercícios
1. C₈,₂ vale:
2. Pela simetria, C₁₀,₇ é:
3. Comissões de 3 pessoas escolhidas entre 9:
4. Diagonais de um dodecágono:
5. Subconjuntos de 4 elementos de um conjunto com 7:
6. Comissões de 4 entre 10 que obrigatoriamente contêm Ana:
7. Comissões de 4 entre 8 pessoas nas quais Ana é proibida:
8. Se Cₙ,₂=28 e n é inteiro positivo, então n vale:
9. Comissão de 4 entre 5 mulheres e 4 homens, com ao menos 2 mulheres, Ana obrigatória e Beto proibido:
10. Entre 10 pessoas, escolhem-se 4 e depois presidente e secretário distintos dentro do grupo. Quantos resultados?
Gabarito comentado:
1-B: 8·7/2=28.
2-A: escolher 7 equivale a excluir 3.
3-D: C₉,₃=84.
4-C: C₁₂,₂−12=66−12=54.
5-B: C₇,₄=35.
6-A: Ana fixa; C₉,₃=84.
7-B: retirando Ana, escolhem-se 4 entre 7: C₇,₄=35.
8-D: n(n−1)/2=28; n²−n−56=0 e a solução positiva é n=8.
9-C: após fixar Ana e excluir Beto, escolha 3 entre 4 mulheres e 3 homens, menos o caso só com homens: C₇,₃−1=34.
10-D: C₁₀,₄·A₄,₂=210·12=2520.
Resumo final
- Combinação: grupo sem ordem e sem repetição.
- Cₙ,ₚ=Aₙ,ₚ/p! e Cₙ,ₚ=Cₙ,ₙ₋ₚ.
- Pascal separa casos com e sem um elemento fixo.
- Restrições usam soma, produto ou complementar conforme a estrutura.