Módulo

Definição por casos

Se a expressão dentro do módulo é não negativa, retiramos as barras sem alteração. Se é negativa, trocamos seu sinal.

A análise por casos é a base para resolver expressões modulares mais complexas.

Módulo como distância na reta real

|x - a| representa a distância entre x e a. Essa leitura transforma equações e inequações modulares em problemas de distância.

Essa interpretação ajuda a prever se a solução será um intervalo central ou dois intervalos externos.

Propriedades fundamentais

• |x| ≥ 0.
• |x| = 0 se, e somente se, x = 0.
• |-x| = |x|.
• |xy| = |x|·|y|.
• |x/y| = |x|/|y|, com y ≠ 0.
• √(x²) = |x|.
• |x + y| ≤ |x| + |y|, propriedade conhecida como desigualdade triangular.

Em geral, |x + y| não é igual a |x| + |y|. Por exemplo, |2 + (-2)| = 0, enquanto |2| + |-2| = 4.

Equações modulares básicas

Equações modulares gerais

Quando |A| = b, com b ≥ 0, existem dois casos: A = b ou A = -b.

Se houver módulo nos dois membros, como |A| = |B|, então A = B ou A = -B.

Equações com segundo membro variável

Em uma equação do tipo |A(x)| = B(x), o lado esquerdo nunca é negativo. Por isso, antes de abrir os dois casos, é obrigatório impor B(x) ≥ 0.

Inequações modulares: menor

Uma comparação com “menor” procura os valores dentro de um intervalo central, mas a resposta depende do sinal do limite a.

Inequações modulares: maior

Uma comparação com “maior” procura valores fora de um intervalo central. Limites nulos ou negativos exigem atenção especial.

Soma de módulos e pontos de mudança

Quando há mais de um módulo, os zeros das expressões internas determinam onde cada sinal muda. O método é:

1. Encontre os zeros das expressões dentro dos módulos.
2. Use esses valores como pontos de mudança.
3. Divida a reta real em intervalos.
4. Retire os módulos conforme o sinal em cada intervalo.
5. Resolva a equação em cada caso.
6. Verifique se a solução pertence ao intervalo analisado.
7. Reúna as soluções válidas.

Expressão modular por intervalos

Em f(x) = |x - 1| + |x + 2|, as expressões internas zeram em x = 1 e x = -2; esses pontos determinam os intervalos.

Módulos aninhados

Em módulos aninhados, resolvemos de fora para dentro: primeiro tratamos o módulo externo e depois o módulo interno.

Inequações com módulo nos dois membros

Como |A| e |B| são não negativos, podemos elevar ambos os membros ao quadrado sem alterar a equivalência.

Modelagem de problemas

Use módulo quando uma condição envolve distância, tolerância, erro máximo ou desvio em relação a um valor de referência.

Interprete os extremos e unidades conforme o contexto; desigualdade estrita exclui os limites.

Método geral para expressões modulares

1. Identifique todos os módulos.
2. Observe se o segundo membro é constante ou contém a incógnita.
3. Verifique se o segundo membro precisa ser não negativo.
4. Use a interpretação de distância quando houver |x - a|.
5. Para |A| = b, analise o sinal de b.
6. Para |A| = B(x), imponha B(x) ≥ 0.
7. Para inequações, verifique se o limite é positivo, nulo ou negativo.
8. Para soma de módulos, encontre todos os pontos de mudança.
9. Divida a reta em intervalos.
10. Retire as barras conforme o sinal em cada intervalo.
11. Resolva cada caso.
12. Verifique se cada resultado pertence ao intervalo analisado.
13. Em módulos aninhados, resolva de fora para dentro.
14. Reúna as soluções sem repetições.
15. Escreva o conjunto ou intervalo final.
16. Verifique na expressão original.

Questões resolvidas