O que é uma equação do 2º grau?
É uma equação que, após simplificação, pode ser escrita como ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. A incógnita aparece elevada ao quadrado, mas não em expoentes maiores.
Resolver significa encontrar os valores reais de x que tornam a igualdade verdadeira. Esses valores são chamados de raízes ou soluções da equação.
Coeficientes e forma geral
Nesse exemplo, a = 2, b = -3 e c = 1. O coeficiente a não pode ser zero; se fosse, a equação deixaria de ser do 2º grau.
- Completa: a, b e c são diferentes de zero, como x² - 5x + 6 = 0.
- Incompleta: falta o termo bx ou o termo c, como x² - 9 = 0 ou 2x² - 8x = 0.
Antes de escolher um método, organize todos os termos em um membro e deixe o outro igual a zero.
Fatoração e produto nulo
Se uma expressão fatorada é igual a zero, pelo menos um de seus fatores deve ser zero.
x² - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0
x - 2 = 0 ou x - 3 = 0
x = 2 ou x = 3; S = {2, 3}.
Use fatoração quando ela for visível. Em 2x² + 7x + 3 = 0, a decomposição leva a (2x + 1)(x + 3) = 0, logo as raízes são -1/2 e -3.
Discriminante: Δ
O discriminante indica quantas raízes reais a equação possui. Ele é calculado por:
- Se Δ > 0, existem duas raízes reais diferentes.
- Se Δ = 0, existe uma raiz real dupla.
- Se Δ < 0, não existem raízes reais.
Para x² - 3x + 2 = 0: Δ = (-3)² - 4 · 1 · 2 = 1.
Como Δ > 0, a equação tem duas raízes reais.
Fórmula de Bhaskara
Quando a fatoração não for prática, use a fórmula com os coeficientes já identificados:
x² - 2x - 3 = 0; a = 1, b = -2, c = -3.
Δ = (-2)² - 4 · 1 · (-3) = 16.
x = (2 ± 4)/2, portanto x = 3 ou x = -1.
S = {-1, 3}. A verificação confirma ambas as raízes na equação original.
Equações incompletas e raiz dupla
x² - 9 = 0 → x² = 9 → x = -3 ou x = 3.
2x² - 8x = 0 → 2x(x - 4) = 0 → x = 0 ou x = 4.
x² + 4x + 4 = 0 → (x + 2)² = 0 → x = -2.
Na raiz dupla, o mesmo valor aparece nas duas soluções algébricas; no conjunto, ele é listado uma só vez: S = {-2}.
Completando quadrados
Esse método reorganiza uma expressão para obter um quadrado perfeito. É útil para entender a fórmula e para alguns casos simples.
x² - 4x + 1 = 0
x² - 4x = -1; somando 4 aos dois membros: x² - 4x + 4 = 3
(x - 2)² = 3; x - 2 = ±√3
x = 2 ± √3.
Modelagem de problemas
Defina a incógnita, escreva a relação do enunciado, resolva a equação e interprete as raízes no contexto.
Um retângulo tem lados x e x + 3 e área 54.
x(x + 3) = 54 → x² + 3x - 54 = 0.
(x + 9)(x - 6) = 0 → x = -9 ou x = 6.
Comprimentos não podem ser negativos: os lados são 6 e 9.
Uma raiz pode satisfazer a equação e ser incompatível com o contexto. Não descarte valores negativos automaticamente quando o contexto permitir, como em posição ou temperatura.
Pegadinhas
- Organize a equação na forma ax² + bx + c = 0 antes de usar Δ ou Bhaskara.
- Inclua o sinal de b ao elevar b ao quadrado: se b = -3, use (-3)².
- Na fórmula, o denominador é 2a, e não 2 + a.
- Não esqueça as duas possibilidades ao extrair uma raiz quadrada: x² = 9 gera x = ±3.
- Use a propriedade do produto nulo apenas depois de escrever um produto igual a zero.
- Verifique as raízes e interprete o contexto de problemas.
Método geral
- Organize a equação como ax² + bx + c = 0.
- Identifique corretamente a, b e c.
- Verifique se uma fatoração simples ou uma equação incompleta resolve o caso.
- Se necessário, calcule Δ = b² - 4ac.
- Aplique Bhaskara: x = (-b ± √Δ)/(2a).
- Escreva o conjunto solução, verifique e interprete cada raiz no contexto.
Questões resolvidas
1. Fatoração direta
Resolva x² - 5x + 6 = 0.
(x - 2)(x - 3) = 0. Assim, x = 2 ou x = 3.
S = {2, 3}. Substituir confirma que os dois valores anulam a expressão.
2. Equação incompleta
Resolva x² - 49 = 0.
x² = 49. Logo x = ±7.
S = {-7, 7}. Ambas as substituições fornecem 49 - 49 = 0.
3. Fator comum
Resolva 2x² - 8x = 0.
2x(x - 4) = 0. Pelo produto nulo, 2x = 0 ou x - 4 = 0.
S = {0, 4}. Verificação: ambos tornam 2x² - 8x igual a zero.
4. Delta positivo
Resolva x² - 3x + 2 = 0 por Bhaskara.
Δ = 9 - 8 = 1. x = (3 ± 1)/2.
x = 2 ou x = 1; S = {1, 2}.
5. Raiz dupla
Resolva x² + 4x + 4 = 0.
Δ = 16 - 16 = 0. x = -4/2 = -2.
S = {-2}. A expressão é (x + 2)².
6. Delta negativo
Resolva x² + 2x + 5 = 0 nos reais.
Δ = 4 - 20 = -16.
Como Δ < 0, não há raiz real: S = ∅ no conjunto dos reais.
7. Coeficiente principal diferente de 1
Resolva 3x² - 5x - 2 = 0.
3x² - 6x + x - 2 = 0; 3x(x - 2) + 1(x - 2) = 0.
(3x + 1)(x - 2) = 0; S = {-1/3, 2}.
8. Completando quadrados
Resolva x² - 4x + 1 = 0.
(x - 2)² = 3. Portanto x - 2 = ±√3.
S = {2 - √3, 2 + √3}.
9. Parêntese
Resolva (x - 2)² = 9.
x - 2 = ±3. Assim, x = 5 ou x = -1.
S = {-1, 5}. Ambos os valores produzem 9 no primeiro membro.
10. Forma geral
Resolva 2x² + 7x + 3 = 0.
2x² + 6x + x + 3 = 0; (2x + 1)(x + 3) = 0.
S = {-3, -1/2}. A fatoração torna o produto igual a zero.
11. Problema de área
Um retângulo de lados x e x + 3 tem área 54.
x² + 3x - 54 = 0; (x + 9)(x - 6) = 0.
As raízes são -9 e 6, mas o comprimento é 6. Os lados são 6 e 9.
12. Verificação
Resolva x² - 2x - 3 = 0.
(x - 3)(x + 1) = 0; x = 3 ou x = -1.
S = {-1, 3}. Para x = -1: 1 + 2 - 3 = 0; para x = 3: 9 - 6 - 3 = 0.
Exercícios
1. Em 2x² - 3x + 1 = 0, o coeficiente a é:
2. Qual é uma equação do 2º grau?
3. O conjunto solução de x² = 49 é:
4. As raízes de x² - 5x = 0 são:
5. Para x² - 3x + 2 = 0, o valor de Δ é:
6. A equação x² + 4x + 4 = 0 possui:
7. Resolva x² - 9 = 0.
8. As raízes de x² - 7x + 12 = 0 são:
9. Se Δ < 0, uma equação do 2º grau possui, nos reais:
10. Resolva x² + 6x + 5 = 0.
11. A fatoração de 2x² + 7x + 3 é:
12. O conjunto solução de x² - 2x - 3 = 0 é:
13. Resolva 3x² - 5x - 2 = 0.
14. Resolva (x - 2)² = 9.
15. O conjunto solução de 2x² - 8x = 0 é:
16. O conjunto solução de x² - 4x + 1 = 0 é:
17. Um retângulo tem lados x e x + 3 e área 54. Qual é o comprimento menor?
18. A equação x² + 2x + 1 = 0 possui:
Gabarito comentado:
1-A: em ax² + bx + c = 0, a multiplica x²; portanto a = 2. 2-B: somente x² - 5x + 6 = 0 apresenta a incógnita ao quadrado e a ≠ 0. 3-B: de x² = 49, x = ±7; S = {-7, 7}. 4-C: x² - 5x = x(x - 5); pelo produto nulo, x = 0 ou 5. 5-B: Δ = (-3)² - 4 · 1 · 2 = 1. 6-C: Δ = 4² - 4 · 1 · 4 = 0, logo a raiz -2 é dupla.
7-A: x² = 9 produz as duas possibilidades x = -3 e x = 3. 8-C: x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4), então S = {3, 4}. 9-D: Δ negativo não possui raiz no conjunto dos reais. 10-B: (x + 1)(x + 5) = 0, portanto S = {-5, -1}. 11-C: (2x + 1)(x + 3) gera 2x² + 7x + 3. 12-D: (x - 3)(x + 1) = 0, logo S = {-1, 3}.
13-B: 3x² - 5x - 2 = (3x + 1)(x - 2); as raízes são -1/3 e 2. 14-C: x - 2 = ±3; assim x = -1 ou 5. 15-A: 2x² - 8x = 2x(x - 4); pelo produto nulo, x = 0 ou x = 4. 16-D: completando quadrados, (x - 2)² = 3; logo x = 2 ± √3. 17-B: x(x + 3) = 54 leva a x² + 3x - 54 = 0 e (x + 9)(x - 6) = 0; x = 6 é o comprimento possível. 18-C: x² + 2x + 1 = (x + 1)²; Δ = 0 e a única raiz real é x = -1.
Resumo final
- Organize a equação na forma ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0.
- Identifique a, b e c antes de calcular Δ = b² - 4ac.
- Δ positivo dá duas raízes reais, zero dá raiz dupla e negativo não dá raiz real.
- Use fatoração ou Bhaskara e escreva o conjunto solução.
- Verifique as raízes e interprete o contexto dos problemas.