O que é um polinômio?
Um polinômio em x é uma soma finita de termos da forma akxk, em que os coeficientes são números reais e os expoentes são inteiros não negativos.
a₀, a₁, ..., aₙ ∈ ℝ; n ∈ ℕ
aₙ ≠ 0, para um polinômio não nulo de grau n
- Os coeficientes a₀, a₁, ..., aₙ são números reais.
- Os expoentes da variável devem ser inteiros não negativos.
- Coeficientes intermediários podem ser zero.
- O coeficiente dominante aₙ não pode ser zero.
- O polinômio nulo é um caso especial e não possui grau definido nesta página.
P(x) = 3x⁴ - 2x + 1
P(x) = 3x⁴ + 0x³ + 0x² - 2x + 1.
Os termos ausentes em x³ e x² possuem coeficiente zero.
São polinômios: 3x² - 2x + 5; x⁴ - 1; 7.
Não são polinômios em x: 1/x; √x; x-2 + 1.
A classificação pelo número de termos deve ser feita somente após reduzir termos semelhantes e desconsiderar coeficientes zero.
Termos, coeficientes e grau
Em cada termo, o número que multiplica a potência de x é o coeficiente. O termo sem variável é o termo independente. O grau é determinado somente depois da redução.
P(x) = -4x⁵ + 2x³ - 7x + 9
Coeficiente dominante: -4, que é não nulo.
Termo independente: 9.
Grau: 5, o maior expoente com coeficiente não nulo.
O polinômio constante P(x) = 6 tem grau 0.
O polinômio nulo P(x) = 0 não possui grau definido.
Termos com coeficiente zero não alteram o grau nem contam na classificação.
Tipos especiais de polinômios
Polinômio constante
P(x) = 6 possui grau zero, pois a constante é não nula.
Polinômio nulo
P(x) = 0 não possui grau definido.
Polinômio mônico
Possui coeficiente dominante igual a 1. Assim, x³ - 4x + 2 é mônico, mas 3x³ - 4x + 2 não é.
Polinômio completo
Possui todos os expoentes desde o grau até zero. Por exemplo, x³ + 2x² - x + 4.
Polinômio incompleto
x³ - 2x + 1 é incompleto porque o termo em x² está ausente. Podemos escrever x³ + 0x² - 2x + 1 para facilitar comparações.
Forma reduzida, ordenada e número de termos
Para reduzir um polinômio, agrupamos termos semelhantes e desconsideramos termos de coeficiente zero. Depois, ordenamos os expoentes.
3x² + 2x - 5 + x² - 7x + 4
(3x² + x²) + (2x - 7x) + (-5 + 4)
4x² - 5x - 1.
Monômio: um termo não nulo.
Binômio: dois termos não nulos.
Trinômio: três termos não nulos.
Polinômio: quantidade finita de termos.
x² + 3x - 3x = x².
Após a redução, resta um termo não nulo; portanto, é um monômio.
x² + 0x + 1 possui somente dois termos não nulos; portanto, é um binômio.
Valor numérico e raiz
Para calcular P(a), substituímos x por a em todos os termos. Um número a é raiz ou zero de P quando P(a) = 0.
P(x) = x² - 3x + 2 e x = 4.
P(4) = 4² - 3·4 + 2 = 16 - 12 + 2 = 6.
P(x) = x² - 5x + 6.
P(2) = 4 - 10 + 6 = 0; portanto, 2 é raiz.
P(3) = 9 - 15 + 6 = 0; portanto, 3 também é raiz.
Adição, subtração e polinômio oposto
Somamos apenas coeficientes de termos semelhantes. O oposto de um polinômio é obtido trocando o sinal de todos os seus termos.
Se P(x) = 2x² - 3x + 1, então:
-P(x) = -2x² + 3x - 1.
(4x² + x - 2) - (x² - 3x + 5)
O oposto do segundo polinômio é -x² + 3x - 5.
4x² + x - 2 - x² + 3x - 5
3x² + 4x - 7.
O sinal negativo fora dos parênteses afeta todos os termos.
Não troque apenas o sinal do primeiro termo.
Depois de encontrar o oposto, some os termos semelhantes.
Multiplicação de polinômios
Aplicamos a propriedade distributiva: cada termo de um fator multiplica todos os termos do outro. Multiplicamos coeficientes e somamos expoentes de mesma base.
3x(2x² - x + 4)
6x³ - 3x² + 12x.
(x + 2)(x - 3)
x² - 3x + 2x - 6
x² - x - 6.
Se P e Q são não nulos, grau(P·Q) = grau(P) + grau(Q).
Divisão de polinômios
Ao dividir um polinômio P(x) por um polinômio não nulo D(x), existem polinômios únicos Q(x) e R(x) tais que:
grau(R) < grau(D), ou R(x) = 0
P é o dividendo, D é o divisor, Q é o quociente e R é o resto. Antes de dividir, ordene os polinômios e escreva com coeficiente zero os termos ausentes.
Divida 2x³ + 3x² - 5x + 6 por x + 2.
2x³ ÷ x = 2x². Multiplicando: 2x²(x + 2) = 2x³ + 4x². Subtraindo, resta -x² - 5x.
-x² ÷ x = -x. Multiplicando: -x(x + 2) = -x² - 2x. Subtraindo, resta -3x + 6.
-3x ÷ x = -3. Multiplicando: -3(x + 2) = -3x - 6. Subtraindo, resta 12.
Q(x) = 2x² - x - 3 e R(x) = 12.
Conferência: 2x³ + 3x² - 5x + 6 = (x + 2)(2x² - x - 3) + 12.
Briot–Ruffini
Quando o divisor é x - a, podemos usar o dispositivo de Briot–Ruffini. Para x + 2 = x - (-2), usamos a = -2 e os coeficientes 2, 3, -5 e 6.
Os três primeiros resultados são os coeficientes do quociente, e o último é o resto.
Teorema do Resto e Teorema do Fator
Se P(x) é dividido por x - a, o resto da divisão é P(a). Assim, podemos encontrar o resto sem executar a divisão completa.
Qual é o resto de P(x) = x³ - 4x + 1 por x - 2?
P(2) = 2³ - 4·2 + 1.
P(2) = 8 - 8 + 1 = 1.
Logo, o resto é 1.
Teorema do Fator
O divisor x - a é fator de P(x) se, e somente se, P(a) = 0.
P(x) = x³ - 3x² - 4x + 12.
P(3) = 27 - 27 - 12 + 12 = 0.
Portanto, x - 3 é fator de P(x).
De fato: P(x) = (x - 3)(x² - 4) = (x - 3)(x - 2)(x + 2).
Se P(a) ≠ 0, então a não é raiz e x - a não é fator.
Em um divisor x + b, escreva x + b = x - (-b) e calcule P(-b).
Teorema Fundamental da Álgebra
Todo polinômio não constante de grau n possui exatamente n raízes complexas, quando contamos cada raiz de acordo com sua multiplicidade.
Isso não significa que todas as raízes sejam reais. Uma equação de grau 4, por exemplo, pode não ter raiz real, mas possui quatro raízes no conjunto dos complexos, contando repetições.
P(x) = x² + 1.
Em ℝ, a equação x² + 1 = 0 não possui solução.
Em ℂ, suas raízes são i e −i.
O grau é 2 e foram obtidas duas raízes.
O teorema garante a quantidade total de raízes em ℂ, não a quantidade de raízes reais.
As multiplicidades devem ser incluídas na contagem.
Decomposição em fatores e multiplicidade
Conhecidas as raízes de um polinômio, podemos escrevê-lo como produto de fatores lineares. Se uma raiz r aparece m vezes, dizemos que ela tem multiplicidade m.
m1 + ... + mk = n
P(x) = x³ − 3x² + 4.
P(x) = (x − 2)²(x + 1).
A raiz 2 possui multiplicidade 2.
A raiz −1 possui multiplicidade 1.
A soma das multiplicidades é 2 + 1 = 3, igual ao grau.
Raiz simples: multiplicidade 1.
Raiz dupla: multiplicidade 2.
Raiz múltipla: multiplicidade maior que 1.
Se (x − r)m divide P(x), mas (x − r)m+1 não divide, então r tem multiplicidade m.
Raízes complexas em polinômios reais
Quando os coeficientes do polinômio são reais, toda raiz complexa não real aparece acompanhada de sua conjugada.
Se 2 + i é raiz de um polinômio com coeficientes reais, então 2 − i também é raiz.
O produto dos fatores correspondentes é:
[x − (2 + i)][x − (2 − i)]
(x − 2)² + 1 = x² − 4x + 5.
O resultado possui coeficientes reais.
Aqui usamos apenas o resultado necessário para equações polinomiais.
Operações, forma algébrica e geometria dos complexos permanecem no volume de Números Complexos.
Regras do grau
Para polinômios não nulos P e Q:
grau(P ± Q) ≤ máximo(grau(P), grau(Q))
- Se os graus forem diferentes, grau(P ± Q) é o maior dos dois.
- Se os graus forem iguais, os termos dominantes podem se cancelar.
- Multiplicar por uma constante não nula não altera o grau.
- Multiplicar pelo polinômio nulo produz o polinômio nulo.
- O grau deve ser determinado depois da forma reduzida.
P(x) = 3x⁴ + x e Q(x) = -3x⁴ + x².
P(x) + Q(x) = 3x⁴ + x - 3x⁴ + x².
P(x) + Q(x) = x² + x.
Os termos de grau 4 se cancelaram; logo, grau(P + Q) = 2.
Não determine o grau apenas olhando os polinômios antes de efetuar e reduzir a operação.
Identidade e equação polinomial
Identidade polinomial
P(x) ≡ Q(x) vale para todo número real x. Isso exige igualdade entre todos os coeficientes correspondentes, depois de escrever termos ausentes com coeficiente zero.
(a - 1)x³ + bx² + (c + 2)x - 4 ≡ 3x³ - 5x - 4
Escrevendo o termo ausente: 3x³ + 0x² - 5x - 4.
a - 1 = 3, b = 0 e c + 2 = -5.
a = 4, b = 0 e c = -7.
Equação polinomial
P(x) = Q(x) pode ser verdadeira somente para determinados valores de x. Por exemplo, x² = 4 não é identidade: vale apenas para x = -2 ou x = 2.
Obter o mesmo valor em um ou dois pontos não prova identidade.
Uma identidade deve valer para todo x.
Polinômios idênticos têm a mesma forma reduzida.
Relações entre coeficientes e raízes
As Relações de Girard conectam os coeficientes de uma equação polinomial às suas raízes, consideradas com suas multiplicidades.
Equação do 2º grau
Se ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0, possui raízes x₁ e x₂, então:
x₁·x₂ = c/a
2x² - 7x + 3 = 0.
Soma das raízes: -(-7)/2 = 7/2.
Produto das raízes: 3/2.
As raízes 3 e 1/2 confirmam: 3 + 1/2 = 7/2 e 3·1/2 = 3/2.
Equação do 3º grau
Se ax³ + bx² + cx + d = 0 possui raízes x₁, x₂ e x₃, então:
x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a
x₁x₂x₃ = -d/a
x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 possui raízes 1, 2 e 3.
Soma: 1 + 2 + 3 = 6 = -(-6)/1.
Soma dos produtos dois a dois: 2 + 3 + 6 = 11.
Produto: 1·2·3 = 6 = -(-6)/1.
Forma geral
Para aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₀, a soma das raízes é -aₙ₋₁/aₙ e o produto é (-1)ⁿa₀/aₙ. As relações intermediárias alternam sinais e envolvem somas de produtos das raízes.
Modelagem com polinômios
Polinômios representam áreas, volumes, custos, trajetórias e diversas relações entre grandezas.
Um retângulo possui lados x + 3 e x - 1.
A(x) = (x + 3)(x - 1).
A(x) = x² + 2x - 3.
No contexto geométrico, é preciso ter x > 1 para que os lados sejam positivos.
Custo total: custo fixo + custo variável.
Área: produto das medidas dos lados.
Volume: produto das três dimensões.
Método geral
- Identifique a variável principal.
- Verifique se os expoentes são inteiros não negativos.
- Confirme que a variável não aparece em denominadores ou radicais.
- Reduza termos semelhantes.
- Desconsidere termos de coeficiente zero.
- Ordene o polinômio.
- Identifique grau, coeficiente dominante e termo independente.
- Verifique se é mônico, completo ou incompleto.
- Em valores numéricos, use parênteses na substituição.
- Na subtração, encontre o polinômio oposto.
- Na multiplicação, aplique a distributiva a todos os termos.
- Em cálculos de grau, reduza antes de concluir.
- Em identidades, escreva termos ausentes com coeficiente zero.
- Compare coeficientes de potências correspondentes.
- Verifique se uma igualdade é identidade ou apenas equação.
- Preserve restrições de domínio em expressões simplificadas.
- Revise sinais, grau esperado e número de termos.
Pegadinhas
- Expoente negativo, variável no denominador ou radical com a variável impede que a expressão seja um polinômio em x.
- O coeficiente dominante deve ser não nulo.
- Monômio, binômio e trinômio são classificados após a redução; termos de coeficiente zero não são contados.
- Polinômio mônico possui coeficiente dominante 1.
- Polinômio constante não nulo tem grau zero; o polinômio nulo não possui grau definido.
- Na soma de polinômios de mesmo grau, o termo dominante pode desaparecer.
- O grau da soma não é a soma dos graus.
- O grau do produto é a soma dos graus somente para polinômios não nulos.
- Na subtração, todos os sinais do segundo polinômio devem mudar.
- Ao calcular P(-a), use parênteses.
- Identidade deve valer para todo x; igualdade em poucos valores não prova identidade.
- Termos ausentes devem ser tratados com coeficiente zero.
Alerta de domínio: (x² - 1)/(x - 1) não é polinômio na forma original, pois há variável no denominador e x ≠ 1.
Fatorando: [(x - 1)(x + 1)]/(x - 1) = x + 1, somente para x ≠ 1.
A simplificação não elimina a restrição original. Uma função polinomial possui domínio real completo; as duas expressões coincidem em quase todo o domínio, mas não representam exatamente a mesma função.
Questões resolvidas
1. Reconhecimento
3x⁴ - 2x + 1 é polinômio?
Sim. Todos os expoentes de x são inteiros não negativos.
Seu grau é 4.
2. Termos e grau
Analise P(x) = -2x³ + 5x - 7.
Grau: 3.
Coeficiente dominante: -2. Termo independente: -7.
3. Redução
Reduza 2x² + 3x - 1 + 4x² - x + 5.
(2 + 4)x² + (3 - 1)x + (-1 + 5).
6x² + 2x + 4.
4. Valor numérico
Calcule P(-2) para P(x) = x² + 3x - 1.
P(-2) = (-2)² + 3(-2) - 1.
4 - 6 - 1 = -3.
5. Verificação de raiz
2 é raiz de P(x) = x² - 4?
P(2) = 2² - 4 = 0.
Sim, 2 é raiz.
6. Adição
Some 2x² + x - 3 e x² - 4x + 5.
(2 + 1)x² + (1 - 4)x + (-3 + 5).
3x² - 3x + 2.
7. Subtração
Subtraia x² - 2x + 1 de 3x² + x - 4.
3x² + x - 4 - (x² - 2x + 1).
3x² + x - 4 - x² + 2x - 1 = 2x² + 3x - 5.
8. Produto por monômio
Calcule -2x(x² - 3x + 4).
-2x³ + 6x² - 8x.
9. Produto de binômios
Calcule (x + 4)(x - 2).
x² - 2x + 4x - 8.
x² + 2x - 8.
10. Identidade
Se ax² + 3x + b ≡ 2x² + 3x - 5, determine a e b.
Comparando coeficientes correspondentes: a = 2 e b = -5.
11. Grau de produto
P tem grau 2 e Q tem grau 5. Qual é o grau de P·Q?
Como ambos são não nulos, os graus se somam.
grau(P·Q) = 2 + 5 = 7.
12. Área
Um retângulo tem lados x + 2 e x - 1.
A(x) = (x + 2)(x - 1).
A(x) = x² + x - 2, com x > 1.
13. Polinômio mônico
P(x) = x⁴ - 3x + 1 é mônico?
O termo dominante é x⁴ e seu coeficiente é 1.
Conclusão: sim, P é mônico.
14. Grau após cancelamento
P(x) = 3x⁴ + x e Q(x) = -3x⁴ + x². Calcule P + Q.
P(x) + Q(x) = 3x⁴ + x - 3x⁴ + x².
P(x) + Q(x) = x² + x.
Após o cancelamento do termo dominante, o grau é 2.
15. Identidade com termo ausente
(a - 1)x³ + bx² + (c + 2)x - 4 ≡ 3x³ - 5x - 4.
O coeficiente ausente de x² é zero.
a - 1 = 3, b = 0 e c + 2 = -5.
Conclusão: a = 4, b = 0 e c = -7.
16. Grau dependente de parâmetro
Para qual a o polinômio (a - 2)x⁴ + 3x³ - x + 1 possui grau 3?
O coeficiente de x⁴ deve zerar: a - 2 = 0.
a = 2. O coeficiente de x³ permanece 3, que é não nulo.
Conclusão: para a = 2, o grau é 3.
17. Operação combinada
P(x) = x² - 1 e Q(x) = x + 2. Calcule P(x)Q(x) - x³.
(x² - 1)(x + 2) - x³.
x³ + 2x² - x - 2 - x³.
Conclusão: 2x² - x - 2.
18. Expressão racional e restrição
Analise (x² - 1)/(x - 1).
A expressão original exige x ≠ 1 e não é polinômio, pois há variável no denominador.
(x² - 1)/(x - 1) = [(x - 1)(x + 1)]/(x - 1) = x + 1, para x ≠ 1.
A simplificação não recupera o valor excluído; portanto, a expressão original continua não sendo polinomial.
Exercícios
1. Qual expressão é um polinômio em x?
2. O grau de 5x⁴ - 3x² + 1 é:
3. O coeficiente dominante de -2x³ + x - 4 é:
4. O termo independente de x⁵ - 3x + 7 é:
5. Se P(x) = x² - 3x + 1, então P(2) é:
6. A raiz de P(x) = x - 4 é:
7. Some 2x² + 3x - 1 e x² - x + 4.
8. Calcule (3x² + x - 2) - (x² - 2x + 1).
9. O produto 2x(x² - 3x + 4) é:
10. O produto (x + 2)(x - 3) é:
11. Se ax² + 2x + 1 ≡ 3x² + 2x + 1, então a vale:
12. O grau do polinômio nulo é:
13. Para qual valor de a, P(x) = (a - 2)x⁴ + 3x³ - x + 1 possui grau 3?
14. Se P(x) = 2x⁵ + x² - 1 e Q(x) = -2x⁵ + 3x⁴ + 2, qual é o grau de P + Q?
15. Se (a - 1)x³ + bx² + (c + 2)x - 4 ≡ 3x³ - 5x - 4, então:
16. Se P(x) = x² - 1 e Q(x) = x + 2, calcule P(x)Q(x) - x³.
17. Alguém obteve 2x² - x - 3 ao calcular (3x² + x - 4) - (x² - 2x + 1). Qual foi o erro?
18. Por que (x² - 1)/(x - 1) não é um polinômio em sua forma original?
Gabarito comentado:
1-A: 3x² - 2x + 1 possui apenas expoentes inteiros não negativos. 2-B: o maior expoente com coeficiente não nulo é 4. 3-C: o termo dominante é -2x³. 4-D: o termo sem x é 7. 5-A: P(2) = 2² - 3·2 + 1 = -1. 6-B: x - 4 = 0 fornece x = 4.
7-C: reduzindo termos semelhantes, obtemos 3x² + 2x + 3. 8-D: o oposto do segundo polinômio é -x² + 2x - 1; a soma resulta em 2x² + 3x - 3. 9-A: a distributiva fornece 2x³ - 6x² + 8x. 10-B: x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 6. 11-C: na identidade, os coeficientes de x² devem coincidir, então a = 3. 12-D: nesta página, o polinômio nulo não possui grau definido.
13-B: para o grau cair de 4 para 3, a - 2 deve zerar. Assim, a = 2, e o coeficiente de x³ permanece 3, não nulo.
14-C: P + Q = 2x⁵ + x² - 1 - 2x⁵ + 3x⁴ + 2 = 3x⁴ + x² + 1. Os termos de grau 5 se cancelam; o grau é 4.
15-D: escrevendo 3x³ + 0x² - 5x - 4, comparamos: a - 1 = 3, b = 0 e c + 2 = -5. Logo, a = 4, b = 0 e c = -7.
16-A: (x² - 1)(x + 2) - x³ = x³ + 2x² - x - 2 - x³ = 2x² - x - 2.
17-B: o sinal negativo deve mudar todos os termos de x² - 2x + 1. Assim, 3x² + x - 4 - x² + 2x - 1 = 2x² + 3x - 5.
18-C: a forma original possui x no denominador e exige x ≠ 1. Ela simplifica para x + 1 apenas nesse domínio; a restrição original não desaparece.
Resumo final
- Os coeficientes de um polinômio são números reais e os expoentes são inteiros não negativos.
- O coeficiente dominante de um polinômio não nulo deve ser diferente de zero.
- Monômio, binômio e trinômio são identificados depois da redução; termos de coeficiente zero não contam.
- Polinômio mônico possui coeficiente dominante 1.
- Termos ausentes possuem coeficiente zero.
- O grau da soma pode diminuir pelo cancelamento dos termos dominantes.
- O grau do produto de polinômios não nulos é a soma dos graus.
- O polinômio oposto troca o sinal de todos os termos.
- Para calcular P(a), substitua usando parênteses, especialmente se a for negativo.
- Identidade vale para todo x; equação pode valer apenas para valores específicos.
- Em identidades, compare coeficientes de potências correspondentes.
- Simplificações não eliminam restrições do domínio original.
- Revise sinais, reduza a expressão e somente depois determine grau e classificação.